Wie berechnet man den Mittelwert?

Den Mittelwert berechnet man, indem man alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte teilt. Für Werte gilt: . Der Mittelwert ist der „durchschnittliche“ Wert der Daten.

Wie berechnet man die Standardabweichung?

Die Standardabweichung berechnet man, indem man die Abstände der Werte vom Mittelwert betrachtet, diese quadriert, mittelt und daraus die Wurzel zieht. Für eine Grundgesamtheit gilt: . Bei Stichproben steht oft im Nenner.

Was ist die Drei-Sigma-Regel?

Die Drei-Sigma-Regel sagt bei einer Normalverteilung, dass etwa aller Werte im Intervall von drei Standardabweichungen um den Erwartungswert liegen. Mathematisch: . Außerhalb dieses Bereichs liegen zusammen nur ungefähr .

Was ist die Sigmaregel für 95 Prozent?

Die Sigmaregel für etwa ist die 2-Sigma-Regel der Normalverteilung: Rund der Werte liegen im Intervall zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert. Das schreibt man als . ist dabei eine gerundete Faustzahl.

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Sigma Regeln Mathe

Wichtige Inhalte in diesem Video

Sigma-Regeln einfach erklärt

(00:13)

Sigma-Regeln Normalverteilung

(01:01)

Sigma-Regeln Binomialverteilung

(02:10)

Du fragst dich, was die Sigma-Regeln sind und wie du sie anwendest? Hier und in unserem Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst!

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Sigma-Regeln einfach erklärt

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(00:13)

Mit den Sigma-Regeln kannst du bei Wahrscheinlichkeits-Verteilungen die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle angeben. Beispielsweise kannst du mit ihnen sagen, in welchem Bereich ca. 99,7% aller Werte liegen. Sie gelten immer bei normalverteilten Wahrscheinlichkeiten.

sigma regeln, sigma regel, sigma mathe, 2 sigma, sigmaregeln, 1 sigma — Die Sigma-Regeln

Die Sigma-Regeln lauten:

P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%
P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%
P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%

Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung. Beispielsweise bedeutet die erste Regel, dass Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.

Sigma-Regeln Normalverteilung

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(01:01)

Damit du die Sigma-Regeln wirklich verstehst, musst du dir auch ihre Anwendung anschauen. Dazu betrachten wir die Normalverteilung des Intelligenzquotienten in Deutschland.

Hier ist der Erwartungswert μ = 100 und die Standardabweichung Sigma σ = 15 gegeben.

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Jetzt kannst du mit der Sigma-Regel bestimmen, in welchem Bereich die Intelligenz 99,7% der Menschen liegen werden. Dazu musst du die 3. Sigma-Regel von der 3 Sigma Umgebung betrachten, denn sie beschreibt immer genau 99,7 %:

[μ-3σ ; μ+3σ] = [100 – 3 · 15 ; 100 +3 · 15] = [55 ; 145]

➜ Aus deinem Ergebnis kannst du schließen, dass 99,7% der Deutschen einen IQ zwischen 55 und 145 haben.

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Sigma-Regeln Binomialverteilung

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(02:10)

Die Sigma-Regeln gelten grundsätzlich nur bei normalverteilten Größen. Du kannst sie aber auch auf eine Binomialverteilung anwenden, wenn die Verteilung zur Normalverteilung angenähert werden kann. Das ist nur der Fall, wenn die Laplace Bedingung stimmt:

σ = $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
σ > 3

Ist also die Standardabweichung einer binomialverteilten Größe größer als 3, lässt die Binomialverteilung sich auch mit einer Normalverteilung annähernd beschreiben. Dann kannst du wieder die Sigma-Regeln anwenden. Schau dir dazu wieder ein Beispiel an:

Bei einem Würfel-Glücksspiel ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn p = 0,2. Es wird außerdem 100-mal pro Spiel geworfen. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass es bei einem Spiel 16 bis 24 Gewinne gibt?

Zuerst musst du überprüfen, ob man hier eine Normalverteilung annähern kann. Das machst du mit der Laplace Bedingung:

σ = $\sqrt{100\cdot 0,2\cdot (1-0,2)}$ = $\sqrt{16}$ ≈ 4 ✅

Jetzt kannst du auch noch den Erwartungswert μ berechnen, um das Intervall genau zu bestimmen:

μ = n · p = 0,2 · 100 = 20

Wenn du das Intervall der Gewinne [16 ; 24] genau anschaust, fällt dir auf, dass das die erste Sigma-Regel ist: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ). Weil hier jeweils 1 Sigma von dem Erwartungswert abgezogen und zu ihm dazugerechnet wurde (20-4 ; 20+4).

Die ist bei normalverteilten Größen immer auf 63,3 % festgelegt. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Spiel 16 bis 24 Gewinne dabei sind, 63,3%.

Übrigens: Wenn du eine Binomialverteilung zur Normalverteilung annähern kannst, können die Sigma-Regeln auch bei Hypothesentests helfen. Schau dazu in unser Video rein!

Zusammenfassung

Sigma-Regeln – Das Wichtigste

Die Sigma-Regeln gelten bei Normalverteilungen und sind: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%; P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%; P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%.
Sie werden auch als die 1 Sigma Umgebung, die 2 Sigma Umgebung und die 3 Sigma Umgebung bezeichnet.
Du wendest sie immer bei Normalverteilungen an.
Du kannst ebenso eine Binomialverteilung an eine Normalverteilung annähern, wenn die Laplace Bedingung (σ > 3) gilt. Dann finden die Sigma-Regeln wieder Verwendung.

Super! Du kennst jetzt die Sigma-Regeln und auch ihre Anwendung. Ein wichtiger Bestandteil von ihnen ist die Standardabweichung. Wenn du dazu noch mehr erfahren willst, schau in unser Video dazu rein!

Sigma Regeln Mathe — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie berechnet man den Mittelwert?

Den Mittelwert berechnet man, indem man alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte teilt. Für Werte $x_1,\dots,x_n$ gilt: $\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$ . Der Mittelwert ist der „durchschnittliche“ Wert der Daten.
Wie berechnet man die Standardabweichung?

Die Standardabweichung berechnet man, indem man die Abstände der Werte vom Mittelwert betrachtet, diese quadriert, mittelt und daraus die Wurzel zieht. Für eine Grundgesamtheit gilt: $\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$ . Bei Stichproben steht oft im Nenner.
Was ist die Drei-Sigma-Regel?

Die Drei-Sigma-Regel sagt bei einer Normalverteilung, dass etwa $99{,}7\,\%$ aller Werte im Intervall von drei Standardabweichungen um den Erwartungswert liegen. Mathematisch: $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)\approx 99{,}7\%$ . Außerhalb dieses Bereichs liegen zusammen nur ungefähr $0{,}3\,\%$ .
Was ist die Sigmaregel für 95 Prozent?

Die Sigmaregel für etwa $95\,\%$ ist die 2-Sigma-Regel der Normalverteilung: Rund $95{,}4\,\%$ der Werte liegen im Intervall zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert. Das schreibt man als $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma)\approx 95{,}4\%$ . $95\,\%$ ist dabei eine gerundete Faustzahl.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen

Die Sigma-Regeln sind ein fester Teil von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und kommen oft bei normalverteilten Daten vor. Du ordnest Wahrscheinlichkeiten zu Bereichen um den Erwartungswert und liest ab, wie stark Werte typischerweise streuen. So erkennst du, welche Ergebnisse noch im normalen Bereich liegen und ab wann Abweichungen auffallen. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.

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