Mechanik: Statik

Statische Bestimmtheit

In diesem Beitrag erklären wir dir die grundlegenden Begriffe Freiheitsgrad und Wertigkeit von Lagern und Gelenken. Zur Herleitung der Formel für die statische Bestimmtheit betrachten wir daher die zweidimensionale Ebene und den dreidimensionalen Raum. Zuletzt zeigen wir dir, wie man die Formel für die statische Bestimmtheit bei unterschiedlichen Systemen praktisch anwenden kann.

In unserem Video erklären wir dir in kürzester Zeit alles was du zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit benötigst.

Inhaltsübersicht

Statische Bestimmtheit einfach erklärt

Mithilfe der statischen Bestimmtheit kannst du prüfen, ob sich ein System im mechanischen Gleichgewicht befindet. Das bedeutet, inwieweit das vorhandene System in seiner Beweglichkeit aufgrund von Lagern oder Gelenken eingeschränkt ist. Diese Einschränkungen nennst du dann Freiheitsgrade.

Statische Bestimmtheit Formel

Aus den Bewegungsmöglichkeiten des Körpers k, den Lagerwertigkeiten a und den Gelenkwertigkeiten v  ergibt sich die Formel für die statische Bestimmtheit des Systems in der zweidimensionale Ebene wie folgt:

f=3\cdot\sum_{k=1}^{n}{k}-[\sum_{i=1}^{n}{a} + \sum_{j=1}^{m}{v}]

Für die statische Bestimmtheit im dreidimensionalen Raum ergibt sich die fogelnde Formel:

f=6\cdot\sum_{k=1}^{n}{k}-[\sum_{i=1}^{n}{a} + \sum_{j=1}^{m}{v}]

Um die statische Bestimmtheit prüfen zu können, erörtern wir zunächst einige Bestandteile der zugehörigen Formeln und Zusammenhänge.

Freiheitsgrad f

Der Freiheitsgrad f gibt an, inwieweit ein System in seinen Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt ist. Nicht nur Systeme sondern auch Lager besitzen einen fest definierten Freiheitsgrad, welcher wie folgt definiert ist.

  • Loslager f = 2
  • Festlager f = 1
  • feste Einspannung f = 0

Wertigkeit a

Die Wertigkeit a hingegen gibt an, welche Reaktionskräfte von den Lagern aufgenommen werden können.

  • Loslager a = 1
  • Festlager a = 2
  • feste Einspannung a = 3

Schauen wir uns zur statischen Bestimmtheit das Beispiel eines Festlagers an. Das Festlager kann sowohl horizontale, als auch vertikale Kräfte aufnehmen. Da es keine Momente aufnehmen oder übertragen kann, erhalten wir eine Wertigkeit von zwei.

Anzahl der Körper k

Zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit wird außerdem die Anzahl der Köper k benötigt. Diese können innerhalb eines mehrteiligen Systems mithilfe von Gelenken miteinander verbunden sein.

Wertigkeit von Gelenken v

Liegt nun ein solches System vor, so müssen die Wertigkeiten der Gelenke v ebenfalls bei der statischen Bestimmtheit betrachtet werden. Eine Pendelstütze besitzt einen Freiheitsgrad von zwei und demnach die Wertigkeit eins. Hingegen Scharnier– oder Schiebehülsengelenke mit der Wertigkeit von zwei definiert sind.

Dimension des Systems

Zuletzt muss bestimmt werden, ob es sich um ein System in der Ebene (2-dimensional) oder im Raum (3-dimensional) handelt.

Ein starrer Körper besitzt in der Ebene nur drei mögliche Freiheitsgrade. Dazu zählen zwei translatorische, lineare Bewegungsmöglichkeiten und eine rotatorische Bewegungsmöglichkeit.

Ein starrer Körper besitzt im Raum genau sechs Freiheitsgrade. Davon sind jeweils drei Translationen und drei Rotationen.

Bewegungsgrade im zwei- und dreidimensionalen Raum
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Bewegungsgrade im zwei- und dreidimensionalen Raum.

Statisch bestimmt

Ein System ist dann statisch bestimmt, wenn der Freiheitsgrad f gleich null ist. Das bedeutet, dass jede Bewegungsmöglichkeit, mithilfe genau einer dazugehörigen Lagerreaktion eingeschränkt ist.

f=0

Statisch unbestimmt

Statische Unbestimmtheit liegt hingegen dann vor, wenn der Freiheitsgrad kleiner gleich minus eins ist. Schaut man sich die Formel zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit an fällt auf, dass mehr Lager- bzw. Gelenkreaktionen als die jeweiligen Bewegungsmöglichkeiten unterschiedlich vieler Körper vorhanden sein müssen.

f \leq \- 1

Innerhalb der statischen Unbestimmtheit wird erneut differenziert. Unterschieden wird hierbei allerdings die n-fach statische Bestimmtheit bzw. Un-/ Überbestimmtheit und Unterbestimmtheit.

  • n>0 n-fach statisch unbestimmt bzw. überbestimmt
  • n=0 n-fach statisch bestimmt
  • n<0 n-fach statisch unterbestimmt

Die Formel für das Abzählkriterium lautet für ein System in der Ebene wie folgt:

n=\sum_{i=1}^{n}{a} + \sum_{j=1}^{m}{v}-3\cdot{k}

Analog zur statischen Bestimmtheit bei den sechs Bewegungsmöglichkeiten im Raum ist demnach:

n=\sum_{i=1}^{n}{a} + \sum_{j=1}^{m}{v}-6\cdot{k}

Die hier vorgestellten Formeln bieten zwar eine notwendige Bedingung, sind aber nicht hinreichend.

Hinreichende Bedingungen sind bei Systemen bzw. Tragwerken der Polplan und bei Fachwerken der Polplan sowie das Bildungsgesetz.

Statisch überbestimmt

Wie schon bei der statischen Unbestimmtheit, ist ein System ebenfalls statisch überbestimmt, wenn der Freiheitsgrad  kleiner gleich minus eins ist.

f  \leq \- 1

Statisch unterbestimmt

Liegt ein Freiheitsgrad kleiner gleich eins%Hier müsste es "Freiheitsgrad größer gleich eins" lauten, oder? vor, spricht man von einer statischen Unterbestimmtheit. Bei einem solchen System, können nicht alle Lagerreaktionen die Bewegungsmöglichkeiten einschränken. Solche Systeme findet man innerhalb der Kinematik bzw. Dynamik.

f  \geq \ 1

Innere und äußere statische Bestimmtheit

Ist das zugrunde liegende System ein Gerüst aus mehreren Stäben, so wird zwischen der inneren und äußeren statischen Bestimmtheit unterschieden.

Innerlich statisch bestimmte Systeme sind solche, bei denen die Schnittkräfte der einzelnen Teilsysteme mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können. Man spricht von äußerlich statisch bestimmten Systemen, wenn alle Lagerreaktionen am Rand des Systems ermittelt werden können.

Statische Bestimmtheit Beispiele

Anhand des nachfolgenden Modells möchten wir dir die Anwendung zur statischen Bestimmtheit erläutern.

Statische Bestimmtheit Beispiel
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Fallbeispiel.

Mithilfe von zwei Festlagern sind jeweils zwei Körper in einer zweidimensionalen Ebene miteinander verbunden. Diese sind wiederum über ein Gelenk gekoppelt.

Daraus kann geschlossen werden, dass drei Bewegungsmöglichkeiten und zwei Körper k vorliegen. Ein Festlager besitzt eine Wertigkeit a von zwei und das Gelenk eine Wertigkeit v von zwei.

Daraus folgt ein Freiheitsgrad für das mehrteilige System:

f=3\cdot{2}-[\sum_{i=1}^{2}{2} + \sum_{j=1}^{1}{2}]

beziehungsweise

f=3\cdot{2}-[(2+2)+(2)]

f=0

Das System ist somit statisch bestimmt.

Statische Bestimmtheit Fachwerk

Ein Fachwerk ist ein mehrteiliges System aus (Zug-/ Druckstäben), welches mit sogenannten Knoten verbunden ist. Anhand eines vereinfachten Modells des Abzählkriteriums, lautet die Formel für ebene ideale Fachwerke:

n=\sum_{i=1}^{n}{a} + \sum_{j=1}^{m}{s}-2\cdot{k}

Zur Berechnung der statischen Bestimmtheit sind die Variablen für die Knoten und Stäbe als k und s definiert.

Weitere Beispiele

In der Mechanik liegen meist statisch bestimmte Systeme vor. Diese sind zum Beispiel:

  • Einfeldträger
  • Dreigelenkrahmen
  • Gerberträger
  • Kragträger

Zu den statisch unbestimmten Systemen zählt der Durchlaufträger.

Wie eben schon erörtert, können Rahmenfachwerkträger bzw. Fachwerke äußerlich bestimmt und innerlich unbestimmte Systeme sein.


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