Materialwissenschaften

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Ficksches Gesetz

Die Fickschen Gesetze sind wichtige Themen aus dem Bereich des Stofftransportes, sowie der Diffusionsmechanismen. In diesem Beitrag erklären wir dir, was es mit den Fickschen Gesetzen auf sich hat und welche Formeln du hierfür benötigst.

1. Ficksches Gesetz Formel und Erklärung grundlegender Begriffe

Wie der Name schon vermuten lässt, werden beim Stofftransport Teilchen bewegt. Diese Bewegung ist nicht ungeordnet, sondern besitzt eine konkrete Richtung.

1. Ficksches Gesetz Formel
1. Ficksches Gesetz

Wie du in dem Diagramm siehst, wird auf der y-Achse die Stoffmengenkonzentration c, also die Teilchenzahl pro Volumen abgetragen. Die x-Achse trägt die Strecke z ab. Diffusion oder Stofftransport findet dann statt, wenn sich ein Stoff in einem anderen verteilen soll. Voraussetzung ist dabei natürlich, dass die Stoffe mischbar sind.

1. Ficksches Gesetz – zwei Bewegungsrichtungen

Wir unterscheiden zwischen zwei Bewegungsrichtungen: die bereits genannte Transportrichtung und den sogenannten Stoffgradienten, der sich entgegengesetzt aufbaut. Während der Diffusion möchte der Transport diesen ausgleichen. Wenn der Druck p und die Temperatur groß T fest sind, dann ist der Motor dieses entstehenden Stoffstroms der Gradient des chemischen Potentials \mu. Daraus ergibt sich eine Größe für den Fluss, die wir klein j nennen:

j=\ -K{(\frac{\partial\mu}{\partial z})}_{p,T}

1. Ficksches Gesetz Formel
1. Ficksches Gesetz

Oft spricht man bei j auch von der Teilchenstromdichte. Sie setzt sich zusammen aus einem Koeffizienten K, dem chemischen Potential \mu und einer Strecke z. In einfachen Fällen ersetzt man das chemische Potential durch die Stoffmengenkonzentration c. Deshalb taucht in dem obigen Diagramm nirgends ein \mu auf, dafür aber die Variable c.

\mu=\mu^\circ\text+RTln(\frac{c}{c^\circ})

\mu^\circ\text,\  c^\circ\  bei\ Standardbedingungen

1. Ficksches Gesetz Formel, Ficksches Gesetz
1. Ficksches Gesetz

Durch ein paar Umformungen, die aber nicht weiter wichtig sind, können wir j umschreiben:

j=-K\frac{\partial\mu}{\partial z}=-K\frac{RT}{c}\frac{\partial c}{\partial z}=-D\frac{\partial c}{\partial z}

Du siehst, dass wir mit D einen neuen Koeffizienten eingeführt haben. Diesen nennt man Diffusionskoeffizient.

Ficksches Gesetz
1. Ficksches Gesetz

Damit haben wir auch schon das erste Fick’sche Gesetz aufgestellt:

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

Es besagt, dass die Teilchenflussdichte proportional zum Konzentrationsgradienten \frac{\partial c}{\partial z} ist. Da sie entgegengesetzt zur Diffusionsrichtung verläuft, haben wir das Minus in der Formel. Die Proportionalitätskonstante für diesen Zusammenhang ist die Diffusionskonstante groß D.

Diffusion im dreidimensionalen Modell

Um uns die Diffusion bildlich noch besser vorstellen zu können, fügen wir unserem Diagramm ein dreidimensionales Modell hinzu. Mit Hilfe der Fläche A stellen wir fest, wie viele Teilchen von der linken Seite durch A in die rechte übertreten und umgekehrt.

\frac{1}{2}\Gamma\times\ c(z-\frac{a}{2})\times\ A\times\ a\times\ dt
\frac{1}{2}\Gamma\times\ c(z+\frac{a}{2})\times\ A\times\ a\times\ dt

1. Ficksches Gesetz Formel
1. Ficksches Gesetz

Tao bezeichnet dabei die Sprünge der Teilchen pro Zeit. Man spricht hier auch von der sogenannten Sprungrate. C bezeichnet die Teilchenzahl pro Volumen. Das Volumen wird durch das Kreuzprodukt der Fläche A mit der Strecke a definiert.

1. Ficksches Gesetz: Einstein-Relation

Aus den beiden oberen Termen können wir die gesamte Teilchenflussdichte j_gesamt zusammensetzen:

j_{ges}=\frac{1}{2}\Gamma\times\ a\times\left\{c\left(z-\frac{a}{2}\right)-c\left(z+\frac{a}{2}\right)\right\}

Mit Hilfe einer Taylorreihenentwicklung können wir uns c\left(z-\frac{a}{2}\right)\ und\ c\left(z+\frac{a}{2}\right)

errechnen:

c\left(z\pm\frac{a}{2}\right)=c(z_0)\pm\frac{a}{2}\frac{\partial c}{\partial z}

Zusammengefasst erhalten wir dann für die gesamte Teilchenflussdichte:

j_{ges}=\frac{1}{2}\ \Gamma\times\ a\times\left\{-a\frac{\partial c}{\partial z}\right\}

Einstein-Relation
Einstein-Relation

Stellen wir dies nun dem zuvor definierten ersten Fickschen Gesetz gegenüber:

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

sehen wir, dass der Diffusionskoeffizient D, dem Term \Gamma\times\ a^2 aus der Gesamtteilchenflussdichte entspricht:

D=\frac{1}{2}\ \Gamma\times\ a^2

Diese Beziehung heißt auch Einstein-Relation.

2. Ficksches Gesetz Formel und Vergleich zum 1. Fickschen Gesetz

Du möchtest wissen, wie sich das 2. Ficksche Gesetz aus dem ersten ableiten lässt und worüber das 2.Ficksche Gesetz Auskunft gibt? Hier erklären wir dir alles rund um das 2. Ficksche Gesetz.

Zusammenhang des 1. Fickschen Gesetz und des 2. Fickschen Gesetz

Schauen wir uns zu Beginn nochmal das 1. Ficksche Gesetz an:

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

Durch dieses konnten wir die Teilchenflussdichte berechnen, weil uns die Konzentrationsverteilung und der Diffusionskoeffizient des diffundierenden Teilchens bekannt war.

2. Ficksches Gesetz
2. Ficksches Gesetz

Da sich die Ströme, die bei der Diffusion entstehen, ändern und damit auch eine Änderung der Konzentrationen bewirken, stellt sich die Frage: Wie verändert sich eine gegebene Anfangskonzentration im Laufe der Zeit, wenn Diffusion stattfindet?

Das 2. Ficksche Gesetz am Modell erklärt

Als nächstes schauen wir uns das 2. Ficksche Gesetz an einem Modell an. Wir nehmen dazu ein Volumenelement und treffen die Annahme, dass weder neue Teilchen erzeugt noch Teilchen vernichtet werden. Man nennt das auch Kontinuität.

Wir benötigen ein Referenzvolumen und die Konzentration c in Abhängigkeit von z. Die Teilchenflussdichte j hängt ebenfalls von der Strecke z ab. Um jetzt auf das zweite Fick’sche Gesetz zu kommen, sehen wir uns die lokale Änderung von c an. Wir interessieren uns für den zeitlichen Verlauf dieser Änderung und schreiben dafür

\frac{dc(z,t)}{dt}

Somit entspricht sie der Differenz der Ströme, die in unser Referenzvolumen an der Stelle z hineinfließen und ein Stück weiter bei z+dz hinausfließen.

\frac{dc(z,t)}{dt}=\frac{j\left(z\right)-j(z+dz)}{dz}=\frac{dj(z)}{dz}

2. Ficksches Gesetz
2. Ficksches Gesetz

In Worten ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Differenz der Ströme, der Konzentrationsänderung im Volumen entspricht:

\frac{dc}{dt}=-\frac{dj}{dz}

Setzen wir jetzt das erste Fick’sche Gesetz

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

in diesen Zusammenhang ein, ergibt sich das zweite Fick’sche Gesetz zu

\frac{dc}{dt}=-\frac{dj}{dz}=-\frac{d}{dz}\left(-D\frac{dc}{dz}\ \right)=D\frac{d^2c}{dz^2}

2. Ficksches Gesetz
2. Ficksches Gesetz

Das heißt, dass die zeitliche Änderung der Konzentration der diffundierenden Teilchen proportional zur zweiten Ableitung der Konzentration nach dem Ort ist. Du siehst, dass auch hier der Diffusionskoeffizient D die Proportionalitätskontante ist.

Jetzt weißt du, wie du aus dem ersten Fick’schen Gesetz das zweite herleiten kannst und dass es dir Auskunft über die zeitliche Änderung der Konzentration gibt!

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