Mechanik: Statik

Schwerpunkte einzelner Flächen

In diesem Beitrag steht die Schwerpunkt Halbkreis Berechnung im Fokus. Zusätzlich geben wir dir auch einen Überblick über die Schwerpunktberechnung weiterer geometrischer Formen, wie die des Dreiecks oder des Parallelogramms. Außerdem wird zu den Schwerpunkten auch der Flächeninhalt zu jeder Form kurz behandelt und im Anschluss findest du eine zusammenfassende Tabelle. Schau dir unser Video an, damit du in kürzester Zeit bestens vorbereitet bist!

Inhaltsübersicht

Schwerpunkt Halbkreis und Flächeninhalt

Um den Schwerpunkt des Halbkreises einfach zu ermitteln, wird der Halbkreis im Koordinatensystem so platziert, dass der Mittelpunkt des Vollkreises mit dem Nullpunkt zusammenfällt und die x-Achse die Symmetrieachse ist. Die y-Koordinate ist damit null und der x-Wert des Schwerpunkts x_s ergibt sich aus dem Radius r und der Kreiszahl \pi wie folgt:

x_s =\frac{4r}{3\pi}

Die Formel für den Flächeninhalt A des Halbkreises lautet:

und  A=\frac{\pi}{2}\cdot\ r^2

Schwerpunkt Halbkreis Flächenschwerpunkt Halbkreis Schwerpunkt berechnen
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Halbkreis mit Radius r und Schwerpunkt S

Falls der Halbkreis für die Berechnung seines Flächenschwerpunktes verschoben wurde, muss dieser nach der Anwendung der Formel wieder auf seine Originalposition zurückgeschoben werden. Die Koordinaten des Schwerpunktes des Halbkreises müssen dabei mit um die Verschiebung korrigiert werden.

Schwerpunkt Kreis und Flächeninhalt

Bei einem Kreis entspricht der Kreismittelpunkt dem Flächenschwerpunkt. Damit ist dieser einfach festzustellen. Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt:

A\ =\pi\cdot\ r^2

Schwerpunkt Viertelkreis und Flächeninhalt

Bei der Berechnung des Schwerpunkt Viertelkreis muss die Form nicht verschoben werden. Es kann mit folgenden Formeln, sowohl der x-Wert als auch die y-Koordinate bestimmt werden. Der dritte Ausdruck gibt den Flächeninhalt wieder:

x_s=\frac{4}{3\pi}\cdot\ r; y_s=\frac{4}{3\pi}\cdot\ r und A=\frac{\pi}{4}\cdot\ r^2

Schwerpunkt Viertelkreis Flächenschwerpunkt Viertelkreis Schwerpunkt berechnen
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Viertelkreis mit Radius r und Schwerpunkt S

Für die Formel sind nur r und \pi notwendig. Die Variable r ist der Radius und die Konstante \pi die Kreiszahl.

Schwerpunkt Kreisausschnitt und Flächeninhalt

Der Kreisausschnitt wird wie bei der Berechnung des Schwerpunktes des Halbkreises verschoben. Der Mittelpunkt des zum Ausschnitt dazugehörigen Vollkreise, soll mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen. Außerdem sollte die x-Achse eine Symmetrieachse des Kreisausschnitts darstellen. Aufgrund dieses Vorgehens wird nur ein x-Wert benötigt. Die Berechnung des Schwerpunkts erfolgt dann folgendermaßen:

x_s=\frac{2}{3}\cdot\ r\cdot\frac{sin(\varphi)}{\varphi} und A=\varphi\cdot\ r^2

r ist wieder der Radius, während \varphi der Winkel von der x-Koordinatenachse zum Ende des Kreisausschnittes widerspiegelt. \varphi darf im Nenner des Bruches lediglich im Bogenmaß eingesetzt werden. Die Umrechnung von Bogen- und Gradmaß erfolgt durch die Umstellung folgender Formel:

\frac{Gradma\ss}{Bogenma\ss} = \frac{360 ^\circ}{2\pi}

Schwerpunkt Kreisausschnitt Flächenschwerpunkt Kreisausschnitt Schwerpunkt berechnen
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Kreisausschnitt mit Radius r, Schwerpunkt S und Aufspannwinkel Phi

Die Koordinaten des schlussendlichen Schwerpunktes müssen für die Ausgangsposition wieder um die Verschiebung angepasst werden.

Schwerpunkt Dreieck und Flächeninhalt

Im Gegensatz zur Berechnung des Schwerpunktes des Halbkreises oder den ähnlichen Kreisformen, muss beim Dreieck zu Beginn keine Verschiebung vorgenommen werden. Es kann ein x-Wert xs und ein y-Achsenwert ys für den Flächenschwerpunkt bestimmt werden. Dieser wird als arithmetischer Durchschnitt aus den kartesischen Koordinaten der einzelnen Eckpunkte im Dreieck berechnet.

x_s=\frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right); y_s=\frac{1}{3}\left(y_A+y_{B\ }+y_C\right)

A=\frac{1}{2}\cdot\ g\cdot h

Schwerpunkt Dreieck Flächenschwerpunkt Dreieck Schwerpunkt berechnen
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Dreieck mit den Eckpunkten A,B und C und Schwerpunkt S

x_A ist dabei die x-Koordinate des Punktes A und y_A die y- Koordinate. Analog gilt diese Notation für die Eckpunkte B und C. Außerdem geben x_s und y_s zusammen die Koordinaten des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden des Dreiecks wieder. Der Flächeninhalt des Dreiecks setzt sich aus der Grundlinie g und der Höhe h zusammen.

Schwerpunkt Trapez und Flächeninhalt

Zu Beginn der Berechnungen muss das Trapez verschoben werden. Dazu sollte die linke Ecke der längeren Seite an der y-Achse anliegen und die Grundlinie sollte mit der vertikalen Koordinatenachse einen rechten Winkel einschließen.

Schwerpunkt Trapez Flächenschwerpunkt Trapez Schwerpunkt berechnen
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Trapez mit Schwerpunkt S, Höhe h, Grundlänge a und Längen b und d

Allgemein lässt sich festhalten, dass der Flächenschwerpunkt eines Trapezes auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden liegt. Dieser wird wie folgt berechnet:

x_s=\frac{a^2-b^2+ |d|(a+2b)}{3(a+b)}; y_s=\frac{h}{3}\cdot\frac{(a+2b)}{a+b} und A=\frac{1}{2}\cdot\ (a+b)\cdot\ h

Die Grundlinie wird als a bezeichnet. Die kürzere Seite, welche a gegenüberliegt und ebenfalls zu dieser parallel ist, wird mit b benannt. H ist die Höhe der Form und d der Abstand von der y-Achse bis zum Ende der Linie b. Falls das Trapez nicht verschoben wurde, muss die Variable d aber unbedingt angepasst werden. Mit diesen Daten kann auch der Flächeninhalt einfach berechnet werden. Achte wieder auf die Richtigstellung der Koordinaten des Flächenschwerpunkts durch die Verschiebung, nachdem die Formeln angewandt wurden.

Es gibt auch eine alternative Variante, die x- und y-Koordinaten des Schwerpunkts zu ermitteln. Da der Schwerpunkt des Trapezes auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden liegt, kann auch nur y_s bestimmt werden. Dann kann man x_s grafisch ermitteln, indem der Mittelpunkt der Linien von a und b bestimmt wird. Diese werden daraufhin miteinander verbunden und der Schnittpunkt zwischen dem ausgerechneten y_s-Wert und der Verbindungslinie bestimmt. Dies ist dann der Schwerpunkt des Trapezes.

Schwerpunkt Parallelogramm und Flächeninhalt

Der Schwerpunkt des Parallelogramms liegt im Schnittpunkt seiner beiden Diagonalen und lässt sich mathematisch wie folgt berechnen:

x_s=\frac{b+c}{2}; y_s=\frac{h}{2} und  A=\ b\cdot\ h

Schwerpunkt Parallelogramm Flächenschwerpunkt Parallelogramm Schwerpunkt berechnen
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Parallelogramm mit Schwerpunkt S, Höhe h, Grundlinie b und Höhe des Dreiecks c

Dabei ist b die Grundlinie und h die Höhe des Parallelogramms. c ist der Abstand von dem Ende von b bis zum Lot des oberen rechten Eckpunkts. Also die Höhe des sich dort befindenden Dreiecks. h spiegelt die Höhe des Parallelogramms wider.

Zusammenfassende Tabelle

Um dir einen umfassenden Überblick zu schaffen, haben wir zum Schluss noch eine Tabelle mit den wichtigsten  Informationen für dich.

Schwerpunkt berechnen Schwerpunkt Halbkreis Schwerpunkt Kreis Schwerpunkt Viertelkreis Schwerpunkt Kreisausschnitt Schwerpunkt Dreieck Schwerpunkt Trapez Schwerpunkt Parallelogramm
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Schwerpunkt berechnen Zusammenfassung

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