Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Du willst wissen, wie du die Normalverteilung berechnen und zur Standardnormalverteilung transformieren kannst? Alles über die Gaußsche Normalverteilung erfährst du in unserem Beitrag und in unserem Video ! Viel Spaß!%Was habe ich gemacht? habe alle Überschriften entfettet, Bilder gelöscht und neue erstellt, formeln in latex geschrieben, man und wir durch du ergänzt, einfacher erklärt, die Infos der Konkurrenz ergänzt (und an den entsprechenden stellen markiert)

Normalverteilung einfach erklärt

Die Normalverteilung verwendest du, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen. Du nennst die Normalverteilung auch Gaußverteilung (nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß) oder Glockenkurve— entsprechend dem typischen Verlauf der Normalverteilung.

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Normalverteilung
Formel Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung:

    \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\cdot {(\frac{x-\mu}{\sigma}})^2}\]

 

Normalverteilung Statistik

Aber warum ist die Gaußsche Normalverteilung denn nun die wichtigste Verteilung in der Statistik? Ganz einfach: so gut wie jeder Mittelwert einer x-beliebigen stetigen Verteilung folgt der Glockenkurve. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt.

So ist zum Beispiel die Körpergröße der Menschen annähernd normalverteilt. Das liegt daran, dass es nun mal wenig Zwerge und Riesen unter den Menschen gibt. Dafür aber ziemlich viele Personen, welche annähernd so groß sind wie der Durchschnitt. Somit ergibt sich auch die charakteristische glockenförmige Gaussverteilung.

Normalverteilung Formel

Die Formeln und Variablen für die Gauß Verteilung sind nicht sehr kompliziert. Du musst jedoch darauf achten, die richtigen Werte an der richtigen Stelle einzusetzen.  Die Gaußche Normalverteilung hängt grundsätzlich von zwei Kennzahlen ab: dem Erwartungswert μ und der Varianz σ², wobei gilt:

\mu\ \in\ R und \sigma^2>\ 0

Die Gaussverteilung bezeichnest du deswegen auch kurz als N(μ,σ²).

Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass du bei manchen Aufgaben zur Gauss Verteilung zuerst die Standardnormalverteilung berechnen musst.

Klasse! Jetzt kennst du schon die Normalverteilung Formel!

Gaußsche Normalverteilung: Erwartungswert und Varianz

Veränderst du  den Erwartungswert μ, verschiebt sich die Kurve nach links oder rechts. Das ist auch logisch, denn bei μ liegt immer das Maximum. Das liegt daran, dass der erwartete Wert in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt. Je größer der Erwartungswert μ, desto weiter verschiebt sich die Funktion auf der x- Achse nach rechts.

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Je höher der Erwartungswert, desto weiter verschiebt sich die Normalverteilung nach rechts.

Die Varianz σ² hingegen verändert die Form deiner Glockenkurve, sie wird also entweder gestreckt oder gestaucht. Je größer dein Sigma, desto gestauchter wird die Funktion: Die Gaussche Normalverteilung wird also breiter.

 

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Je größer die Varianz, desto breiter (gestauchter) wird die Normalverteilung

Dichtefunktion Normalverteilung

Die Dichtefunktion normalverteilter Werte sieht auf den ersten Blick vielleicht schwierig aus, besteht aber im Endeffekt nur aus den bereits behandelten Variablen.

    \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\cdot {(\frac{x-\mu}{\sigma}})^2}\]

Eine Dichtefunktion der Gauss Normalverteilung mit N(μ,σ²) hat dabei folgende Eigenschaften:

Sie…

  • besteht aus dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ
  • ist symmetrisch zur Symmetrieachse y= μ
  • ist nie 0
  • ist unimodal (eingipflig)
  • erreicht ihr Maximum am Erwartungswert μ
  • ist bei ihrer Ableitung positiv für Werte von x < µ und negativ für Werte von x > µ
  •  ist stetig und daher von -∞ bis ∞ definiert
  • hat zwei Wendestellen: Diese sind genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt, nämlich bei x1 = µ – σ und x2 = µ + σ
Eigenschaften Normalverteilung, Normalverteilung, Wendestellen, Standardabweichung, Varianz, Mittelwert, Sigma, Mü, Maximum, Erwartungswert, Funktion Normalverteilung
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Eigenschaften einer Normalverteilung

In dieser Graphik erkennst du die Lage annähernd normalverteilter Daten: 68% aller Daten befinden sich innerhalb einer Standardabweichung vom Erwartungswert. 95% liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen vom Erwartungswert. Und fast alle Daten, nämlich 99,7% befinden sich innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert. Um dir die Prozentzahlen besser zu merken, nennst du dies auch die 68-95-99,7 Regel.

Verteilungsfunktion Normalverteilung

Die Formel für die Verteilungsfunktion ist dagegen etwas komplizierter. Eine Verteilungsfunktion beschreibt die eingeschlossene Fläche unter der Funktion. Hier berechnest du also die Fläche unter der Gaussverteilung. Dafür benötigst du ein Integral , mit dem du die einzelnen Werte von –\infty bis zum Wert t summierst.

    \[F(x) = \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\cdot {(\frac{t-\mu}{\sigma}})^2} dt\]

Übrigens: Wenn du den Teil \frac{t-\mu}{\sigma} der Formel durch z substituierst, erhältst du die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung:

Substituiere

z = \frac{t-\mu}{\sigma}

und du erhältst:

    \[\phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} t^2} dt\]

Verteilungsfunktionen der Gaußschen Normalverteilung können grafisch so aussehen:

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Verteilungsfunktionen von Normalverteilungen mit verschiedenen Erwartungswerten und Varianzen

Aber keine Sorge! Solche Verteilungsfunktionen berechnest du nicht im Kopf. Du nutzt dafür sogenannte Verteilungstabellen. Mit ihnen kannst du das Ergebnis ganz einfach ablesen. Die Verteilungstabelle%Link sobald Tab da der Standardnormalverteilung findest weiter unten im Beitrag.

Annäherung an die Binomialverteilung

Du kannst dich mit der Gauss Normalverteilung der Binomialverteilung annähern. Diese Annäherung funktioniert vor allem mit einer großen Stichprobe, also einem großen n > 20.

Ist XB (n; p; k) mit

X = binomialverteilte Zufallsvariable

n = Anzahl der Ziehungen

p = Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs

k = Anzahl der Erfolge

so gilt: P (X ≤ k) ≈ \phi = (\frac{k + 0,5 -\mu}{\sigma})

und P (l≤ X≤ k) ≈ \phi = (\frac{k + 0,5 -\mu}{\sigma}) - \phi = (\frac{l \textcolor{red}{-} 0,5 -\mu}{\sigma}) 

Bei der Annäherung mit der Gaußschen Normalverteilung solltest du nun ein paar Dinge beachten:

  • bei jeder Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ= n p
  • und die Standardabweichung σ = √σ² = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}
  • nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Annäherung klein
  • Pass auf, wann du +0,5 und wann du -0,5 in die Formel einsetzt!

Normalverteilung Tabelle

Wenn die Rede von der Verteilungstabelle der Normalverteilung ist, ist im Normalfall die Tabelle der Standardnormalverteilung gemeint.

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,5 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,5279 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,5438 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 06,1026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,6293 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,6591 0,66276 0,6664 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,7054 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,7224
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,7549
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,7673 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,7823 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,8665 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,879 0,881 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,9032 0,9049 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,9222 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,9452 0,9463 0,94738 0,94845 0,9495 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,9608 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,9732 0,97381 0,97441 0,975 0,97558 0,97615 0,9767
2 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,9803 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,983 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,985 0,98537 0,98574
2,2 0,9861 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,9884 0,9887 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,9901 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,9918 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,9943 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,9952
2,6 0,99534 0,99547 0,9956 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,9972 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,9976 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,999
3,1 0,99903 0,99906 0,9991 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,9994 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,9995
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,9996 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,9997 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,9998 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,9999 0,9999 0,9999 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
4 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Die Werte der ersten Zeile unter z und die Werte der ersten Spalte für \phi\left(z\right) ergeben zusammen den gesuchten Wert. Um die Werte aus der Tabelle abzulesen, geht man folgendermaßen vor:

Das z steht dabei für den Wert bis zur ersten Nachkommastelle. Um den Wert auf die zweite Nachkommastelle genau zu bestimmen, addiert man den passenden Wert aus der ersten Zeile der Tabelle einfach hinzu. Anschließend kann man die gesuchte Verteilung an der Schnittstelle ablesen.

Der kleinste Wert der Tabelle der Gaußschen Normalverteilung ist 0. Da die Standardnormalverteilung symmetrisch ist, kann man aber auch die Wahrscheinlichkeit für negative Werte ablesen indem man den positiven Wert von 1 subtrahiert.

\phi\left(-z\right)=1-\phi\left(z\right)

Standardnormalverteilung

Jetzt musst du nur noch einen Schritt beachten. Denn es gibt unendlich viele Gauss Normalverteilungen und für jede bräuchtest du eine eigene Verteilungstabelle.

(N (5;2); N (5;2,1); N (5;2,2) …)

Da dies schlichtweg unmöglich ist, gibt es die Standardnormalverteilung:

X\sim\ N(0;1)

Standardnormalverteilung berechnen

Du kannst jede beliebige Verteilung in die Standardnormalverteilung transformieren, indem du zuerst den Erwartungswert abziehst und anschließend durch die Standardabweichung teilst.

Z\ =\ \frac{X\ -\ \mu}{\sigma}

Es gilt also: F\left(x\right)= \Phi\left(\frac{x\ -\ \mu}{\sigma}\right)

Um Verwechslungen zu vermeiden wird die standardisierte Form der Verteilung mit \Phi\(z) und nicht mit F\left(x\right) notiert.

Standardnormalverteilung Tabelle

Nun benötigst du noch die oben abgebildete Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung und kannst alle Wahrscheinlichkeiten ganz einfach ablesen. Da in der Tabelle nur positive Werte gelistet sind, musst du bei negativen Werten eine kurze Umrechnung durchführen. So berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass Z\le-15:

P\left(Z\le-15\right)=1-P\left(Z\le15\right)

Oder allgemein ausgedrückt:

\Phi\left(-z\right)=1-\Phi\left(z\right)

Normalverteilung berechnen

Schau dir nun die Gaussverteilung an einem konkreten Beispiel an. Zur Berechnung mit der gaußschen Normalverteilung sind dir folgende Daten gegeben:

Die Brenndauer einer Kerze ist mit \mu=40 und \sigma=7 normalverteilt.

N(40;7)

Normalverteilung Beispiel 1

Nun möchtest du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt.

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Normalverteilung berechnen

P\left(33\le x\le47\right)=F\left(47\right)-F(33)

Als Erstes musst du deine Gaußsche Verteilung erstmal mit der eben erwähnten Formel standardisieren und vereinfachen:

F\left(47\right)-F\left(33\right)=\Phi\left(\frac{47-40}{7}\right)- \Phi\left(\frac{33-40}{7}\right) = \Phi\left(1\right)- \Phi\left(-1\right)

Der Subtrahend hat einen negativen Wert. Um ihn in der Tabelle nachschlagen zu können, musst du ihn in einen positiven Wert umwandeln. Also:

\Phi\left(1\right)- [1-\Phi\left(1\right)]

Anschließend kannst du noch ausmultiplizieren:

2 * \Phi\left(1\right)-1

Um \Phi\left(1\right) herauszufinden, benötigst du nun die Tabelle der gaußschen Glockenkurve. Im Genaueren also die der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Diese befindet sich wahrscheinlich hinten in deinem Skript oder in deiner Formelsammlung.

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Normalverteilung Wahrscheinlichkeit

Du suchst also in der Spalte z nach dem Wert 1 und kannst dann dein \Phi\left(1\right) ganz einfach ablesen. Es beträgt 0,8413.

Setzt du diesen Wert in deine Formel ein, kommst du auf ein Ergebnis von

2 * 0,8413-1 = 0,6826

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt, beträgt also 68,26%.

Normalverteilung Beispiel 2

Die Frage lässt sich natürlich auch anders herum stellen. Zum Beispiel: Wie lange brennt die Kerze mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent?

P\left(X\le x\right) = 0,7

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Normalverteilung Beispiel

Dazu bestimmst du das 70 %-Quantil und das geht so:

Zuerst schlägst du dein alpha-Quantil in der Verteilungstabelle nach. Achtung, hierfür gibt es nochmal eine neue Tabelle! Die Handhabung ist trotzdem die Gleiche wie eben.

Anschließend musst du dein neues z_\alpha in das Quantil q_\alpha der tatsächlichen Gauß Verteilung transformieren. Dazu brauchst du folgende Formel:

q_\alpha=\ \mu\ +\ \sigma\ *  z_\alpha

Also eigentlich berechnest du die umgekehrte Standardisierung. Die einzusetztenden Werte liest du wieder ganz einfach aus der Gaußschen Normalverteilung Tabelle ab.

Für dein Beispiel hieße das:

q_\alpha=\ 40\ +\ 7\ *\ 0,5244 = 43,5708

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Tabelle Normalverteilung

Deine Kerze brennt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % mindestens 43,5 Stunden.

Du siehst, so schwer ist die Gaußsche Normalverteilung gar nicht. Du musst nur den Umgang mit den Tabellen üben, damit du in der Klausur keine Zeit verlierst. Alles andere wird ein Kinderspiel.

Standardnormalverteilung

Super! Jetzt kennst du die Definition und die Formel einer Gaußschen Normalverteilung. Außerdem kennst du nun den Begriff Gaußsche Glockenkurve für die Normalverteilung. Wenn du dir die Besonderheiten der Standardnormalverteilung noch genauer anschauen willst, ist dieses Video%Link sobald da genau das richtige für dich! Viel Spaß! %Thumbnailverweis

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