Mechanik: Statik

Schnittgrößen

Inhaltsübersicht

Die Begriffe Schnittgrößen, Streckenlast und Freischneiden lassen dir noch immer graue Haare wachsen? Dann kannst du dich jetzt entspannen, denn hier zeigen wir dir, dass das Thema rund um die Schnittgrößen gar nicht so schwierig ist.

Schnittgrößen einfach erklärt

Zu Beginn ist es wichtig zu klären, was Schnittgrößen überhaupt sind. Man kann sie beschreiben als „innere Kräfte“ bzw. „innere Momente“, also auch Schnittkräfte oder Schnittmomente. Die Schnittkräfte können weiter in die Normalkraft und die Querkraft unterteilt werden. All diese Größen können durch einen senkrechten Schnitt „sichtbar“ werden. Der Schnitt wird aber natürlich nur gedanklich gemacht. Aus den Schnittgrößen lassen sich dann Spannungen ermitteln.

Schnittufer

Betrachten wir vorerst für die Schnittkraftberechnung einen Balken unter ebener Belastung. Also wieder nur den zweidimensionalen Fall. Das Prinzip lässt sich aber auf das Räumliche ganz einfach erweitern.
Jetzt stellt sich die Frage, wie wir die Kraftrichtung annehmen. Dazu gibt es in der Mechanik wieder eine Konvention: das linke Schnittufer wird negatives Schnittufer und das rechte wird positives Schnittufer genannt. Positiv bzw. negativ heißt in diesem Fall einfach, dass Kräfte und Momente in positive bzw. negative Koordinatenrichtungen angenommen werden. Natürlich gibt es auch eine Konvention zur Ausrichtung des Koordinatensystems: Unter dem Balken wird eine „gestrichelte Faser“ angebracht. Sie zeigt an, dass die z-Achse nach unten zeigt. Die x-Achse zeigt immer durch den Balken hindurch und dementsprechend zeigt die y-Achse dann aus der Ebene heraus. Jetzt benennen wir noch die Kräfte: die Kraft in x-Richtung wird als Normalkraft \mathbf{N(x)} und die Kräfte in y- und z-Richtung werden als Querkraft \mathbf{Q(x)} bezeichnet.

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Schnittufer und Kraftrichtung

Schnittgrößen und Streckenlast

Als Streckenlast wird eine Kraft beschrieben, die sich über eine Strecke verteilt. Nun haben wir die Grundlagen zu Schnittgrößen, Streckenlast und Schnittufer geschaffen. Kommen wir nun zur Bestimmung von Schnittgrößen und der Streckenlast: Wie immer gehen wir von der Gleichgewichtsbedingung aus. Zuerst müssen wir die Auflagerkräfte berechnen, damit wir die vollständige Belastung des Balkens kennen. Danach schneiden wir den Balken an einer beliebigen Stelle x und bilden das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung und das Momentengleichgewicht in z-Richtung in Abhängigkeit von x.

Falls du noch einmal nachschauen willst, was es mit den Gleichgewichtsbedingungen in der Statik auf sich hat, kannst du hier klicken. Für ein Beispiel zur Berechnung der Auflagerkräfte haben wir auch einen extra Videobeitrag.

Klingt alles ganz schön kompliziert, oder? Keine Sorge, folgendes Beispiel wird es dir deutlicher machen.

Schnittgrößen und Streckenlast Beispiel

Betrachten wir dazu einen einfachen Balken und schneiden ihn an einer beliebigen Stelle zwischen den Auflagern. Die Kräfte haben wir schon vorher bestimmt. Dann ergeben sich über die Gleichgewichtsbedingung folgende Gleichungen:

in\ x-Richtung:\ \ N_1\left(x\right)+A_x=0
in\ z-Richtung:\ \ Q_3\left(x\right)-A_y=0
in\ y-Richtung:\ \ M_2\left(x\right)-A_y\times\ x=0

Wir sehen, dass in diesem Fall nur das Schnittmoment von x abhängig ist und die Quer- und Normalkraft über den Balken konstant sind.

Schnittgrößen durch infinitesimale Betrachtung berechnen

Für einfache Anordnungen wie diese ist es ziemlich simpel die Schnittgrößen zu berechnen. Werden die Anordnungen aber komplizierter, ist die Berechnung deutlich aufwendiger. Deswegen verwenden wir wieder eine infinitesimale Betrachtung. Das ergibt einige differenzielle Zusammenhänge, die erstmal kompliziert wirken, unsere Arbeit jedoch erleichtern können:

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Schnittgrößen durch infinitesimale Betrachtung berechnen

Die Schnittgröße Schnittmoment wird durch ein M symbolisiert. Bei diesen Formeln bedeuten die kleinen Buchstaben, dass wir die Streckenlast betrachten. Dementsprechend können wir direkt jede Schnittgröße bestimmen, indem wir nur den jeweiligen Verlauf kennen und dann integrieren.

Streckenlast berechnen

Das sieht jetzt natürlich wieder sehr aufwendig aus, ist aber gar nicht so schwer. Wir betrachten einfach wieder unseren Balken, nur diesmal unter einer dreieckigen Streckenlast.
Der Verlauf der Streckenlast ist damit:

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Streckenlast berechnen

Daraus ergibt sich dann durch einfaches integrieren der Querkraftverlauf:

Q\left(x\right)=\int{-q\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}q_o\frac{x^2}{L}+C_1}

Die Konstante C_1 bestimmen wir einfach aus den Randbedingungen: z.B. muss an der Stelle x = 0 die Querkraft gleich der Auflagerkraft sein.
Für den Momentenverlauf gehen wir genauso vor. In diesem Fall haben wir keine Momentstreckenlast. Dementsprechend müssen wir hier nur den Querkraftverlauf integrieren:

M\left(x\right)=\int{-m\left(x\right)+Q\left(x\right)dx=-\frac{1}{6}q_0\frac{x^3}{L}+C_1x+C_2}

Für die Konstante C_2 brauchen wir nun eine weitere Randbedingung: Da wir an der Stelle x = 0 ein Momentengelenk haben, wissen wir, dass dort auch das Moment Null sein muss. Daraus folgt, dass C_2 = 0 ist.

Nun haben wir die Schnittgrößen und die Streckenlast definiert und diese berechnet. Auch mit der integralen Berechnung des Querkraftverlaufs und Momentenverlaufs bist du jetzt vertraut. In einem zweiten Video, was wir dir hier verlinkt haben, gibt es eine Fortsetzung der Thematik Schnittgrößen. Dabei schauen wir uns das Vorgehen zur Berechnung der Größen anhand eines Beispiels an. Falls du lieber den Text lesen möchtest, findest du diesen hier im Anschluss.

Schnittgrößen und Freischneiden

Um die Schnittgrößen für ein beliebiges System zu berechnen, kannst du wie folgt vorgehen:
Zuerst musst du das System freischneiden, dann die Auflagerkräfte berechnen und als letztes die Schnittgrößen über die Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
In unserem Fall sieht das System so aus:

Schnittgrößen, Streckenlast, Schnittufer, Freischneiden, FreischnittSchnittgrößen, Streckenlast, Schnittufer, Freischneiden, Freischnitt, Querkraft, Normalkraft, Schnittmoment
Schnittgrößen berechnen – Freischneiden / Freischnitt

Wie du siehst haben wir einen ebenen Balken, der mit einem Festlager und einem Loslager befestigt ist und auf den zusätzlich eine Kraft von 200N in einem Winkel von 45^\circ wirkt.

Freischneiden

Für das Freischneiden gibt es wieder eine Konvention. Wirkt auf den Balken zusätzlich zu den Lagerkräften eine Kraft, dann wird direkt vor und direkt hinter dieser Kraft geschnitten, der sogenannte Freischnitt. Das bedeutet, dass der erste Bereich unmittelbar vor der Kraft endet. Zur Visualisierung zeichnet man die Schnitte allerdings nicht direkt bei der Kraft ein. Der zweite Bereich umfasst den gesamten Balken. Nun haben wir unsere zwei Bereiche und können die Auflagerkräfte bestimmen.
Dafür muss man wissen, dass uns ein Festlager immer eine Kraft in horizontaler und eine in vertikaler Richtung liefert. Das Loslager hingegen bringt uns nur eine Kraft in vertikaler Richtung hervor. Jetzt haben wir alle Kräfte eingezeichnet und können uns mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen an die Berechnung der Auflagerkräfte machen.

Auflagerkräfte berechnen

Das Vorgehen ist hier immer gleich: zuerst stellen wir in jede Richtung unsere Kräfte– und Momentengleichgewichte auf.
Als erstes betrachten wir die horizontale Richtung. In unserem Beispiel wirken hier die Kraft A_x und die Kraft F. Da die Kraft F schräg auf den Balken auftrifft, wirkt sie nur zu einem Teil in x-Richtung. Nämlich nur mit dem Anteil \frac{F}{\sqrt2}. Dies ergibt sich aus den trigonometrischen Beziehungen. Für unser Gleichgewicht in x-Richtung gilt also:

A_x+\frac{F}{\sqrt2}=0

Wir stellen die Formel nun nach A_x um und setzen für F = 200N ein. Dadurch ergibt sich für A_x eine Kraft von -141,42N.
Die vertikalen Kräfte sind in unserem Beispiel die Kraft A_y, die entlang der y-Achse wirkt, die Kraft F, die anteilig entgegen wirkt und die Kraft B_y, die wiederum entlang der y-Achse wirkt. Als Formel ausgedrückt sieht das dann so aus:

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Schnittgrößen und Freischnitt – Auflagerkräfte berechnen

Wenn wir diese Formel nun nach B_y umstellen, fällt auf, dass wir zwei Unbekannte haben – A_y und B_y. Wir müssen also zuerst an einer anderen Stelle weitermachen, um B_y ausrechnen zu können.

Drehmoment berechnen

Hier bietet sich das Drehmoment an. Wir legen fest, dass wir den Punkt A betrachten und unser Moment im Uhrzeigersinn drehen lassen. Rotieren wir nun rechts um den Punkt A herum, stellen wir fest, dass die Kraft F anteilig positiv zur Drehung beiträgt und, dass die Kraft B_y dieser entgegenwirkt. Da es sich hier um Drehmomente handelt, ist es wichtig, dass du den Abstand zu unserem Drehpunkt nicht vernachlässigst. Die Formel sieht dann so aus:

\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ l-B_y\cdot 2l=0

Jetzt können wir die Formel nach \mathbf{B_y} umstellen und erhalten dann nach Einsetzen unserer Zahlen eine Kraft B_y = 70,71N. Du siehst, dass wir nun auch unsere Kraft A_y ausrechnen können, indem wir B_y in die vorherige Formel einsetzen. Daraus ergibt sich eine Kraft A_y von 70,71N.
Jetzt haben wir alle Auflagerkräfte bestimmt und können uns endlich an die Berechnung der Schnittgrößen machen.

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Schnittgrößen und Freischnitt – Drehmoment berechnen

Berechnung der Schnittgrößen

Hier muss man jeden Bereich separat betrachten. Im ersten Bereich wirkt in horizontaler Richtung nun zusätzlich zu den bekannten Kräften noch die Normalkraft N_I. Die Kraft \mathbf{F} ist hier nicht relevant, da wir ja vor der Kraft geschnitten haben. Daraus resultiert folgende Formel:

A_x+N_I=0

Wenn wir die Formel umstellen, dann gilt für unsere Schnittgröße:

N_I=\ -\ A_x=141,42N

Für die vertikale Richtung im ersten Bereich erfolgt die Rechnung analog. Hier wirkt die Querkraft Q_I der Kraft A_y entgegen, die Kraft F bleibt wieder unbeachtet. Für Q_I ergibt sich dann ein Wert von 70,71N.

Schnittmoment bestimmen

Nun bestimmen wir das Schnittmoment. Wir drehen im Uhrzeigersinn um unseren Schnittpunkt 1. Das Moment M_I wirkt unserer Drehung also entgegen und die Kraft A_y begünstigt unsere Drehung. Wichtig ist, dass wir wieder den Abstand zum Drehpunkt betrachten. Das ergibt dann:

-M_I+A_y\cdot \ l=0

M_I=\ A_y\cdot \ l

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Schnittgrößen und Freischnitt – das Schnittmoment bestimmen

Du siehst, dass unser Drehmoment an der Stelle 0 gleich 0 ist und bei „L ist gleich ein Meter“ den Wert 70,71Nm annimmt.

Als nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen für den zweiten Bereich. Die Berechnung erfolgt analog zu Bereich I, allerdings kommt jetzt noch die Kraft F und die Auflagerkraft B_y hinzu.
In horizontaler Richtung wirkt die Kraft A_x, die Normalkraft N_{II} und anteilig die Kraft F. Nach Umstellen und Einsetzen erhalten wir N_{II} ≈ 0.
In y-Richtung sieht das sehr ähnlich aus. Hier wirkt die Kraft A_y der Kraft F und der Querkraft Q_{II} entgegen. In Formeln kann man das folgendermaßen ausdrücken:

A_y-\frac{F}{\sqrt2}-Q_{II}=0

und

Q_{II}=A_y-\frac{F}{\sqrt2}=-\ 70,71\ N

Jetzt fehlt nur noch das Schnittmoment für den zweiten Bereich. Wir müssen wieder das Schnittmoment für beide Enden unseres Bereichs bestimmen, allerdings ist unser Moment am positiven Schnittufer nicht wie vorher Null. Wir führen deswegen die Laufvariable x_2 ein. x_2 = 0 befindet sich dann direkt am Punkt der Krafteinwirkung von F. Unsere Formel sieht nun ein kleines bisschen anders aus:

A_y\cdot\left(l+x_2\right)-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ x_2-M_{II}=0

und

M_{II}=A_y\cdot\left(l+x_2\right)-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ x_2

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Schnittgrößen und Freischnitt – das Schnittmoment bestimmen

Setzen wir nun unsere Angaben ein. Für x_2 nehmen wir 0 an. Daraus folgt:

M_{II(0)}=A_y\cdot\ l=70,71\ Nm

Und um das Drehmoment am Ende unseres Balkens herauszufinden, setzen wir nun für x_2 L ein.

M_{II(l)}=A_y\cdot 21-\frac{F}{\sqrt2}\cdot\ l\≈ 0 Nm

So kannst du ganz einfach die Schnittgrößen für jeden beliebigen Balken ausrechnen. Hier hast du nochmal alle Schnittgrößen für unser System im Überblick:

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Schnittgrößen Überblick

Ab sofort kannst du nun mit deinem Wissen über Schnittgrößen, Streckenlast und Freischneiden glänzen.


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