Ergebnismenge
Was ist eine Ergebnismenge und wie bestimmst du sie? Wenn du das wissen willst, erklären wir dir hier und im Video alles Wichtige dazu.
Inhaltsübersicht
Ergebnismenge einfach erklärt
Als Ergebnismenge fasst du alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes zusammen. Schau dir dafür gleich ein Beispiel an:
Beim Werfen eines Würfels gibt es 6 verschiedene Möglichkeiten, welche Augenzahl du bekommst. Diese Möglichkeiten schreibst du alle in die Ergebnismenge. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben Ω („Omega“) abgekürzt.
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Interessieren dich jedoch nur die Würfelergebnisse mit einer geraden Zahl, verändert sich auch deine Ergebnismenge. Du schreibst nur die Augenzahlen des Würfels auf, die gerade Zahlen sind.
Ω = {2; 4; 6}
Wichtig: Die Ereignismenge und die Ergebnismenge sind zwei unterschiedliche Begriffe. Die Ereignismenge ist die Menge aller Ereignisse. Achte darauf, dass du sie nicht verwechselst.
Münzwurf
Eine Münze hat zwei Seiten. Sie kann beim Werfen entweder Kopf oder Zahl zeigen. Diese beiden Ergebnisse kannst du als Menge zusammenfassen:
Ω = {Kopf; Zahl}
Wenn du Kopf mit K und Zahl mit Z abkürzt, sieht deine Menge so aus:
Ω = {K; Z}
Übrigens: Statt Ergebnismenge kannst du genauso das Wort Ergebnisraum verwenden. Es handelt sich um Synonyme.
Urnenexperiment
Auch eindeutig ist der Ergebnisraum bei Herausziehen von Kugeln aus einer Urne. Die Kugeln in der Urne haben verschiedene Farben. Es gibt rote, blaue und grüne Kugeln.
Diese drei Farben sind deine Möglichkeiten für den Ausgang des Zufallsexperiments. Du kannst entweder eine rote, eine blaue oder eine grüne Kugel ziehen. Als Ergebnismenge stellst du es so dar:
Ω = {rot; blau; grün} = {r; b; g}
Erweitertes Urnenexperiment
Wenn du nun das Urnenexperiment erweiterst und noch eine zweite Kugel herausziehst, entstehen Farbkombinationen. Das bedeutet, dass du auch eine neue Ergebnismenge hast. Egal welche Farbe du als erstes gezogen hast, beim zweiten Ziehen hast du wieder alle 3 Farben als Möglichkeiten.
Dieses Baumdiagramm zeigt dir die verschiedenen Farbkombinationen, die du nacheinander ziehen kannst. Wenn du das Baumdiagramm vom Startpunkt bis zu einem der Endpunkte folgst, kannst du eine Farbkombination ablesen. Machst du das mit jedem „Ast“, erhältst du alle Möglichkeiten.
Ω = {rr; rb; rg; br; bb; bg; gr; gb; gg}
Mehrere mögliche Ergebnisräume
Genauso kann es aber auch Experimente geben, bei denen es verschiedene Ergebnisräume gibt. Dann kommt es darauf an, was du genau betrachten willst.
Stell dir vor, in der Urne vom vorherigen Beispiel wären nicht nur Kugeln, sondern auch noch ein roter und ein blauer Würfel. Wenn du noch einen der Körper herausziehst, wie würde dann die Ergebnismenge aussehen?
Das kommt ganz darauf an, ob du die Form, die Farbe oder sogar beides betrachten willst.
1. Betrachtung der Farbe:
Ist dir nur wichtig, welche Farbe du aus der Urne ziehst? Dann hast du 3 Möglichkeiten:
Entweder du ziehst einen roten, einen blauen oder einen grünen Körper heraus.
Ω = {rot; blau; grün} = {r; b; g}
2. Betrachtung der Form:
Betrachtest du hingegen nur, ob es ein Würfel oder eine Kugel ist, dann sieht deine Menge folgendermaßen aus.
Ω = {Kugel; Würfel}
3. Kombination aus beidem:
Du kannst aber genauso auch Form und Farbe kombinieren. Hier vergrößert sich dein Ergebnisraum. Betrachte also alle Möglichkeiten, die du aus der Urne ziehen kannst.
Ω = {rote Kugel; blaue Kugel; grüne Kugel; roter Würfel; blauer Würfel}
Übrigens: In manchen Büchern und Übungen wird die Ergebnismenge auch mit einem S abgekürzt. Die Menge S ist aber das Gleiche wie die Menge Ω.
Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes kannst du in 3 verschiedene Arten unterteilen:
- Mögliche Ergebnisse: Kannst du in einer Ergebnismenge aufschreiben → einmaliges Würfeln: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Unmögliche Ergebnisse: Dieses Ergebnis tritt niemals auf → Würfeln einer Zahl > 6
- Sicheres Ergebnis: Dieses Ergebnis tritt immer auf → Würfeln einer Zahl kleiner 6 und größer 1
Ergebnismenge — häufigste Fragen
-
Was ist eine Ergebnismenge?
Die Ergebnismenge ist die Auflistung aller Ausgangsmöglichkeiten eines Zufallsexperimentes. Beim einmaligen Würfeln ist die Ergebnismenge also Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Möchtest du die Ergebnisse beim Werfen einer Münze darstellen, dann ist Ω = {Kopf, Zahl}.
-
Wie gibt man den Ergebnisraum an?
Den Ergebnisraum gibst du als Ω an. In geschweiften Klammer listest du dann alle möglichen Ergebnisse des Experiments auf und teilst sie mit einem Strichpunkt. Der Ergebnisraum beim einmaligen Würfel sieht also so aus: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prima! Jetzt kannst du Ergebnismengen bestimmen. Außerdem gehört die Ergebnismenge zu den wichtigen Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Willst du mehr über die Wahrscheinlichkeitsrechnung erfahren? Dann schau doch direkt in unser Video .
