Schnittgrößen berechnen
In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du für die Berechnung von Schnittgrößen vorgehen musst. Dabei schauen wir uns ein Beispiel genauer an und berechnen alle wichtigen Größen. Schau dir doch unser Video hier an, falls du nicht so viel Text lesen möchtest.
Inhaltsübersicht
Schnittgrößen und Freischneiden
In dem hier
verlinkten Video erklären wir dir die Grundlagen zu diesem Beitrag. Dort lernst du die Formeln zur Berechnung der Schnittgrößen kennen. Um die Größen für ein beliebiges System zu berechnen, kannst du wie folgt vorgehen: Zuerst musst du das System freischneiden, dann die Auflagerkräfte berechnen und als letztes die Schnittgrößen über die Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
In unserem Fall sieht das System so aus:
Wie du siehst haben wir einen ebenen Balken, der mit einem Festlager und einem Loslager befestigt ist und auf den zusätzlich eine Kraft von 
in einem Winkel von 
wirkt.
Freischneiden
Für das Freischneiden gibt es wieder eine Konvention. Wirkt auf den Balken zusätzlich zu den Lagerkräften eine Kraft, dann wird direkt vor und direkt hinter dieser Kraft geschnitten, der sogenannte Freischnitt. Das bedeutet, dass der erste Bereich unmittelbar vor der Kraft endet. Zur Visualisierung zeichnet man die Schnitte allerdings nicht direkt bei der Kraft ein. Der zweite Bereich umfasst den gesamten Balken. Nun haben wir unsere zwei Bereiche und können die Auflagerkräfte bestimmen.
Dafür muss man wissen, dass uns ein Festlager immer eine Kraft in horizontaler und eine in vertikaler Richtung liefert. Das Loslager hingegen bringt uns nur eine Kraft in vertikaler Richtung hervor. Jetzt haben wir alle Kräfte eingezeichnet und können uns mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen an die Berechnung der Auflagerkräfte machen.
Auflagerkräfte berechnen
Das Vorgehen ist hier immer gleich: zuerst stellen wir in jede Richtung unsere Kräfte– und Momentengleichgewichte auf.
Als erstes betrachten wir die horizontale Richtung. In unserem Beispiel wirken hier die Kraft 
und die Kraft 
. Da die Kraft schräg auf den Balken auftrifft, wirkt sie nur zu einem Teil in x-Richtung. Nämlich nur mit dem Anteil 
. Dies ergibt sich aus den trigonometrischen Beziehungen. Für unser Gleichgewicht in x-Richtung gilt also:
Wir stellen die Formel nun nach um und setzen für 
ein. Dadurch ergibt sich für eine Kraft von 
.
Die vertikalen Kräfte sind in unserem Beispiel die Kraft 
, die entlang der y-Achse wirkt, die Kraft , die anteilig entgegen wirkt und die Kraft 
, die wiederum entlang der y-Achse wirkt. Als Formel ausgedrückt sieht das dann so aus:
Wenn wir diese Formel nun nach umstellen, fällt auf, dass wir zwei Unbekannte haben – und . Wir müssen also zuerst an einer anderen Stelle weitermachen, um ausrechnen zu können.
Drehmoment berechnen
Hier bietet sich das Drehmoment
an. Wir legen fest, dass wir den Punkt 
betrachten und unser Moment im Uhrzeigersinn drehen lassen. Rotieren wir nun rechts um den Punkt herum, stellen wir fest, dass die Kraft anteilig positiv zur Drehung beiträgt und, dass die Kraft dieser entgegenwirkt. Da es sich hier um Drehmomente handelt, ist es wichtig, dass du den Abstand zu unserem Drehpunkt nicht vernachlässigst. Die Formel sieht dann so aus:
Jetzt können wir die Formel nach 
umstellen und erhalten dann nach Einsetzen unserer Zahlen eine Kraft 
. Du siehst, dass wir nun auch unsere Kraft ausrechnen können, indem wir in die vorherige Formel einsetzen. Daraus ergibt sich eine Kraft von 
.
Jetzt haben wir alle Auflagerkräfte bestimmt und können uns endlich an die Berechnung der Schnittgrößen machen.
Berechnung der Schnittgrößen
Hier muss man jeden Bereich separat betrachten. Im ersten Bereich wirkt in horizontaler Richtung nun zusätzlich zu den bekannten Kräften noch die Normalkraft 
. Die Kraft 
ist hier nicht relevant, da wir ja vor der Kraft geschnitten haben. Daraus resultiert folgende Formel:
Wenn wir die Formel umstellen, dann gilt für unsere Schnittgröße:
Für die vertikale Richtung im ersten Bereich erfolgt die Rechnung analog. Hier wirkt die Querkraft 
der Kraft entgegen, die Kraft bleibt wieder unbeachtet. Für ergibt sich dann ein Wert von .
Schnittmoment bestimmen
Nun bestimmen wir das Schnittmoment. Wir drehen im Uhrzeigersinn um unseren Schnittpunkt 1. Das Moment 
wirkt unserer Drehung also entgegen und die Kraft begünstigt unsere Drehung. Wichtig ist, dass wir wieder den Abstand zum Drehpunkt betrachten. Das ergibt dann:
Du siehst, dass unser Drehmoment an der Stelle 
gleich ist und bei „L ist gleich ein Meter“ den Wert 
annimmt.
Als nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen für den zweiten Bereich. Die Berechnung erfolgt analog zu Bereich I, allerdings kommt jetzt noch die Kraft und die Auflagerkraft hinzu.
In horizontaler Richtung wirkt die Kraft , die Normalkraft 
und anteilig die Kraft . Nach Umstellen und Einsetzen erhalten wir 
.
In y-Richtung sieht das sehr ähnlich aus. Hier wirkt die Kraft der Kraft und der Querkraft 
entgegen. In Formeln kann man das folgendermaßen ausdrücken:
und
Jetzt fehlt nur noch das Schnittmoment für den zweiten Bereich. Wir müssen wieder das Schnittmoment für beide Enden unseres Bereichs bestimmen, allerdings ist unser Moment am positiven Schnittufer nicht wie vorher Null. Wir führen deswegen die Laufvariable 
ein. 
befindet sich dann direkt am Punkt der Krafteinwirkung von . Unsere Formel sieht nun ein kleines bisschen anders aus:
und
Setzen wir nun unsere Angaben ein. Für nehmen wir an. Daraus folgt:
Und um das Drehmoment am Ende unseres Balkens herauszufinden, setzen wir nun für 
ein.
≈ 0 Nm
So kannst du ganz einfach die Schnittgrößen für jeden beliebigen Balken ausrechnen. Hier hast du nochmal alle Schnittgrößen für unser System im Überblick:
Ab sofort kannst du nun mit deinem Wissen über Schnittgrößen, Streckenlast und Freischneiden glänzen.