Analysis

Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze legen fest, wie du beim Rechnen mit Wurzeln vorgehst und was du beim Wurzelrechnen beachten musst. %Schau dir unser Video an! Dort erklären wir dir die Wurzelregeln ausführlich mit vielen Beispielen.

Inhaltsübersicht

Wurzelgesetze einfach erklärt 

Die Wurzelgesetze brauchst du, um die Grundrechenarten (Plus, Minus, Mal, Geteilt) auf Wurzeln anwenden zu können.

Was ist eine Wurzel?

Um mit den Wurzelgesetzen rechnen zu können, musst du wissen, aus welchen Bausteinen eine Wurzel besteht.

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Bezeichnungen einer Wurzel

Schauen wir uns zunächst ein Beispiel an. Die 4 im Quadrat ergibt 16.

4 \cdot 4 = 4^{2} = 16

Wenn du jetzt von der Zahl 16 die Wurzel ziehst, erhältst du wieder die 4. Das Wurzelziehen  ist also das Gegenteil vom Quadrieren.

\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4

Die Wurzelgesetze sind im Folgenden übersichtlich dargestellt.

Addition:  \textcolor{teal}{a}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} + \textcolor{teal}{b}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = (\textcolor{teal}{a} + \textcolor{teal}{b}) \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} Subtraktion: \textcolor{teal}{a}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} - \textcolor{teal}{b}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = ( \textcolor{teal}{a} - \textcolor{teal}{b}) \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}
Multiplikation: \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} \cdot \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{y}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x\cdot y}} Division: \frac{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}}{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{y}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{red}{y}}}
Potenzieren: (\sqrt[n]{x})^{\textcolor{blue}{m}} = \sqrt[n]{x^\textcolor{blue}{m}} Radizieren: \sqrt[\textcolor{blue}{m}]{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{m} \cdot \textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}

Schauen wir uns nun viele Beispiele dazu an!

Wurzelregeln

Es gibt zu allen Grundrechenarten Wurzelgesetze. Sie legen fest, wie du beim Rechnen mit Wurzeln vorgehst. Schauen wir uns nun Beispiele dazu an!

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Wurzelgesetz addieren

Bei der Addition setzen die Wurzelregeln voraus, dass der Wert n auf der Wurzel (Wurzelexponent) und der Wert x unter der Wurzel (Radikand) gleich sind. Dazu addierst du die beiden Koeffizienten, also die Zahlen, die vor den Wurzeln stehen.

\textcolor{teal}{a}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} + \textcolor{teal}{b}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = (\textcolor{teal}{a} + \textcolor{teal}{b}) \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}

Beispiel

Du sollst folgende Wurzeln addieren

\textcolor{teal}{5}\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{7}}+\textcolor{teal}{1}\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{7}}.

Da beide Summanden den gleichen Wurzelexponenten 3 und den Radikand 7 haben, kannst du die Wurzeln ganz einfach addieren, indem du die beiden Koeffizienten 5 und 1 zusammenzählst.

(\textcolor{teal}{5} + \textcolor{teal}{1}) \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{7}} = \textcolor{teal}{6} \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{7}}

Hinweis: Wenn vor der Wurzel x der Koeffizient 1 steht, wird er meist weggelassen. Zum Wurzeln addieren kannst du die 1 einfach wieder ergänzen.

\sqrt[n]{x} = 1\cdot\sqrt[n]{x}

Wurzelgesetz subtrahieren 

Das Wurzelgesetz zur Subtraktion funktioniert genauso wie bei der Addition, nur dass du anstelle von plus nun minus rechnest.

\textcolor{teal}{a}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} - \textcolor{teal}{b}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = (\textcolor{teal}{a} - \textcolor{teal}{b}) \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}

Beispiel

Subtrahiere die Wurzeln.

\textcolor{teal}{7}\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{3}}-\textcolor{teal}{5}\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{3}}

Beide Glieder haben unter der Wurzel die Zahl 3 und für n die Zahl 4. Du rechnest also einfach 7 minus 5 und ziehst es vor die Wurzel.

(\textcolor{teal}{7}-\textcolor{teal}{5})\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{teal}{2}\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{3}}

Wurzelgesetz multiplizieren

Die Wurzelgesetze bei der Multiplikation setzen voraus, dass Wurzeln den gleichen Exponenten n haben, damit du sie multiplizieren kannst. In dem Fall können die Radikanden einfach multipliziert werden, ohne das sich das n ändert.

\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} \cdot \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{y}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x\cdot y}}

Beispiel

Du sollst folgende Wurzeln multiplizieren.

\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{4}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{5}}

Der Wert n ist bei beiden Wurzeln gleich 3. Du multiplizierst daher die Radikanden 4 und 5 und ziehst sie in eine Klammer unter die Wurzel.

\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{4}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{5}}= \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{4\cdot5}} = \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{20}}

Wurzelgesetz dividieren

Schauen wir uns auch zum Wurzel teilen die Rechenregeln an. Genauso, wie bei der Multiplikation müssen die Wurzeln auch bei der Division den gleichen Wurzelexponenten n haben. 

\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}}{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{y}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{red}{y}}}

Beispiel

Berechne die Division.

\frac{\sqrt{\textcolor{red}{9}}}{\sqrt{\textcolor{red}{3}}}

Beide Wurzeln haben den Exponenten 2 (\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}). Du kannst also die Radikanden 9 und 3 durcheinander teilen und unter eine Wurzel schreiben.

\frac{\sqrt{\textcolor{red}{9}}}{\sqrt{\textcolor{red}{3}}} = \sqrt{\frac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{red}{3}}} = \sqrt{3}

Wurzelgesetze: Wurzeln potenzieren

Auch zum Potenzieren gibt es Wurzelrechengesetze. Eine Wurzel als Potenz hat zusätzlich zum Wurzelexponenten n einen weiteren Exponenten m außerhalb der Klammer. Du kannst die Wurzeln und Potenzen laut den Rechenregeln umschreiben, indem du den Exponenten m unter die Wurzel ziehst.

(\sqrt[n]{x})^{\textcolor{blue}{m}} = \sqrt[n]{x^\textcolor{blue}{m}}

Beispiel

Potenziere die Wurzel (\sqrt[3]{5})^{\textcolor{blue}{4}}.

Ziehe die 4  in die Wurzel und lass die Klammer weg.

(\sqrt[3]{5})^{\textcolor{blue}{4}} = \sqrt[3]{5^\textcolor{blue}{4}} = \sqrt[3]{20}

Wurzelgesetze: Wurzeln radizieren/auflösen

Mit den Wurzelregeln zum Radizieren kannst du eine doppelte Wurzel umschreiben. Dazu multiplizierst du die Wurzelexponenten m und n miteinander und schreibst sie auf ein Wurzelzeichen.  Die Zahl x unter der Wurzel übernimmst du.

\sqrt[\textcolor{blue}{m}]{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{m} \cdot \textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}}

Beispiel

Radiziere folgende Wurzel.

\sqrt{\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{28}}}

Da auf der ersten Wurzel kein Exponent steht, ist es eine Quadratwurzel. Der Wurzelexponent ist also 2. Du multiplizierst daher die 2 mit der 4.  Den Wert unter der Wurzel übernimmst du.

\sqrt{\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{28}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{28}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}\cdot \textcolor{blue}{4}]{\textcolor{red}{28}} = \sqrt[\textcolor{blue}{8}]{\textcolor{red}{28}}

Wurzel als Potenz umschreiben

Manchmal ist es leichter mit Potenzen zu rechnen, als mit Wurzeln. Wurzeln und Potenzen kannst du laut den Rechenregeln einfach umschreiben. Dabei wird der Exponent der Wurzel als Bruch dargestellt. Eine Wurzel mit einem Exponenten wandelst du als Potenz um, indem du den Wurzelexponenten n als Nenner in die Potenz schreibst. Als Zähler nimmst du den Exponenten m des Radikanden x. Falls der Radikand keinen Exponenten hat, ist m eine 1.

\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}^\textcolor{teal}{m}} = \textcolor{red}{x}^{\frac{\textcolor{teal}{m}}{\textcolor{blue}{n}}}

Beispiele

\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{\textcolor{red}{6}^\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{6}^{\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{5}}}

\sqrt{\textcolor{red}{14}^{\textcolor{teal}{3}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{14}^\textcolor{teal}{3}} =  \textcolor{red}{14}^{\frac{\textcolor{teal}{3}}{\textcolor{blue}{2}}}

Wurzeln und Potenzen

Du weißt nun, wie die Wurzelgesetze lauten und wie du eine Wurzel x in eine Potenz umschreiben kannst. Damit du verstehst, wie Potenzen und Wurzeln genau zusammenhängen, musst du unbedingt unser Video  zu den Potenzgesetzen anschauen.

%Thumbnail Potenzgesetze

 

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