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Du möchtest wissen, was ein XOR-Gatter ist? In diesem Beitrag und im Video zeigen wir dir die Wahrheitstabelle, den booleschen Ausdruck und wie du es durch andere Gatter darstellen kannst.

Inhaltsübersicht

Kombinationen und Schaltsymbol

Wie beispielsweise auch das NAND- und das NOR-Gatter ist das XOR-Gatter eine Kombination aus den drei grundlegenden Logikfunktionen UND, ODER und NICHT.

Das XOR-Gatter wird auch als Exklusiv-Oder-Gatter und als Antivalenz Gatter bezeichnet. Im deutschsprachigen Raum sind für die Funktion folgende Symbole üblich:

XOR-Gatter, Schaltsymbol XOR-Gatter, Exklusiv-Oder-Gatter, Antivalenz Gatter
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Schaltsymbol XOR-Gatter

Wahrheitstabelle und boolesche Ausdruck

Betrachte wir nun die zugehörige Wahrheitstabelle für unser Logikgatter .

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Wahrheitstabelle

Bei einem XOR-Gatter ist der Output nur 1, wenn eine ungerade Anzahl des Inputs auch 1 ist. Ist die Anzahl der Highs gerade, ist der Output 0. In der Booleschen Algebra wird die Funktion wie folgt dargestellt:

X=A\ \underline{\bigvee}\ B\ \underline{\bigvee}\ C
X=A\oplus B\ \oplus C

XOR-Gatter aus NAND

Wir können alle Gatter auch mit diesen beiden Funktionen darstellen. Das Schaltbild für eine äquivalente Schaltung für das XOR-Gatter, bestehend aus NAND-Gattern , sieht beispielsweise so aus:

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XOR-Gatter aus NAND-Gattern

Hierbei werden drei NAND-Gatter zu einem XOR-Gatter zusammengeschlossen. Ob die beiden Gatter tatsächlich miteinander übereinstimmen, kannst du mithilfe einer Wahrheitstabelle prüfen. Wie du sehen kannst, hast du zunächst vier Inputs A, \overline {A}, B und \overline {B}. Nicht A und Nicht B entsprechen in der Wahrheitstabelle jeweils dem Gegenwert von A und B. Also aus 1 wird 0 und umgekehrt. Nun folgen zwei NAND-Gatter , eines mit dem Input (Nicht A) und B und eines mit dem Input A und (Nicht B).

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Wahrheitstabelle XOR-Gatter aus NAND-Gattern

Für den Output X_1 des oberen NAND-Gatters musst du nun zuerst den Input miteinander malnehmen und dann das Ergebnis umdrehen. Es ergibt sich nun: 1011. Algebraisch kannst du das auch so ausdrücken:

X_1=\overline{\overline{A}}B

Versuche nun Output X_2 selbst aufzustellen. Kommst du auch auf folgendes Ergebnis? Die beiden Ergebnisse X_1 und X_2 dienen nun als Input für das letzte NAND-Gatter . Hier gehst du analog zum letzten Schritt vor. Wir nehmen die Inputs miteinander mal und drehen den Output um.

Wenn du das Ergebnis mit der Wahrheitstabelle für ein XOR-Gatter mit zwei Inputs vergleichst, wirst du sehen, dass der Output übereinstimmt. Alternativ kannst du die vier Inputs auch durch ein weiteres NAND-Gatter ersetzen.

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Weitere Variante

Grundsätzlich kann man alle Gatter mit beliebiger Inputzahl durch NAND-Gatter darstellen, dies wird mit steigender Inputanzahl jedoch immer komplexer.

Du kennst nun das XOR-Gatter und kannst es auch durch NAND-Gatter darstellen. Außerdem haben wir unser Wissen über Wahrheitstabellen an einem Beispiel praktisch angewandt!

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