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Schnittgrößen berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Schnittgrößen und Freischneiden

Auflagerkräfte berechnen

Drehmoment berechnen

Berechnung der Schnittgrößen

Schnittmoment bestimmen

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du für die Berechnung von Schnittgrößen vorgehen musst. Dabei schauen wir uns ein Beispiel genauer an und berechnen alle wichtigen Größen. Schau dir doch unser Video hier an, falls du nicht so viel Text lesen möchtest.

Inhaltsübersicht

Schnittgrößen und Freischneiden

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In dem hier verlinkten Video erklären wir dir die Grundlagen zu diesem Beitrag. Dort lernst du die Formeln zur Berechnung der Schnittgrößen kennen. Um die Größen für ein beliebiges System zu berechnen, kannst du wie folgt vorgehen: Zuerst musst du das System freischneiden, dann die Auflagerkräfte berechnen und als letztes die Schnittgrößen über die Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
In unserem Fall sieht das System so aus:

Schnittgrößen, Streckenlast, Schnittufer, Freischneiden, FreischnittSchnittgrößen, Streckenlast, Schnittufer, Freischneiden, Freischnitt, Querkraft, Normalkraft, Schnittmoment — Schnittgrößen berechnen – Freischneiden / Freischnitt

Wie du siehst haben wir einen ebenen Balken, der mit einem Festlager und einem Loslager befestigt ist und auf den zusätzlich eine Kraft von 200N in einem Winkel von $45^\circ$ wirkt.

Freischneiden

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Für das Freischneiden gibt es wieder eine Konvention. Wirkt auf den Balken zusätzlich zu den Lagerkräften eine Kraft, dann wird direkt vor und direkt hinter dieser Kraft geschnitten, der sogenannte Freischnitt. Das bedeutet, dass der erste Bereich unmittelbar vor der Kraft endet. Zur Visualisierung zeichnet man die Schnitte allerdings nicht direkt bei der Kraft ein. Der zweite Bereich umfasst den gesamten Balken. Nun haben wir unsere zwei Bereiche und können die Auflagerkräfte bestimmen.
Dafür muss man wissen, dass uns ein Festlager immer eine Kraft in horizontaler und eine in vertikaler Richtung liefert. Das Loslager hingegen bringt uns nur eine Kraft in vertikaler Richtung hervor. Jetzt haben wir alle Kräfte eingezeichnet und können uns mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen an die Berechnung der Auflagerkräfte machen.

Auflagerkräfte berechnen

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Das Vorgehen ist hier immer gleich: zuerst stellen wir in jede Richtung unsere Kräfte– und Momentengleichgewichte auf.
Als erstes betrachten wir die horizontale Richtung. In unserem Beispiel wirken hier die Kraft A_x und die Kraft . Da die Kraft schräg auf den Balken auftrifft, wirkt sie nur zu einem Teil in x-Richtung. Nämlich nur mit dem Anteil $\frac{F}{\sqrt2}$ . Dies ergibt sich aus den trigonometrischen Beziehungen. Für unser Gleichgewicht in x-Richtung gilt also:

$A_x+\frac{F}{\sqrt2}=0$

Wir stellen die Formel nun nach A_x um und setzen für F = 200N ein. Dadurch ergibt sich für A_x eine Kraft von -141,42N .
Die vertikalen Kräfte sind in unserem Beispiel die Kraft A_y , die entlang der y-Achse wirkt, die Kraft , die anteilig entgegen wirkt und die Kraft B_y , die wiederum entlang der y-Achse wirkt. Als Formel ausgedrückt sieht das dann so aus:

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Wenn wir diese Formel nun nach B_y umstellen, fällt auf, dass wir zwei Unbekannte haben – A_y und B_y . Wir müssen also zuerst an einer anderen Stelle weitermachen, um B_y ausrechnen zu können.

Drehmoment berechnen

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Hier bietet sich das Drehmoment an. Wir legen fest, dass wir den Punkt betrachten und unser Moment im Uhrzeigersinn drehen lassen. Rotieren wir nun rechts um den Punkt herum, stellen wir fest, dass die Kraft anteilig positiv zur Drehung beiträgt und, dass die Kraft B_y dieser entgegenwirkt. Da es sich hier um Drehmomente handelt, ist es wichtig, dass du den Abstand zu unserem Drehpunkt nicht vernachlässigst. Die Formel sieht dann so aus:

$\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ l-B_y\cdot 2l=0$

Jetzt können wir die Formel nach $\mathbf{B_y}$ umstellen und erhalten dann nach Einsetzen unserer Zahlen eine Kraft B_y = 70,71N . Du siehst, dass wir nun auch unsere Kraft A_y ausrechnen können, indem wir B_y in die vorherige Formel einsetzen. Daraus ergibt sich eine Kraft A_y von 70,71N .
Jetzt haben wir alle Auflagerkräfte bestimmt und können uns endlich an die Berechnung der Schnittgrößen machen.

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Berechnung der Schnittgrößen

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Hier muss man jeden Bereich separat betrachten. Im ersten Bereich wirkt in horizontaler Richtung nun zusätzlich zu den bekannten Kräften noch die Normalkraft N_I . Die Kraft $\mathbf{F}$ ist hier nicht relevant, da wir ja vor der Kraft geschnitten haben. Daraus resultiert folgende Formel:

A_x+N_I=0

Wenn wir die Formel umstellen, dann gilt für unsere Schnittgröße:

$N_I=\ -\ A_x=141,42N$

Für die vertikale Richtung im ersten Bereich erfolgt die Rechnung analog. Hier wirkt die Querkraft Q_I der Kraft A_y entgegen, die Kraft bleibt wieder unbeachtet. Für Q_I ergibt sich dann ein Wert von 70,71N .

Schnittmoment bestimmen

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Nun bestimmen wir das Schnittmoment. Wir drehen im Uhrzeigersinn um unseren Schnittpunkt 1. Das Moment M_I wirkt unserer Drehung also entgegen und die Kraft A_y begünstigt unsere Drehung. Wichtig ist, dass wir wieder den Abstand zum Drehpunkt betrachten. Das ergibt dann:

$-M_I+A_y\cdot \ l=0$

$M_I=\ A_y\cdot \ l$

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Du siehst, dass unser Drehmoment an der Stelle gleich ist und bei „L ist gleich ein Meter“ den Wert 70,71Nm annimmt.

Als nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen für den zweiten Bereich. Die Berechnung erfolgt analog zu Bereich I, allerdings kommt jetzt noch die Kraft und die Auflagerkraft B_y hinzu.
In horizontaler Richtung wirkt die Kraft A_x , die Normalkraft $N_{II}$ und anteilig die Kraft . Nach Umstellen und Einsetzen erhalten wir $N_{II} ≈ 0$ .
In y-Richtung sieht das sehr ähnlich aus. Hier wirkt die Kraft A_y der Kraft und der Querkraft $Q_{II}$ entgegen. In Formeln kann man das folgendermaßen ausdrücken:

$A_y-\frac{F}{\sqrt2}-Q_{II}=0$

und

$Q_{II}=A_y-\frac{F}{\sqrt2}=-\ 70,71\ N$

Jetzt fehlt nur noch das Schnittmoment für den zweiten Bereich. Wir müssen wieder das Schnittmoment für beide Enden unseres Bereichs bestimmen, allerdings ist unser Moment am positiven Schnittufer nicht wie vorher Null. Wir führen deswegen die Laufvariable x_2 ein. x_2 = 0 befindet sich dann direkt am Punkt der Krafteinwirkung von . Unsere Formel sieht nun ein kleines bisschen anders aus:

$A_y\cdot\left(l+x_2\right)-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ x_2-M_{II}=0$

und

$M_{II}=A_y\cdot\left(l+x_2\right)-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ x_2$

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Setzen wir nun unsere Angaben ein. Für x_2 nehmen wir an. Daraus folgt:

$M_{II(0)}=A_y\cdot\ l=70,71\ Nm$

Und um das Drehmoment am Ende unseres Balkens herauszufinden, setzen wir nun für x_2 ein.

$M_{II(l)}=A_y\cdot 21-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ l\$ ≈ 0 Nm

So kannst du ganz einfach die Schnittgrößen für jeden beliebigen Balken ausrechnen. Hier hast du nochmal alle Schnittgrößen für unser System im Überblick:

Schnittgrößen, Streckenlast, Schnittufer, Freischneiden, Freischnitt, Querkraft, Normalkraft, Schnittmoment — Schnittgrößen Überblick

Ab sofort kannst du nun mit deinem Wissen über Schnittgrößen, Streckenlast und Freischneiden glänzen.

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