Mathematische Grundlagen
Potenzen & Wurzeln
 – Video

Was ist eine Quadratwurzel? Hier erklären wir dir alles Wichtige zu Quadratwurzeln in Mathe. Schau dir auch gleich unser Video dazu an!

Quadratwurzel einfach erklärt

Eine Quadratwurzel erkennst du am Wurzelzeichen (√). Damit machst du das quadrieren (…)² einer Zahl rückgängig. 

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Quadratwurzel ziehen und Quadrieren

Sehen wir uns das am Beispiel der Quadratwurzel von 9 an.

    \[\sqrt{9} =\]

9 kannst du auch schreiben als 3 • 3 = 3². Die Quadratwurzel aus 9 ist also gleich 3.

    \[ \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3 \]

Übrigens: Experten nennen die Zahl unter der Wurzel auch Radikand.

Quadratwurzel berechnen

Die Quadratwurzel a einer Zahl b ergibt mit sich selbst multipliziert b. Dabei ist a > 0. 

    \[\sqrt{b} =a \Leftrightarrow a^2 = b\]

Quadratwurzel aus natürlichen Zahlen

Aus natürlichen Zahlen (1, 2, 3, …) darfst du immer die Quadratwurzel ziehen.

Um die Quadratwurzel aus 81 zu finden, überlegst du dir, welche Zahl im Quadrat 81 ergibt.

    \[\sqrt{81} =\]

9 mal 9 ergibt 81.

    \[9 \cdot 9 = 81\]

Klasse, du hast den Wert gefunden.

    \[\sqrt{81} = 9\]

Eben hast du ausprobiert, welche Zahl du mit sich selbst malnehmen musst. Das geht schneller, wenn du die Quadratzahlen kennst. Deshalb findest du hier eine Auflistung der wichtigsten Quadratzahlen:

Zahl Quadratzahl Wurzel der Quadratzahl
1^2 1 \sqrt{1} = 1
2^2 4 \sqrt{4} = 2  
3^2 9 \sqrt{9} = 3  
4^2 16 \sqrt{16} = 4  
5^2 25 \sqrt{25} = 5
6^2 36 \sqrt{36} = 6  
7^2 49 \sqrt{49} = 7  
8^2 64 \sqrt{64} = 8
9^2 81 \sqrt{81} = 9
10^2 100 \sqrt{100} = 10

Außerdem gibt es einige größere wichtige Quadratzahlen:

Zahl Quadratzahl Wurzel der Quadratzahl
11^2  121 \sqrt{121} = 11
12^2  144 \sqrt{144} = 12
15^2  225 \sqrt{225} = 15
20^2  400 \sqrt{400} = 20
25^2  625 \sqrt{625} = 25

Prima, Quadratwurzel berechnen kannst du jetzt!

Wurzeln auflösen negative Zahlen

Wie sieht es aus, wenn negative Zahlen unter der Quadratwurzel stehen? Zum Beispiel, wenn du die negative Wurzel ziehen willst bei -9.

    \[\sqrt{(-9)}=\]

Du suchst also eine Zahl, die im Quadrat -9 ergibt. Und hier wird es schwierig: Keine Zahl hat, mit sich selbst multipliziert, ein negatives Ergebnis.

Denn wenn du eine negative Zahl ins Quadrat nimmst, erhältst du ein positives Ergebnis (Minus mal Minus ergibt Plus) :

    \[ (-3) \cdot (-3) = 9\]

Und auch beim Malrechnen einer positiven Zahl mit sich selbst bleibt das Ergebnis positiv.

    \[ 3 \cdot 3 = 9\]

Es gibt also keine Zahl, die im Quadrat -9 ergibt.

Negative Wurzel

Du darfst keine negative Wurzel ziehen. 

    \[  \sqrt{-9} \;\textcolor{red}{\lightning} \]

 

Wurzel ziehen aus Brüchen

Jetzt fragst du dich sicher: Darf ich aus Brüchen die Wurzel ziehen (radizieren)? 

Ja. Dafür ziehst du einfach die Wurzel aus dem Zähler und dem Nenner.

Die Wurzel des Bruchs \frac{16}{25} bestimmst du, indem du die Wurzel aus Zähler und Nenner berechnest. Da es sich um Quadratzahlen handelt, geht das schnell:

    \[\sqrt{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}= \frac{4}{5}\]

Spitze, du hast die Quadratwurzel aus einem Bruch berechnen können!

Wurzel in Potenzschreibweise

Die Quadratwurzel kannst du auch in Potenzschreibweise schreiben. Dafür nimmst du den Exponenten \frac{1}{2}.

    \[\sqrt{9} = 9^{\frac{1}{2}}\]

Quadrieren und Radizieren in einer Aufgabe macht dir keine Probleme. Du kannst beide Exponenten multiplizieren. 

    \[\sqrt{25^2} = (25^{\frac{1}{2}})^{2} = 25 ^{2 \cdot \frac{1}{2}}=25^1=25\]

Du erhältst den Radikanden. Damit ist klar: Quadrieren und Quadratwurzel sind Umkehroperationen

Geschafft! Jetzt bist du fit in der Quadratwurzelrechnung.

Wurzelfunktion

Neben der Quadratwurzelrechnung tauchen Quadratwurzeln auch in Funktionsgleichungen auf. Was bei Quadratwurzeln dann zu beachten ist, erklären wir dir hier. Schau gleich rein!

Zum Video: Wurzelfunktion
Zum Video: Wurzelfunktion

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