Lineare Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen bereiten dir in der Regelungstechnik noch Kopfzerbrechen? Keine Sorge, in diesem Beitrag erklären wir dir wie du sie lösen kannst!
Inhaltsübersicht
Der ungedämpfte Schwingkreis als Differentialgleichung
Dieses Schaltbild zeigt Dir eine Parallelschaltung aus einer Spule L und einem Kondensator C. S1 und S2 sind Schalter. S1 ist erst einmal geschlossen und S2 offen, sodass ein Gleichstrom durch die Spule fließt. Zum Zeitpunkt t=0 öffnen wir jetzt S1 und schließen S2.
Umformen der Gleichung
Wie Du eine Differentialgleichung aufstellst, hast Du bereits in unserem Video zu Beschreibung im Zeitbereich gelernt. Daher erledigen wir das für die Ladung Q(t) des Kondensators im Schnelldurchlauf:
Durch weiteres Umformen erhalten wir:
Anwendung des Exponentialansatzes
Dabei sind uns die Maschenregel, sowie die Beziehungen zwischen Strom, Ladung und Spannung behilflich. Wir verwenden jetzt den sogenannten Exponentialansatz,
um die allgemeine Lösung für Q(t) zu bestimmen. In unserem Fall entspricht x(t) also Q(t) . Diesen Ansatz wählen wir, da eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung vorliegt. Wenn man sich mit der Theorie der Differentialgleichungen befasst, so geht man davon aus, dass jede lineare, homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine Lösung besitzt, die einer Exponentialfunktion entspricht!
Einsetzen in die DGL und Auflösen nach 
Wir setzen den Ansatz in die Differentialgleichung ein, indem wir den vorderen Summanden zweimal und den hinteren einmal ableiten. Dann stellen wir nach um:
