Mathematische Grundlagen
Potenzen & Wurzeln
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Bist du dir unsicher, wenn es um Wurzel Rechnen geht? Kein Problem! In dem Artikel%und unserem Video lernst du alles Wichtige über Wurzelrechnung und Wurzelregeln.

Wurzelrechnung einfach erklärt

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl ergibt. Also ist zum Beispiel die Wurzel aus 4 gleich 2, da 2 mal 2 wieder 4 ergibt.

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{4}=2 \; \Leftrightarrow \; 2 \cdot 2 = 2^{\textcolor{blue}{2}}= 4\]

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{9}=3 \; \Leftrightarrow \; 3 \cdot 3 = 3^{\textcolor{blue}{2}} = 9\]

Allerdings gibt es nicht nur Quadratwurzeln. Du kannst auch die dritte Wurzel ziehen. In dem Fall würdest du dann überlegen, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der dritten Wurzel ergibt: 

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{27}=3 \; \Leftrightarrow \; 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{\textcolor{blue}{3}} = 27\]

n-te Wurzel

Die Wurzel besteht aus einem Wurzelzeichen, dem Radikand a und dem Wurzelexponenten n.

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}} = \textcolor{olive}{b}\; \Leftrightarrow \; \textcolor{olive}{b}^{\textcolor{blue}{n}} = \textcolor{red}{a}\]

Für die Wurzelrechnung ist wichtig, dass du folgenden Zusammenhang kennst: 

    \[\sqrt{4}=4^{\frac{1}{\textcolor{blue}{2}}}\]

Wurzel Regeln

Wenn du den Wert einer Wurzel berechnen willst, gibt es einige wichtige Wurzelregeln, die dir helfen können.

Wurzeln multiplizieren

Wenn du zwei Wurzeln miteinander multiplizieren willst, die denselben Wurzelexponenten haben, darfst du folgendes machen:

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{6}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4\cdot6}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{24}\]

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{5}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{14}=\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{5\cdot14}=\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{70}\]

Es gilt also für Wurzel mal Wurzel:

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{b}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}\cdot\textcolor{red}{b}}\]

Du musst hier allerdings aufpassen. Denn du kannst die Regel nur anwenden, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben.

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{7}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{8}\neq\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{7\cdot8}\]

Wurzeln dividieren

Auch für das Dividieren von Wurzeln gibt es eine ähnliche Regel:

    \[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4}}{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{6}}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\frac{4}{6}}\]

    \[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{6}}{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{13}}=\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{\frac{6}{13}}\]

Im Allgemeinen gilt also für Wurzel durch Wurzel:

    \[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}}{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{red}{b}}}\]

Wieder darfst du diese Regel nur verwenden, wenn die beiden Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben:

    \[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{2}}{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{5}}\neq\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\frac{2}{5}}\]

Wurzelpotenzgesetz

Eine weitere wichtige Regel kennst du vielleicht aus den Potenzgesetzen:

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4\textsuperscript{6}}={4}^{\frac{6}{\textcolor{blue}{3}}}\]

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{11}]{5\textsuperscript{3}}=5^{\frac{3}{\textcolor{blue}{11}}}\]

    \[\left(\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{7}\right)^{5}=7^{\frac{5}{\textcolor{blue}{3}}\]

Die allgemeine Regel lautet:

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}^{\textcolor{olive}{b}}}=\textcolor{red}{a}^{\frac{\textcolor{olive}{b}}{\textcolor{blue}{n}}}\]

Du kannst also auch die Quadratwurzel als Potenz schreiben!

    \[\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\]

Wurzeln radizieren

Es gibt noch eine weitere wichtige Wurzelregel, die dir bei der Wurzel Rechnung hilft. Du kannst nämlich ohne Probleme auch die Wurzel aus einer Wurzel ziehen.

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{8}}=\sqrt[\textcolor{blue}{5\cdot7}]{8}=\sqrt[\textcolor{blue}{35}]{8}\]

    \[\sqrt{\sqrt{16}}=\sqrt[\textcolor{blue}{2\cdot2}]{16}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{16}=2\]

Allgemein kannst du dir bei der Wurzelrechnung merken:

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\sqrt[\textcolor{blue}{m}]{\textcolor{red}{a}}}=\textcolor{red}{a}^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}\cdot\textcolor{blue}{m}}\]

Teilweises Wurzelziehen

Beim teilweisen Wurzelziehen geht es darum, dass du versuchst, den Radikand in ein Produkt zu zerlegen wie du es von der Primfaktorzerlegung  kennst. Das hilft dir beim Wurzel Berechnen: Anstatt aus der großen Zahl ziehst du aus ihren einzelnen Faktoren die Wurzel:

    \[\sqrt{125}=\sqrt{5^{2}\cdot5}=5\cdot\sqrt{5}\]

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{144}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{12\cdot12}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{4\cdot3\cdot4\cdot3}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2\cdot3}=2\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{9}\]

    \[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{27}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{3\cdot3\cdot3}=3\]

Es kann allerdings durchaus vorkommen, dass trotz Produktzerlegung keine Möglichkeit besteht, die Wurzel aus einem der Faktoren zu ziehen:

    \[\sqrt{231}=\sqrt{77\cdot3}=\sqrt{7\cdot11\cdot3}\]

    \[\sqrt{26}=\sqrt{2\cdot13}\]

Wurzel im Nenner beseitigen

Wenn du eine Wurzel im Nenner stehen hast, ist das zwar erstmal nicht weiter schlimm, du tust dir allerdings oft leichter, wenn du sie beseitigst. Hierfür musst du den Bruch mit der Wurzel erweitern :

    \[\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\]

    \[\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt6}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Manchmal musst du aber gar nicht erst den Bruch erweitern. Du kannst häufig auch direkt kürzen :

    \[\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2\cdot2}}{\sqrt{2}}=\frac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}}{\cancel{{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}\]

    \[\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot3}{\sqrt{3}}=\frac{\cancel{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\]

Potenzgesetze

Du hast bestimmt erkannt, dass einige Wurzelgesetze auf den Potenzgesetzen basieren. Falls du dazu noch mehr wissen willst, schau dir doch unser Video zum Thema Potenzgesetze rechnen an. 

%Thumbnail-Verweis Potenzgesetze

%Bitte SERP-Feature anpassen, vgl. meine Anmerkungen zu Koordinatenform in Parameterform


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