Mechanik: Statik

Mechanik: Statik I
Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht

Noch immer keinen Plan, was mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik gemeint ist und worum es beim Momentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht eigentlich geht? Dann ist es ja gut, dass du deinen Weg hierher gefunden hast, denn wir erklären dir kurz und präzise das Momentengleichgewicht sowie das Kräftegleichgewicht.

Die Gleichgewichtsbedingung in der Statik

In der Statik beruhen die meisten Rechenwege, Herleitungen oder Annahmen auf der sogenannten Gleichgewichtsbedingung. Vereinfacht heißt das, dass sich ein Körper unter Last nicht bewegt. Dabei können am Körper sowohl Momente als auch Kräfte angreifen. Doch was sind denn eigentlich Kräfte und Momente und was hat es mit dem Kräftegleichgewicht und dem Momentengleichgewicht auf sich?

Formel der Kraft

Der Begriff der Kraft ist dir vielleicht noch aus der Schule bekannt. Wie du bestimmt noch weißt, ist das Messen einer Kraft nicht so einfach möglich wie z.B. bei einem Würfel, bei dem du nur dein Lineal anlegen und direkt die Maße ablesen kannst. Im Allgemeinen wird eine Kraft über die Beschleunigung eines Körpers definiert. Berechnet wird diese durch folgende Formel:

Kräftegleichgewicht, Momentengleichgewicht
Formel der Kraft

Eine Kraft besitzt eine sogenannte Wirkungslinie. Diese beschreibt vereinfacht die Richtung, in die die Kraft wirkt. Eine Kraft kann also in jede Richtung wirken.

Formel des Moments

Was eine Kraft ist, wusstest du vielleicht schon vorher, doch du fragst dich jetzt, was man unter einem Moment versteht? Auch das könnte dir aus der Schule bekannt sein, jedoch nicht unter diesem Namen. Verwendet wird das nämlich auch beim Hebelgesetz, nur in vereinfachter Form.

Wichtig ist, dass ein Moment immer nur bezüglich eines Punktes definiert ist. Allgemein wird ein Moment durch folgende Formel beschrieben:

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}

Dabei entspricht r dem Ortsvektor von einem beliebigen Punkt zur Wirkungslinie der Kraft. Hier ist es egal welcher Punkt auf der Wirkungslinie gewählt wird. In der Regel ist es aber der Angriffspunkt der Kraft.

Momentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht

Du fragst dich jetzt sicher, was so ein Moment genau macht. Wie vorhin schon erwähnt, ist das Hebelgesetz auch ein Spezialfall der Momentenrechnung. Deshalb betrachten wir nun eine Wippe: an einem Ende greift eine Kraft, z.B. in Form der Gewichtskraft eines Kindes, an. Unser Bezugspunkt ist die Aufhängung der Wippe. Stellen wir uns nun vor, dass die Aufhängung hoch genug angebracht wurde, damit die Wippe den Boden nicht berühren kann. Dann würde die Wippe sich um die Aufhängung drehen. Also erzeugt ein Moment nur eine Drehung um den gewählten Bezugspunkt. Auch hier ist grundsätzlich eine Drehung um jede beliebige Achse möglich.

Wahrscheinlich denkst du dir jetzt: Schön, dass es Kräfte und Momente gibt, aber was hat das mit der Gleichgewichtsbedingung, dem Momentengleichgewicht und dem Kräftegleichgewicht zu tun? Wie du vielleicht bemerkt hast, haben sowohl Kraft als auch Moment etwas mit Bewegung zu tun. Bei der Gleichgewichtsbedingung geht es jedoch darum, dass keine Bewegung stattfindet. Daraus folgt, dass am Ende auf den Körper keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment wirken darf.

Superpositionsprinzip: Addition der Kräfte und Momente

Durch das Superpositionsprinzip der Mechanik, lassen sich die gesamten Momente und Kräfte jeweils durch einfache Addition errechnen. Daher lässt sich folgende Formulierung der Gleichgewichtsbedingung aufstellen:

Kräftegleichgewicht, Momentengleichgewicht
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung

Hierbei ist R die resultierende Kraft, die durch die Addition der Kräfte entsteht. Du musst dabei beachten, dass sowohl Kraft als auch Moment vektoriell addiert werden müssen. Das führt zur folgenden, komponentenweisen Darstellung:

\left(\begin{matrix}R_x\\R_y\\R_z\\\end{matrix}\right)=\sum_{i}{\left(\begin{matrix}F_{i,x}\\F_{i,y}\\F_{i,z}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)\ \ und\ \sum_{j}{\left(\begin{matrix}M_{j,x}\\M_{j,y}\\M_{j,z}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)}}

Es ergeben sich also 6 Gleichungen, um 6 Unbekannte zu bestimmen. Diese Gleichgewichtsbedingung gilt an jedem Punkt innerhalb eines Systems, das sich im Gleichgewicht befindet. Bei den Momenten ist zu beachten, dass diese sowohl von außen eingebrachte, als auch durch die Kräfte resultierende Momente beinhalten.

Kräftegleichgewicht, Momentengleichgewicht
Veranschaulichung der Wirkung von Kräften und Momenten

Berechnung des Momentengleichgewichts – Beispiel

Das sieht natürlich jetzt sehr abstrakt aus. Also betrachten wir nun wieder die Wippe: jede Seite der Wippe ist nun 3m lang und auf einer Seite sitzt ein Kind mit einer Kraft von 400 Newton. Auf der anderen Seite sitzt ein weiteres Kind, jedoch nur in 2m Abstand zum Drehpunkt der Wippe. Welche Kraft muss nun dort angreifen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Um das zu lösen, stellen wir ein Momentengleichgewicht um die Aufhängung auf:

Kräftegleichgewicht, Momentengleichgewicht
Momentengleichgewicht um die Aufhängung

Damit sich die Wippe nicht bewegt, brauchen wir also eine Gegenkraft von 600 Newton.

Wie du siehst ist dieses einfache Prinzip überall zu finden. Zum Beispiel beim Tauziehen. Auch dort ist ein Kräftegleichgewicht zu beobachten: Zwei Personen ziehen mit gleicher Kraft an einem Seil, weshalb sich keine der Personen bewegt. Nur wenn eine Person stärker ist, also eine größere Kraft ausübt, setzt eine Bewegung ein.

Das Momentengleichgewicht ist auch bei ganz einfachen Dingen zu entdecken. Nehmen wir einfach einen Stift zur Hand und versuchen diesen auf einem Finger auszubalancieren. Dabei versuchen wir intuitiv ein Momentengleichgewicht aufzustellen, damit der Stift nicht runterfällt.

Nun sollten dir das Momentengleichgewicht sowie das Kräftegleichgewicht keine Fremdwörter mehr sein und du kannst ab sofort mit deinem Wissen zur Statik glänzen.

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