Was ist der Unterschied zwischen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz?

Der Unterschied zwischen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz ist: Beim Kommutativgesetz vertauschst du die Reihenfolge, beim Assoziativgesetz verschiebst du die Klammern. Konkret gilt und . Dagegen gilt .

Wie hilft mir das Kommutativgesetz dabei, lange Rechnungen im Kopf einfacher zu machen, zum Beispiel bei 7 plus 13 plus 3?

Das Kommutativgesetz hilft dir, Summanden so umzuordnen, dass eine einfache Zahl entsteht. Zum Beispiel ordnest du zu um. Danach rechnest du . So findest du zuerst den Zehner.

Warum gilt das Kommutativgesetz nicht beim Potenzieren, zum Beispiel bei 2 hoch 3 und 3 hoch 2?

Beim Potenzieren gilt das Kommutativgesetz nicht, weil Basis und Exponent unterschiedliche Rollen haben. bedeutet . Dagegen bedeutet nur . Wenn du Basis und Exponent vertauschst, änderst du also die ganze Rechnung.

Kann ich a minus b als a plus (minus b) schreiben und dann das Kommutativgesetz benutzen?

Du kannst als schreiben, und dann darfst du in der Addition vertauschen: . Dadurch wird aus der Subtraktion aber keine kommutative Rechnung. Zum Beispiel ist , aber .

Wie kann ich a geteilt durch b als eine Multiplikation umschreiben, und gilt dann das Kommutativgesetz?

Du schreibst als Multiplikation mit dem Kehrwert: , wobei gilt. Dann darfst du in der Multiplikation vertauschen: . Das ist trotzdem nicht dasselbe wie .

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Kommutativgesetz

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist das Kommutativgesetz?

(00:12)

Kommutativgesetz Addition

(01:13)

Kommutativgesetz Multiplikation

(02:37)

Kommutativgesetz: Subtraktion ( – ) und Divison ( : )

(03:21)

Das Kommutativgesetz regelt die Reihenfolge von Zahlen bei der Addition und Multiplikation. Viele Beispiele dazu findest du in unserem Video .

Inhaltsübersicht

Was ist das Kommutativgesetz?

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(00:12)

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) besagt, dass du die Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition ( + ) oder einer Multiplikation ( ⋅ ) vertauschen kannst. Das Ergebnis verändert sich dabei nicht.

Kommutativgesetz der Addition:

a + b = b + a

Beispiel: 2 + 3 = 3 + 2

Wie du siehst, ist es egal in welcher Reihenfolge du die Zahlen addierst. Du bekommst immer 5 heraus.

Kommutativgesetz der Multiplikation:

Auch bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen egal.

a ⋅ b = b ⋅ a

Beispiel: 4 ⋅ 2 = 2 ⋅ 4

Achtung: Bei der Subtraktion ( – ) und der Division ( : ) gilt das Kommutativgesetz nicht!

Kommutativgesetz Addition

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(01:13)

Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass du beim Plusrechnen die Summanden, also die Zahlen, die addiert ( + ) werden, beliebig vertauschen kannst.

a + b = b + a

Das Kommutativgesetz gilt auch bei der Addition von Brüchen, Variablen und negativen Zahlen.

Beispiel: Positive Zahlen

4 + 8 = 8 + 4

Es ist 4 + 8 = 12 und 8 + 4 = 12. Du bekommst beides mal 12 heraus. Die Reihenfolge der Zahlen beim Plusrechnen ist also egal.

Beispiel: Positive und negative Zahlen

5 + (- 3) = (- 3) + 5

Es ist 5 + (- 3) = 5 – 3 = 2 und (-3) + 5 = -3 + 5 = 2.

Achtung: Beachte hier die Vorzeichenregeln. Plus und Minus ergibt Minus.

Beispiel: Brüche

$\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}&+&\textcolor{red}{ \frac{8}{6}} &=&\textcolor{red}{\frac{8}{6}}&+& \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}$

Linke Seite: $\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}&+&\textcolor{red}{ \frac{8}{6}} &=&\frac{2}{3}&+ &\frac{4}{3}& = &\frac{6}{3}&=&2$

Rechte Seite: $\textcolor{red}{\frac{8}{6}}&+& \textcolor{blue}{\frac{2}{3}} &=&\frac{4}{3}&+ &\frac{2}{3}& = &\frac{6}{3}&=&2$

Hinweis: Brüche addierst du, indem du sie auf einen Nenner bringst und anschließend die Zähler addierst.

Beispiel: Variablen

8a + 12a = 12a + 8a

Es ist 8a + 12a = 20a und 12a + 8a = 20a.

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Kommutativgesetz Multiplikation

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(02:37)

Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass du beim Malrechnen die Reihenfolge der Zahlen vertauschen kannst, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

a ⋅ b = b ⋅ a

Beispiel: Positive Zahlen

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2

Es ist 2 ⋅ 3 = 6 und 3 ⋅ 2 = 6. Du bekommst beides mal das gleiche Ergebnis 6 heraus. Du kannst also die Reihenfolge der Zahlen bei der Multiplikation beliebig vertauschen.

Beispiel: Negative Zahlen

(-7) ⋅ (-3) = (-3) ⋅ (-7)

Es ist (-7) ⋅ (-3) = 21 und (-3) ⋅ (-7) = 21.

Vorzeichenregeln:

( + ) ⋅ ( + ) = ( + ) ( – ) ⋅ ( – ) = ( + )

( + ) ⋅ ( – ) = ( – ) ( – ) ⋅ ( + ) = ( – )

Beispiel: Positive und negative Zahlen

8 ⋅ (-3) = (-3) ⋅ 8

Es ist 8 ⋅ (-3) = -24 und (-3) ⋅ 8 = -24.

Beispiel: Brüche

$\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}&\cdot&\textcolor{red}{\frac{8}{6}}& = &\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}& \cdot &\textcolor{red}{\frac{4}{3}}& = &\frac{8}{9}$

$\textcolor{red}{\frac{8}{6}}&\cdot&\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}& =&\textcolor{red}{\frac{4}{3}}&\cdot&\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}& = &\frac{8}{9}$

Hinweis: Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.

Beispiel: Variablen

2a ⋅ 5ab = 5ab ⋅ 2a

Linke Seite: 2a ⋅ 5ab = 5 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ b = 10a²b

Rechte Seite: 5ab ⋅ 2a = 5 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ b = 10a²b

Hinweis: Wenn Variablen häufiger vorkommen, hast du im Ergebnis eine Hochzahl (Exponent).

Kommutativgesetz: Subtraktion ( – ) und Divison ( : )

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(03:21)

Bei Minus und Geteilt gilt das Kommutativgesetz nicht. Die Subtraktion und die Division sind nicht kommutativ. Du kannst die Zahlen also nicht vertauschen!

Beispiel: Subtraktion

3 – 5 ≠ 5 – 3

Linke Seite: 3 – 5 = -2

Rechte Seite: 5 – 3 = 2

Das kannst du dir an einem Zahlenstrahl klarmachen. Bei positiven Zahlen gehst du in Richtung des Zahlenstrahls, also nach rechts. Bei negativen Zahlen gehst du nach links.

Kommutativgesetz Subtraktion, Kommutativgesetz — Kommutativgesetz Subtraktion

Beispiel: Division

8 : 4 ≠ 4 : 8

Linke Seite: 8 : 4 = 2

Rechte Seite: 4 : 8 = 0,5

Da die beiden Ergebnisse der linken und rechten Seite unterschiedlich sind, ist die Division nicht kommutativ.

Kommutativgesetz Aufgabe mit Lösung

Bestimme für die folgenden Aufgaben, ob die Ausdrücke kommutativ sind oder nicht und berechne das Ergebnis.

) 8 -2 =
) 7 + 5 =
) 3 ⋅ 4 =
) 12 : 3 =

Lösung:

) 8 – 2 = 6 nicht kommutativ, da 2 – 6 ≠ 6.
) 7 + 5 = 12 kommutativ, da auch 5 + 7 = 12.
) 3 ⋅ 4 = 12 kommutativ, da auch 4 ⋅ 3 = 12.
) 12 : 3 = 4 nicht kommutativ, da 3 : 12 ≠ 4.

Kommutativgesetz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz?

Der Unterschied zwischen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz ist: Beim Kommutativgesetz vertauschst du die Reihenfolge, beim Assoziativgesetz verschiebst du die Klammern. Konkret gilt und $a\cdot b=b\cdot a$ . Dagegen gilt .
Wie hilft mir das Kommutativgesetz dabei, lange Rechnungen im Kopf einfacher zu machen, zum Beispiel bei 7 plus 13 plus 3?

Das Kommutativgesetz hilft dir, Summanden so umzuordnen, dass eine einfache Zahl entsteht. Zum Beispiel ordnest du zu um. Danach rechnest du . So findest du zuerst den Zehner.
Warum gilt das Kommutativgesetz nicht beim Potenzieren, zum Beispiel bei 2 hoch 3 und 3 hoch 2?

Beim Potenzieren gilt das Kommutativgesetz nicht, weil Basis und Exponent unterschiedliche Rollen haben. bedeutet $2\cdot2\cdot2=8$ . Dagegen bedeutet nur $3\cdot3=9$ . Wenn du Basis und Exponent vertauschst, änderst du also die ganze Rechnung.
Kann ich a minus b als a plus (minus b) schreiben und dann das Kommutativgesetz benutzen?

Du kannst als schreiben, und dann darfst du in der Addition vertauschen: . Dadurch wird aus der Subtraktion aber keine kommutative Rechnung. Zum Beispiel ist , aber .
Wie kann ich a geteilt durch b als eine Multiplikation umschreiben, und gilt dann das Kommutativgesetz?

Du schreibst als Multiplikation mit dem Kehrwert: $a:b=a\cdot\frac{1}{b}$ , wobei $b\neq 0$ gilt. Dann darfst du in der Multiplikation vertauschen: $a\cdot\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$ . Das ist trotzdem nicht dasselbe wie .

Mathe Gesetze

Neben dem Kommutativgesetz gibt es noch weitere Rechengesetze, die du kennen solltest: Das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz . Du solltest alle drei unbedingt können, da sie in Mathe immer wieder vorkommen. Schau dir also am besten gleich unser Video zum Assoziativgesetz an!