Dieser Artikel beantwortet die Frage „Was ist eine Permutation?“. Nach einer Definition und Einordnung innerhalb der Kombinatorik, werden die Permutationen verständlich an einem Beispiel erklärt. Dabei wird jeweils unterschieden wie man die Anzahl der Möglichkeiten bei Permutationen mit oder ohne Wiederholung berechnen kann.
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Kombinatorik Permutation
Wie auch bei den Variationen und den Kombinationen, unterscheidet man also auch bei den Permutationen zwischen solchen ohne und solchen mit Wiederholung. Im Folgenden findest du eine Einordnung von Permutationen in eine Übersicht aller Formeln der Kombinatorik.
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Unterschied Permutation Kombination
Generell unterscheidet man in erster Linie, ob man alle Objekte oder nur einen Teil davon betrachtet. Gehen wir davon aus, dass nur eine Teilmenge der Grundgesamtheit für die Berechnung der Möglichkeiten relevant ist, so spricht man von Kombinationen beziehungsweise Variationen. Bei einer Kombination ist im Gegensatz zur Variation ist die Reihenfolge der Anordnung nicht relevant. Trifft man dagegen keine Auswahl, so berechnet man die Möglichkeiten die Elemente anzuordnen mithilfe von Permutationen. Permutationen ähneln grundsätzlich sehr stark den Variationen. Der einzige Unterschied ist, dass bei Permutationen die Besonderheit N=k gilt. Das heißt dass aus insgesamt N Elementen alle Elemente gezogen werden und nicht nur die Teilmenge relevant ist.
Permutation mit Wiederholung
Betrachten wir zuerst Permutationen mit Wiederholung. Jetzt fragst du dich vielleicht, wie es eine Wiederholung geben kann, wenn alle Elemente auf einmal gezogen werden.
Man spricht von Permutationen mit Wiederholung, wenn es Elemente in der Ausgangsmenge gibt, die nicht voneinander unterscheidbar sind, also zum Beispiel Kugeln derselben Farbe. Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich verständlicher.
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Permutation Beispiel
Stell dir vor, du hast 8 Kugeln. Eine davon ist gelb, eine ist rot, 2 sind grün und 4 sind blau. Nun sollst du herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt diese Kugeln anzuordnen. Man kann also jeweils die beiden grünen und die 4 blauen Kugeln nicht voneinander unterscheiden.
Permutation Formel
Deshalb muss man die musst du die Formel der N Fakultät, leicht abwandeln, indem du sie durch das Produkt der Fakultäten der Häufigkeiten jedes Elements teilst. Allgemein sieht die Formel bei Permutationen mit Wiederholung dann so aus:
Permutation berechnen
Setzten wir die Zahlen unseres Beispiels ein, so erhalten wir:
Es gibt also 840 Möglichkeiten, die Kugeln anzuordnen.
Permutation ohne Wiederholung
Während es bei Permutationen mit Wiederholung Elemente in der Ausgangsmenge gibt, die nicht voneinander unterscheidbar sind, unterscheiden sich im Fall ohne Wiederholung alle Elemente voneinander. Das heißt, dass jedes Objekt tatsächlich einzigartig ist bezüglich seiner Merkmalsausprägungen.
Permutation Formel
Allgemein lautet die Formel zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten bei Permutationen ohne Wiederholung ganz einfach N Fakultät:
Einfach gesagt multipliziert man also einfach die Anzahl der verbleibenden Möglichkeiten auf.
Permutation berechnen
Für den ersten Student, der die Vorlesung verlässt, gibt es noch 10 Möglichkeiten. Für den zweiten schon nur noch 9 und so weiter. Insgesamt gibt also 10 mal 9 mal 8 mal 7 etc., also 10 Fakultät Möglichkeiten. Das sind insgesamt 3.628.800 mögliche Reihenfolgen der Studenten!
So, das wars auch schon zu Permutationen! Zusammenfassend musst du dir also nur merken, dass Permutationen eine Art Sonderform der Variationen mit N=k darstellen. Im Falle einer Wiederholung ist die allgemeine Formel zur Berechnung der Möglichkeiten . Bei Permutationen ohne Wiederholung kannst du die Anzahl an Möglichkeiten ganz einfach mit N Fakultät berechnen.
Permutation — häufigste Fragen
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Permutation — häufigste Fragen
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Was bedeutet bei Permutationen, dass alle Elemente verwendet werden?Bei Permutationen werden alle Elemente der Ausgangsmenge in eine Reihenfolge gebracht, es wird also kein Element weggelassen. Mathematisch entspricht das der Situation
: Aus insgesamt 
Elementen werden genau diese angeordnet. Gezählt werden damit nur verschiedene Reihenfolgen aller Elemente.
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Woran erkennt man in einer Textaufgabe, ob es eine Permutation mit oder ohne Wiederholung ist?Eine Permutation ohne Wiederholung liegt vor, wenn jedes Element eindeutig unterscheidbar ist, und eine Permutation mit Wiederholung, wenn es gleiche, nicht unterscheidbare Elemente gibt. Hinweise sind Formulierungen wie „gleichfarbige Kugeln“ oder „identische Objekte“. Beispiel: 10 verschiedene Studenten → ohne, Kugeln mit mehrfach gleicher Farbe → mit.
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Warum teilt man bei Permutationen mit Wiederholung durch die Anordnungen der gleichen Elemente?Man teilt durch die Anordnungen der gleichen Elemente, weil beim Zählen sonst dieselbe Anordnung mehrfach vorkommt, obwohl sie sich nur durch Vertauschen identischer Elemente unterscheidet. Beispiel: Bei A, A, B liefert
Anordnungen, aber jede echte Anordnung wird wegen der zwei gleichen A doppelt gezählt, deshalb teilt man durch 
.
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Was versteht man unter einer Permutation?Eine Permutation ist eine Anordnung, bei der alle gegebenen Elemente in eine Reihenfolge gebracht werden und die Reihenfolge eine Rolle spielt. Je nachdem, ob alle Elemente unterscheidbar sind oder ob es gleiche Elemente gibt, unterscheidet man Permutationen ohne Wiederholung und mit Wiederholung.
Kombinatorik verstehen
Permutationen gehören zur Kombinatorik und zählen mögliche Anordnungen von Elementen. Du ordnest typische Zählsituationen danach, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Elemente unterscheidbar sind. So erkennst du schneller, welche Zählmethode zur Aufgabe passt und warum eine Fakultät oder ein geteilter Term sinnvoll ist. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.