Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Dieser Artikel befasst sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und veranschaulicht diesen anhand eines einfachen Beispiels!
Total einfach kannst du dir das Leben machen, indem du dir alles kurzerhand in unserem Video zum Thema erklären lässt!
Inhaltsübersicht
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A berechnen, wenn man nur die bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeit abhängig von einem zweiten Ereignis B gegeben hat. Manchmal ist auch vom so genannten Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die Rede.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel
Es geht also darum, die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen. Mathematisch wird das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit meistens so aufgeschrieben:
Beziehung zum Satz von Bayes
Außerdem begegnet in der Stochastik einem in der Verbindung mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit oft der so genannte Satz von Bayes . Mithilfe der Bayes Formel kann die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse bestimmt werden, welche im Anschluss zur Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit herangezogen wird.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel
Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich viel verständlicher. Stell dir vor, in einer Urne befinden sich 3 rote und 7 blaue Kugeln. Jetzt ziehst du zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln blau ist?
Am besten veranschaulichen wir uns das Zufallsexperiment anhand eines Baumdiagramms . Wenn du dir damit noch unsicher bist, schau dir am besten unser passendes Video dazu an.
Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun können wir mit Hilfe des Baumdiagramms ganz einfach die Werte in unsere Formel eintragen und erhalten:
P(„genau einmal blau“)=
Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten
Zusammenfassend besagt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit also, dass du die verschiedenen Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ergebnis führen, addieren musst. So erhältst du die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Berechnung erfolgt ganz einfach mit Hilfe der zweiten Pfadregel, welche auch Summenregel genannt wird.
So, das wars auch schon! Zum Abschluss findest du hier nochmal die allgemeine Formel: