Mechanik: Statik

Virtuelle Verrückung und PdvV

Du verstehst nach wie vor nicht, was es mit der virtuellen Verrückung und dem sogenannten PdvV auf sich hat? Dann kannst du dich jetzt entspannen, denn nachfolgend erklären wir dir, was mit dem PdvV, Abkürzung für das Prinzip der virtuellen Verrückung, gemeint ist.

Was bedeutet virtuelle Verrückung?

Du hast dich vielleicht schon gefragt, warum es das Prinzip der virtuellen Verrückung, oder kurz PdvV, überhaupt gibt. Das PdvV ist einfach nur eine Alternative zur Gleichgewichtsbedingung. Über das PdvV Systeme zu berechnen, ist zum Teil einfacher und wird deshalb oft verwendet. Beim PdvV wird dazu die Arbeit, die durch Kräfte geleistet wird, betrachtet.
Bevor wir zur Anwendung kommen, solltest du einige grundlegende Dinge wissen:

Virtuelle Verrückung – Grundlagen

Das Prinzip der virtuellen Verrückung hat drei wichtige Eigenschaften:

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Eigenschaften

Aus diesen Eigenschaften folgt, dass wir das PdvV für statisch unbestimmte, überbestimmte und statisch bestimmte Systeme anwenden können.

Weiterhin wird beim PdvV eine bestimme Symbolik verwendet:

\left.\ {\delta x=virtuelle\ Verschiebung\atop\delta\varphi=virtuelle\ Verdrehung}\right\}unendlich\ klein

PdvV und mechanische Arbeit

Grundsätzlich gilt beim PdvV, dass unsere Arbeit gleich Null sein soll. Definiert wird die Arbeit in dem Fall durch \delta A. Dieses beschreibt im Genaueren den Zuwachs der Arbeit infolge äußerer Lasten, z.B. durch irgendeine Kraft, die auf unser System wirkt. Das heißt, wir summieren die geleisteten Arbeiten infolge infinitesimaler Verschiebung und setzen diese gleich null.

Virtuelle Verrückung, PdvV
Mechanische Arbeit und infinitesimale Verschiebung

Das kommt dir vielleicht aus der Gleichgewichtsbedingung bekannt vor. Und tatsächlich sind die Berechnungen äquivalent zueinander. Wir können also vom PdvV auf die Gleichgewichtsbedingung schließen und andersrum:

1. Wenn die Summe aller Kräfte und Momente gleich null ist, führt dies zu keiner Bewegung des Systems. Somit wird keine Arbeit verrichtet.

2. Wird keine Arbeit verrichtet, kann kein Weg zurückgelegt worden sein und eine Bewegung ist ausgeschlossen. Das heißt, die resultierende Kraft und das resultierende Moment müssen null gewesen sein.

Virtuelle Verrückung, PdvV
PdvV und Gleichgewichtsbedingung

Virtuelle Verrückung – Beispiel I

Damit haben wir auch schon die Grundlagen über die virtuelle Verrückung abgehakt. Doch wie funktioniert die virtuelle Verrückung jetzt eigentlich? Allgemein gilt beim PdvV:

\delta A=\vec{R}\ast\delta\vec{x}+\vec{M}\ast\delta\vec{\varphi}=0

Um das System zu lösen, betrachten wir nun zwei Beispiele:
Als erstes schauen wir uns ein System mit einem Freiheitsgrad an: Also eine einfache Wippe, die an einem Festlager befestigt ist. Die linke Seite der Wippe hat jetzt die Länge L1 gleich 2m und die rechte Seite L2 gleich 3m. Wir belasten nun das linke Ende mit einem Kind, das die Kraft F1 gleich 300N aufbringt. Welche Kraft F2 brauchen wir nun, damit keine Bewegung einsetzt?

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Beispiel

Damit wir nicht die ganze Zeit Zahlen durch die Rechnung mitnehmen müssen, setzen wir diese erst am Ende ein.

Virtuelle Verrückung – Geometrie

Im ersten Schritt betrachten wir die Geometrie für die virtuelle Verrückung. Das heißt, wir schauen uns an, wo unser \delta x und unser \delta\varphi liegen und wie der Zusammenhang zwischen den Größen ist. Denn unser Ziel ist es ja nur EINE Gleichung am Ende zur Bestimmung zu haben.

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Geometrie

Mit Hilfe der Kleinwinkelnäherung finden wir dann heraus:

\tan{\left(\delta\varphi\right)}=\frac{\delta x_1}{l_1}=\frac{\delta x_2}{l_2}\approx\delta\varphi

Virtuelle Verrückung – Gleichung

Als zweites stellen wir die vorhin genannte Gleichung für die virtuelle Arbeit auf und sortieren sie nach unseren Größen \delta x und \delta\varphi. Und mit Hilfe der Geometrie haben wir am Ende dann nur noch eine der beiden Größen. So ergibt sich, dass die Terme vor unseren virtuellen Verrückungen oder unsere virtuelle Verrückung selbst gleich null sein müssen. Das heißt, man muss es einfach nur noch umformen:

\delta A=0=F_1\delta\ x_1-F_2\delta\ x_2=\left(F_1-F_2\frac{l_2}{l_1}\right)\delta\ x_1

Nun haben wir einen Term innerhalb der Klammer und unsere infinitesimale Verrückung. Wir setzen nun den Term in der Klammer gleich null und erhalten folgendes Ergebnis:

F_1\frac{l_1}{l_2}=F_2

Setzen wir nun die Zahlenwerte ein, ergibt sich:

F_2=300N\frac{2m}{3m}=200N

Wir brauchen also am anderen Ende eine Kraft von 200N.

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Gleichung der virtuellen Arbeit

Virtuelle Verrückung – Beispiel II

Als zweites Beispiel nehmen wir etwas Komplexeres: Wir betrachten einen einfachen Gelenkträger und suchen eine Auflagerkraft. Unser Träger hat ein Festlager. Ganz links darauf folgt ein Loslager, auf dem unser erster Balken nur aufliegt. Danach verbindet ein Momentengelenk den ersten Balken mit dem zweiten, der wiederum mit einem weiteren Loslager befestigt ist.

Virtuelle Verrückung – Auflagerkräfte

Wir suchen jetzt nach der Auflagerkraft B unter der Belastung der Kräfte F1 gleich 20N, F2 gleich 30N und F3 gleich 40N. Wir rechnen wieder erst einmal ohne konkrete Werte und setzen diese dann am Ende ein.
Um die Auflagerkraft des Loslagers B zu finden, müssen wir unser Auflager vorher durch eine Kraft ersetzen, damit unser System theoretisch verschiebbar wird.

Virtuelle Verrückung – Geometrie

Zu Beginn betrachten wir wieder die Geometrie, die uns folgende Zusammenhänge liefert:

\delta\ x_1=l\delta\varphi,\ \delta\ x_B=2l\delta\varphi,\ \delta\ x_2=3l\delta\varphi,\ \delta\ x_3=\frac{3}{2}l\delta\varphi

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Geometrie

Als zweites stellen wir wieder die Gleichung für die virtuelle Arbeit auf und setzen sie gleich null. Danach formen wie mit Hilfe der Geometrie wieder so um, dass wir nur noch eine Abhängigkeit in Bezug auf die virtuelle Verrückung haben und klammern diese aus:

\delta A=0=F_1\delta\ x_1-B\delta\ x_B+F_2\delta\ x_2+F_3\delta\ x_3=\left(F_1-2B+{3F}_2+{\frac{3}{2}F}_3\right)l\delta\varphi

Virtuelle Verrückung, PdvV
Virtuelle Verrückung – Geometrie

Im Anschluss muss wieder der Term innerhalb der Klammer gleich null sein und es ergibt sich für unsere Auflagerkraft:

B=\frac{1}{2}\left(F_1+{3F}_2+{\frac{3}{2}F}_3\right)=\frac{1}{2}\left(20+90+60\right)=85N

Jetzt weißt du, was virtuelle Verrückung bedeutet und wie das Prinzip der virtuellen Verrückung, oder auch PdvV genannt, funktionert.


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