Poissonverteilung

Q: Wie bestimmt man die durchschnittliche Ereignisrate aus einem Durchschnitt pro Zeitintervall, wenn das gefragte Intervall anders ist?

Man skaliert die durchschnittliche Ereigniszahl proportional zur Intervalllänge. Wenn im Mittel 10 Ereignisse in 15 Minuten auftreten, sind es im Mittel in 30 Minuten und in 7,5 Minuten , solange die durchschnittliche Rate als konstant angenommen wird.

Q: Wie interpretiert man Poisson-Ergebnisse?

Ein Ergebnis wie bedeutet: Mit etwa 9,5 % Wahrscheinlichkeit treten im betrachteten Zeitintervall genau 12 Ereignisse auf. Ein Wert der Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens Ereignisse auftreten. Der Erwartungswert und die Varianz sind jeweils .

Dein nächster Schritt

Poisson Verteilung Statistik

Hier bekommst du die Poisson Verteilung einfach erklärt und anhand eines Beispiels. Wir zeigen dir die Formel für die Dichte und Tipps zur Berechnung der Verteilungsfunktion, des Erwartungswerts & der Varianz. Kurz gesagt beinhaltet diese Zusammenfassung alles, was du zur Verteilung nach Poisson wissen musst.

Noch besser als dieser Artikel ist aber unser Video, welches dir die wichtigsten Eigenschaften der Poisson Verteilung in 0,nichts erklärt!

Die Poisson Verteilung gehört zu den diskreten Verteilungen. Sie wird vor allem dann gebraucht, wenn in einem Zufallsexperiment die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird.

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Mathematisch ausgedrückt sieht die Verteilung nach Poisson wie folgt aus:

$X\ ~\ Po(\lambda)$

Lambda steht dabei für die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Ereignissen.

Poisson Verteilung Beispiel

Im Alltag ergeben sich unzählige Situationen, welche mit Hilfe der Poisson Verteilung berechnet werden können. Generell wird diese benutzt, wenn n sehr groß ist und p klein. In diesem Fall wäre die Berechnung des Binomialkoeffizienten sehr aufwendig. Somit dient die Verteilung nach Poisson zur zu Annäherung an die kompliziertere Binomialverteilung.

Ein Beispiel hierfür wäre die Frage, wie viele Studenten zwischen 12.00 und 12.15 Uhr in den Vorlesungssaal kommen. Folglich ist also die zu erwartende Anzahl an Studenten gesucht.

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Wenn wir davon ausgehen, dass im Schnitt 10 Studenten die Vorlesung zwischen 12.00 und 12.15 betreten, würden wir das also wie folgt aufschreiben:

$X\ ~\ Po(10)$

Poisson Verteilung Formel

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der gesuchten Zufallsvariablen solltest du dir die folgenden Formeln und Zusammenhänge einprägen.

Poisson Verteilung Dichte

Die Formel für die Dichte in diesem Zusammenhang sieht etwas ungemütlich aus, ist aber eigentlich nicht sehr kompliziert:

$f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\ast\ e^{-\lambda}$

Damit könnte man in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 12 Studenten den Vorlesungssaal zwischen 12.00 und 12.15 Uhr betreten. Dazu setzt du einfach x gleich 12 und lamda gleich 10 in die Gleichung ein. Du erhältst eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 9,5%.

$f(12)=\frac{{10}^{12}}{12!}\ast\ e^{-10}=0,0948$

Poisson Verteilung Verteilungsfunktion

Für die Verteilungsfunktion gibt es leider mal wieder keine bequeme Formel. Du musst hier die einzelnen Werte der Dichtefunktion aufsummieren:

$F(x)=P(X\le\ x)=\sum_{k=0}^{x}{f(k)}$

Poisson Verteilung Erwartungswert

Der Erwartungswert der Poisson Verteilung ist sehr einfach zu bestimmen: Dieser wird ganz einfach durch den Wert lambda beschrieben. Das ist ja auch logisch, da der Erwartungswert den zu erwartenden Wert beschreibt und lambda genau das ausdrückt. Manchmal notiert man diesen auch mit dem kleinen griechischen Buchstaben µ. Unter anderem kann der Erwartungswert in diesem Zusammenhang auch als Intensitätsparameter bezeichnet werden.

Poisson Verteilung Varianz

Die Standardabweichung σ und Varianz σ² werden, wie gewohnt, direkt mit Hilfe des Erwartungswerts berechnet. Die Poisson Verteilung Varianz entspricht wieder dem Wert lambda. Betrachten wir die Standardabweichung, ergibt sich diese logischerweise aus der Wurzel des Erwartungswertes.

Jetzt ist die Poissonverteilung kein Problem mehr für dich!

Zusammenfassung — Poissonverteilung

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Poisson Verteilung — häufigste Fragen

Woran erkennt man im Aufgabentext, dass man die Poissonverteilung statt der Binomialverteilung verwendet?

Typische Hinweise für die Poissonverteilung sind Formulierungen wie „Anzahl von Ereignissen in einem Zeitintervall“ und eine gegebene durchschnittliche Ereigniszahl $\lambda$ pro Intervall. Außerdem wird sie oft genannt, wenn die Binomialverteilung zwar passt, aber mit großem

und kleinem

gerechnet würde.

Wie bestimmt man die durchschnittliche Ereignisrate aus einem Durchschnitt pro Zeitintervall, wenn das gefragte Intervall anders ist?

Man skaliert die durchschnittliche Ereigniszahl $\lambda$ proportional zur Intervalllänge. Wenn im Mittel 10 Ereignisse in 15 Minuten auftreten, sind es im Mittel in 30 Minuten $10\cdot 2=20$ und in 7,5 Minuten $10\cdot 0{,}5=5$ , solange die durchschnittliche Rate als konstant angenommen wird.

Was bedeutet es, wenn die mittlere Ereignisrate eine Kommazahl ist?

Eine Kommazahl bei der mittleren Ereignisrate bedeutet, dass $\lambda$ ein Durchschnittswert (Erwartungswert) ist und keine tatsächlich gezählte Ereigniszahl. Einzelne Beobachtungen von

sind trotzdem immer ganze Zahlen wie $0, 1, 2, \dots$ , aber ihr langfristiger Mittelwert kann z. B. 2,4 sein.

Wie interpretiert man Poisson-Ergebnisse?

Ein Ergebnis wie P(X=12)=0{,}0948

bedeutet: Mit etwa 9,5 % Wahrscheinlichkeit treten im betrachteten Zeitintervall genau 12 Ereignisse auf. Ein Wert der Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\le x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens

Ereignisse auftreten. Der Erwartungswert und die Varianz sind jeweils $\lambda$ .

Bernoulliverteilung

Die Poisson Verteilung basiert auf der Bernoulli-Verteilung als Grundlage. Welche Eigenschaften die Bernoulli-Verteilung hat und wie sie sich unterscheidet, erfährst du in unserem Beitrag dazu!