Mechanik: Statik

Festlager Loslager und statische Bestimmtheit

Festlager und Loslager werden in der Mechanik neben der festen Einspannung häufig zur Ermittlung von angreifenden Kräften betrachtet. Im nachfolgenden Beitrag geben wir dir einen Überblick, was man aus mechanischer Sicht unter den Begriffen Festlager Loslager und statische Bestimmtheit versteht.

Festlager Loslager und andere Lagerarten der Mechanik – Übersicht und Definition

Lager sind in der Mechanik definiert als Orte, an denen der betrachtete Körper mit der Umgebung verbunden ist und somit die Kräfte an die Umgebung übertragen werden. Es gibt neben dem Festlager und dem Loslager noch weitere verschiedene Arten der Lagerungen, die wir im Folgenden betrachten wollen.

Welche Lager der Mechanik gibt es?

  1. Die feste Einspannung
  2. Das Momentengelenk
  3. Das Festlager
  4. Das Loslager
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Festlager Loslager und andere Lagerarten

Feste Einspannung Definition

Bevor wir zu den wichtigen Fällen Loslager und Festlager kommen, wollen wir uns erst einmal die verschiedenen Lagerarten der Mechanik anschauen. Beginnen wir mit der festen Einspannung: Dafür kannst du dir einfach einen Stahlträger vorstellen. Dieser ist normalerweise fest mit der Wand verbunden. Betrachten wir jetzt die Verbindung mit der Wand, finden wir dort die feste Einspannung. Bei dieser Art von Lagerung gibt es sechs verschiedene Auflagerreaktionen: Zum einen die Momente, bei denen wir im Räumlichen in jeder Koordinatenrichtung, also in x-, y- und z-Richtung, je eins haben. Auch bei den Kräften haben wir pro Koordinatenrichtung eine Kraft. Insgesamt ergeben sich somit also sechs Lagerreaktionen.

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Feste Einspannung

Momentengelenk Definition

Weiter geht’s mit dem Momentengelenk. Dieses ist in der Regel einfach nur eine Verbindung zwischen zwei oder mehreren Körpern und sorgt dafür, dass zwischen den Körpern Kräfte aber keine Momente übertragen werden können. Das Momentengelenk ist damit schon etwas näher am Festlager und Loslager dran als die feste Einspannung. Stell dir als Beispiel ein einfaches Pendel vor: Das Pendel kann frei schwingen, obwohl du es an einem Punkt festhältst; dort befindet sich das Momentengelenk. Das Momentengelenk an sich, verursacht keine Auflagerreaktionen, sondern nur Zwischenreaktionen. Diese können einfach bestimmt werden:

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Momentengelenk

Hierbei steht s für die Anzahl der Körper, die das Gelenk verbindet. Damit haben wir das Momentengelenk definiert und können uns jetzt den komplizierteren Fällen Loslager und Festlager widmen.

Festlager Definition

Als nächstes kommen wir zum Festlager. Dieses ist vom Prinzip eine Einspannung mit einem Momentengelenk. Dadurch wird kein Moment mehr übertragen, aber weiterhin Kräfte. Diese Lagerung kommt relativ häufig vor: Eine einfache Wippe stellt hier ein gutes Beispiel dar. Dabei befindet sich in der Mitte ein Festlager. Zählen wir nun die Auflagerreaktionen, kommen wir auf Kräfte in alle Richtungen des Koordinatensystems, aber auf keine Aufnahme von Momenten.

Loslager Definition

Als letztes schauen wir uns noch das Loslager an: Dieses ist eine weitere Vereinfachung, da das Festlager nun verschiebbar gelagert ist. Verglichen mit der Wippe heißt das nur, dass wir die Halterung der Wippe auf Rollen stellen. Also kann die Halterung in dem Fall nur noch Kräfte in Richtung des Erdbodens aufnehmen.

Jetzt haben wir so viel von „Kräfte aufnehmen“ gesprochen, da fragst du dich bestimmt was man darunter überhaupt versteht. In der Mechanik spricht man davon, wenn das jeweilige Lager einen Widerstand gegen die jeweilige Belastung aufbringen kann und im Umkehrschluss heißt es, dass es dann in die anderen Richtungen beweglich ist.

 

Statische Bestimmtheit Definition und Formel

Loslager Festlager und die anderen Lagerarten sind die jetzt ein Begriff,  leider lässt sich aber nicht jedes System einfach berechnen. Zur Berechnung benötigen wir ein System, das statisch bestimmt ist. Vereinfacht heißt das, dass wir im zweidimensionalen am Ende für drei unbekannte Lagerreaktionen nur drei Gleichungen aus den Freiheitsgraden bekommen. Und aus der Mathematik wissen wir, dass wir unser System dann einfach lösen können.

Haben wir nun mehr Freiheitsgrade als Auflagerreaktionen, ist das System Beweglich gelagert und wird „statisch unterbestimmt“ genannt. Gut zu erkennen ist das bei der Wippe, die sich ja bewegen kann. Wenn wir nun andersherum mehr Auflagerreaktionen haben als Freiheitsgerade, ist das System in Ruhe aber statisch überbestimmt bzw. unbestimmt, da wir nun zu viele Unbekannte haben.

So weit, so gut. Doch wie kriegst du raus, ob die statische Bestimmtheit auf dein System zutrifft? Dafür hat sich die Mechanik ein Abzählkriterium ausgedacht:

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Statisch bestimmte Systeme – Abzählkriterium

Hierbei ist f der Grad der Bestimmtheit. Die statische Bestimmtheit kannst du damit direkt bestimmen:

ist f = 0, dann ist das System statisch bestimmt.

ist f > 0 ist es f-fach verschiebbar.

Ist f < 0 ist es f-fach statisch überbestimmt.

Doch uns interessieren hier erstmal nur die Systeme, die statisch bestimmt sind.

Jetzt haben wir so viele verschiedene Buchstaben und jeder hat natürlich seine eigene Bedeutung: k ist die Anzahl der Körper, a die Anzahl der Auflagerreaktionen und z die Anzahl Zwischenreaktionen.

Statische Bestimmtheit Beispiel

Nehmen wir uns zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit jetzt wieder die Wippe als Beispiel: vereinfacht nehmen wir nun an, dass wir diese zweidimensional betrachten. Also haben wir einen ebenen Fall: Bei der Anzahl der Körper ist leicht erkennbar, dass wir nur einen haben: also ist k gleich 1. Die Anzahl der Auflagerreaktionen ist nicht ganz so offensichtlich, aber wenn du dich erinnerst: die Wippe wird über ein Festlager mit der Umgebung verbunden und wie vorhin erklärt, haben wir Kräfte in jede Koordinatenrichtung. Im ebenen Fall also nur zwei: somit ist a gleich 2. Da wir nur einen Körper haben, gibt es keine Zwischenreaktionen und z ist damit 0.  Daraus ergibt sich:

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Auflagerreaktionen Beispiel

Wir sehen, dass f gleich 1 ist und somit statisch unterbestimmt ist; und damit auch wie erwartet einfach beweglich ist. Damit haben wir ganz einfach die statische Bestimmtheit ermittelt.

Abschließend solltest du noch wissen, dass das Abzählkriterium nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung ist! Das heißt es gibt Systeme bei denen f gleich 0 ist, aber das System trotzdem beweglich ist. Deshalb achte immer drauf ob nicht doch eine Bewegung möglich ist.

So, jetzt hast du’s geschafft und bis ein Profi auf dem Gebiet der Loslager und Festlager mit ihrer statischen Bestimmtheit.

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