Mathematische Grundlagen
Wurzeln
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Du fragst dich, wie man Wurzeln addiert oder subtrahiert? Hier erklären wir dir, wie das funktioniert und worauf genau du achten musst!

Wurzeln addieren und subtrahieren einfach erklärt

Um Wurzeln addieren und subtrahieren zu können, müssen die Wurzeln  in deiner Rechnung gleich aussehen. Dann kannst du die Zahlen vor der Wurzel zusammenfassen.

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Wurzeln addieren und subtrahieren

    \[\textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} + \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{(4+3)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{7} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}}\]

    \[\textcolor{red}{5} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} - \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{(5-2)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}}\]

Wann sind Wurzeln gleich?

Wurzeln sind gleich, wenn jeweils die Zahl vorne auf der Wurzel (Wurzelexponent) und die Zahl unter der Wurzel (Radikand) gleich sind.

Wurzeln addieren

Du kannst zwei Wurzeln addieren, indem du die beiden Zahlen vor den Wurzeln (Koeffizienten) zusammenrechnest. Das zeigen wir dir mit den folgenden Beispielen:

    \[\textcolor{red}{3} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} + \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{(3+4)} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{7} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}}\]

    \[\textcolor{red}{8} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} + \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{(8 + 2)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{10} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}}\]

Wenn vor der Wurzel keine Zahl steht, dann bedeutet das, dass der Koeffizient gleich 1 ist.

    \[\sqrt{3} = \textcolor{red}{1} \cdot \sqrt{3} \]

Wurzeln addieren

Allgemein kannst du dir merken:

    \[\textcolor{red}{a} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} + \textcolor{red}{b} \cdot \sqrt [\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} = (\textcolor{red}{a}+\textcolor{red}{b}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}}\]

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Wurzeln subtrahieren

Du kannst zwei Wurzeln subtrahieren, indem du die beiden Koeffizienten vor der Wurzel voneinander abziehst. Schau dir das an zwei Beispielen an:

    \[\textcolor{red}{5} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} - \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{(5-3)} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}}\]

    \[\textcolor{red}{8} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} - \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{(8-3}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{5} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}}\]

Wurzeln subtrahieren

Nochmal kurz zusammengefasst:

    \[\textcolor{red}{a} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} - \textcolor{red}{b} \cdot \sqrt [\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} = (\textcolor{red}{a}-\textcolor{red}{b}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}}\]

Wann kannst du Wurzeln nicht addieren oder subtrahieren?

Wenn zwei Wurzeln unterschiedliche Radikanden (Zahl unter der Wurzel) haben, kannst du die Wurzeln nicht addieren und subtrahieren. 

2 \cdot \sqrt[3]{\textcolor{teal}{5}} + 2 \cdot \sqrt[3]{\textcolor{teal}{6}} = ⚡️ 

5 \cdot \sqrt[2]{\textcolor{teal}{3}} - 3 \cdot \sqrt[2]{\textcolor{teal}{7}} = ⚡️ 

Auch bei unterschiedlichen Wurzelexponenten (Zahl auf der Wurzel) ist das Zusammenfassen nicht möglich.

3 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{5} + 2 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{5} =⚡️  

5 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{7} - 3 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{5}]{7} = ⚡️ 

Addieren vs. Multiplizieren

Addieren und Subtrahieren funktioniert anders als Multiplizieren. Achte darauf, dass du die verschiedenen Rechenarten nicht verwechselst!

\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} ✅ 

\sqrt{3} + \sqrt{5} \neq \sqrt{3 + 5} ❌ 

Wurzeln addieren und subtrahieren — häufigste Fragen

  • Wie addiert man Wurzeln?
    Wurzeln werden addiert oder subtrahiert, indem man die Wurzelkoeffizienten zusammenfasst und Wurzelexponent und Radikand unverändert lässt.

  • Wann darf ich Wurzeln addieren?
    Wurzeln darfst du dann addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Wurzelexponent und Radikand besitzen.

  • Wie fasst man Wurzeln zusammen?
    Wurzeln fasst man zusammen, indem man die Wurzelkoeffizienten verrechnet und den Wurzelterm stehen lässt.

Wurzelgesetze 

Du willst noch mehr über das Thema Wurzeln erfahren? Schau dir das Video zum Thema Wurzelgesetze direkt an!

Zum Video: Wurzelgesetze
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