Welche Regeln gibt es bei Wurzeln?

Bei Wurzeln nutzt du beim Multiplizieren und Dividieren vor allem diese Regel: Bei gleichnamigen Wurzeln (gleicher Wurzelexponent) rechnest du zuerst die Zahlen unter der Wurzel aus, also die Radikanden (Zahl unter der Wurzel). Zum Beispiel: .

Woran erkennt man, ob zwei Wurzeln gleichnamig oder ungleichnamig sind?

Zwei Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben, also dieselbe kleine Zahl an der Wurzel. Fehlt diese Zahl, ist es automatisch eine 2 (Quadratwurzel). Zum Beispiel sind und gleichnamig, aber und ungleichnamig.

Soll man Wurzeln erst vereinfachen, bevor man sie multipliziert oder dividiert?

Wurzeln musst du nicht unbedingt erst vereinfachen, bevor du sie multiplizierst oder dividierst, aber es kann das Rechnen leichter machen. Wichtig ist, dass dein Endergebnis vereinfacht ist. Zum Beispiel: oder und dann .

Video

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Wurzeln multiplizieren und dividieren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wurzeln multiplizieren – einfach erklärt

(00:14)

Gleichnamige Wurzeln multiplizieren

(00:43)

Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren

(01:33)

Gleichnamige Wurzeln dividieren

(02:42)

Ungleichnamige Wurzeln dividieren

(03:16)

Du fragst dich, wie du Wurzeln multiplizierst und dividierst? Hier und im Video erklären wir dir, wie das funktioniert und worauf genau du achten musst!

Klasse 8

Klasse 9

Klasse 10

Inhaltsübersicht

Wurzeln multiplizieren – einfach erklärt

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(00:14)

Um Wurzeln zu multiplizieren, gibt es eine einfache Grundregel: Du multiplizierst die Zahlen unter den Wurzeln (Radikanden) miteinander und ziehst anschließend die Wurzel aus dem Ergebnis.

Beispiel

$\sqrt{\textcolor{red}4} \cdot \sqrt{\textcolor{red}9}$

Multipliziere die Radikanden:
$\textcolor{red}4 \cdot \textcolor{red}9 = \textcolor{blue}{36}$
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis:
$\sqrt{\textcolor{blue}{36}}=6$

Das bedeutet, das Ergebnis ist:

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 6$

Gleichnamige Wurzeln multiplizieren

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(00:43)

Gleichnamige Wurzeln sind Wurzeln, mit denselben Wurzelexponenten. Zum Beispiel haben $\sqrt[\textcolor{olive}2]{\textcolor{red}4}$ und $\sqrt[\textcolor{olive}2]{\textcolor{red}9}$ beide eine 2 im Exponenten. Daher sind sie gleichnamig.

Um gleichnamige Wurzeln zu multiplizieren, folge diesen Schritten:

Stelle sicher, dass die Wurzeln gleichnamig sind.
Multipliziere die Radikanden.
Ziehe die Wurzel aus dem Produkt.

Beispiel:

$\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}2} \text{ und } \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}8}$

Beides sind Quadratwurzeln. Also sind die Wurzeln gleichnamig.
Multipliziere die Radikanden: $\textcolor{red}2 \cdot \textcolor{red}8 = \textcolor{blue}{16}$
Ziehe die Wurzel aus dem Produkt: $\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{16}} = 4$

Das Ergebnis ist 4.

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Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren

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(01:33)

Ungleichnamige Wurzeln haben verschiedene Wurzelexponenten, zum Beispiel eine 2 und eine 3. Bevor du sie multiplizieren kannst, musst du sie auf eine gemeinsame Wurzel bringen. Das machst du mit den folgenden Schritten:

Finde einen gemeinsamen Wurzelexponenten.
Schreibe die Wurzeln mit dem gemeinsamen Exponenten um.
Multipliziere die Radikanden.
Ziehe die gemeinsame Wurzel aus dem Produkt.

Beispiel:

$\sqrt[\textcolor{olive}2]{\textcolor{red}5}\cdot\sqrt[\textcolor{olive}3]{\textcolor{red}9}$

Finde den gemeinsamen Exponenten. Dafür musst du die Exponenten der Wurzeln multiplizieren: $\textcolor{olive}2 \cdot \textcolor{olive}3 = 6$
Schreibe die Wurzeln um. Dafür erweiterst du die Wurzel auf den neuen Exponenten 6.
$\begin{align*} \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{5}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{5^{\textcolor{olive}{3}}}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{125}} \\ \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{red}{9}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{9^{\textcolor{olive}{2}}}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{81}} \end{align*}$
Multipliziere die Radikanden: $\textcolor{red}{125} \cdot \textcolor{red}{81} = \textcolor{blue}{10125}$
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis: $\sqrt[\textcolor{olive}6]{\textcolor{blue}{10125}}$

Das Endergebnis ist $\sqrt[6]{10125}$ .

Wurzeln dividieren — einfach erklärt

Um Wurzeln zu dividieren, benutzt du eine ähnliche Grundregel wie bei der Multiplikation: Du dividierst die Radikanden und ziehst anschließend die Wurzel aus dem Ergebnis.

Beispiel:

$\sqrt{\textcolor{red}{25}} \div \sqrt{\textcolor{red}{5}}$

Dividiere die Radikanden: $\textcolor{red}{25} \div \textcolor{red}{5} = \textcolor{blue}{5}$
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis: $\sqrt{\textcolor{blue}{5}}$

Da du $\sqrt{5}$ nicht mehr vereinfachen kannst, ist das Ergebnis $\sqrt{25} \div \sqrt{5} = \sqrt{5}$ .

Gleichnamige Wurzeln dividieren

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(02:42)

Gleichnamige Wurzeln haben wieder den gleichen Wurzelexponenten. Du dividierst sie mit den folgenden Schritten:

Stelle sicher, dass die Wurzeln gleichnamig sind.
Dividiere die Radikanden.
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis.

Beispiel:

$\sqrt[\textcolor{olive}2]{\textcolor{red}{8}}\div\sqrt[\textcolor{olive}2]{\textcolor{red}2}$

Die Wurzeln sind beides Quadratwurzeln. Also sind sie gleichnamig.
Dividiere die Radikanden $\textcolor{red}{8}\div\textcolor{red}{2}=\textcolor{blue}{4}$
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis: $\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{blue}{4}}=2$

Ungleichnamige Wurzeln dividieren

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(03:16)

Ungleichnamige Wurzeln haben verschiedene Wurzelexponenten. Auch beim Dividieren musst du sie erst und müssen auf eine gemeinsame Wurzel bringen. Das machst du so:

Finde einen gemeinsamen Wurzelexponenten.
Schreibe die Wurzeln mit dem gemeinsamen Exponenten um.
Dividiere die Radikanden.
Ziehe die gemeinsame Wurzel aus dem Ergebnis.

Beispiel:

$\sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{red}{27}}\div \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{3}}$

Finde den gemeinsamen Exponenten, indem du die Exponenten der Wurzeln multiplizierst: $\textcolor{olive}{3} \cdot\textcolor{olive}{2} = 6$
Schreibe die Wurzeln um:
$\begin{align*} \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{red}{27}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{27}^{\textcolor{olive}{2}}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{729}} \\ \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{3}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{3}^{\textcolor{olive}{3}}} = \sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{red}{27}} \end{align*}$
Dividiere die Radikanden: $\textcolor{red}{729} \div \textcolor{red}{27} = \textcolor{blue}{27}$
Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis: $\sqrt[\textcolor{olive}{6}]{\textcolor{blue}{27}}$

Das Endergebnis ist $\sqrt[6]{27}$ .

Wurzeln multiplizieren und dividieren — häufigste Fragen

(ausklappen)

Welche Regeln gibt es bei Wurzeln?

Bei Wurzeln nutzt du beim Multiplizieren und Dividieren vor allem diese Regel: Bei gleichnamigen Wurzeln (gleicher Wurzelexponent) rechnest du zuerst die Zahlen unter der Wurzel aus, also die Radikanden (Zahl unter der Wurzel). Zum Beispiel: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$ .
Woran erkennt man, ob zwei Wurzeln gleichnamig oder ungleichnamig sind?

Zwei Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben, also dieselbe kleine Zahl an der Wurzel. Fehlt diese Zahl, ist es automatisch eine 2 (Quadratwurzel). Zum Beispiel sind $\sqrt{7}$ und $\sqrt{5}$ gleichnamig, aber $\sqrt{7}$ und $\sqrt[3]{7}$ ungleichnamig.
Soll man Wurzeln erst vereinfachen, bevor man sie multipliziert oder dividiert?

Wurzeln musst du nicht unbedingt erst vereinfachen, bevor du sie multiplizierst oder dividierst, aber es kann das Rechnen leichter machen. Wichtig ist, dass dein Endergebnis vereinfacht ist. Zum Beispiel: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{36}=6$ oder $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ und dann $2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6$ .