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Schnittpunkt zweier Funktionen

Du fragst dich, wie man den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnet? Hier erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du Schnittpunkte berechnen kannst.

Inhaltsübersicht

Schnittpunkte zweier Funktionen — einfach erklärt

Ein Schnittpunkt zweier Funktionen ist der Punkt, an dem sich ihre beiden Linien oder Kurven treffen. Dort haben beide Funktionen denselben x- und y-Wert. Du kannst ihn im Koordinatensystem ablesen.

Wenn du den Schnittpunkt genau berechnen willst, setzt du die beiden Funktionen gleich und löst sie.

Stell dir also vor, du hast zwei Funktionen f(x) und g(x). Du setzt f(x)=g(x) und löst die Gleichung nach x auf. Wenn du den x-Wert berechnet hast, dann setzt du ihn in eine der beiden Funktionen ein. So erhältst du den y-Wert des Schnittpunktes.

Schnittpunkt zweier linearer Funktionen

Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen zu berechnen, folgst du immer den gleichen Schritten:

1. Gleichungen aufstellen:
Du hast zwei lineare Funktionen, zum Beispiel f(x) = 2x + 3 und g(x) = -x + 5 .

2. Gleichsetzen:
Setze die beiden Gleichungen gleich: 2x + 3 = -x + 5 .

3. Nach x auflösen:
Löse die Gleichung nach x auf:

$2x + 3 = -x + 5 \quad \text{// + x}$

$2x + 3 + x = -x + 5 + x \quad \text{// Vereinfachen}$

$3x + 3 = 5 \quad \text{// - 3}$

$3x + 3 - 3 = 5 - 3 \quad \text{// Vereinfachen}$

$3x = 2 \quad \text{// ÷ 3}$

$x = \frac{2}{3}$

4. y-Wert berechnen:
Setze den x-Wert in eine der beiden Funktionen ein, um den y-Wert zu finden:

$f\left(\frac{2}{3}\right) = 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}$

oder

$g\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3} + 5 = -\frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{13}{3}$

In beiden Fällen bekommst du den gleichen y-Wert.

5. Schnittpunkt angeben:
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen ist $\left(\frac{2}{3}/ \frac{13}{3}\right)$ .

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Hinweis: Wenn zwei lineare Funktionen parallel sind, haben sie keinen Schnittpunkt. Das bedeutet nämlich, dass sie die gleiche Steigung m, aber verschiedene y-Achsenabschnitte haben.

Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen

Um den Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen zu berechnen, folgst du den Schritten:

1. Gleichungen aufstellen:
Du hast zwei quadratische Funktionen, zum Beispiel f(x) = x^2 - 2x + 1 und g(x) = -x^2 + 4x - 3 .

2. Gleichsetzen:
Setze die beiden Funktionen gleich:

$x^2 - 2x + 1 = -x^2 + 4x - 3$

3. Nach x auflösen:
Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:

$x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 3 = 0$

Vereinfachen:

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

4. Quadratische Gleichung lösen:
Verwende die Mitternachtsformel :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

In diesem Fall ist a = 2 , b = -6 , und c = 4 .

Berechne die Diskriminante (das, was unter der Wurzel steht):

$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 \quad \text{// Einsetzen der Werte für } a, b \text{ und } c$

$= 36 - 32 \quad \text{// Potenzen und Produkte berechnen}$

$= 4 \quad \text{// Summe bilden}$

Setze die Diskriminante in die Mitternachtsformel ein:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} \quad \text{// Einsetzen der Werte für } a \text{ und } b$

Berechne die Wurzeln und den Nenner:

$x = \frac{6 \pm 2}{4} \quad \text{// Wurzel ziehen und vereinfachen}$

Vereinfachen:

$x = \frac{6 + 2}{4} \quad \text{oder} \quad x = \frac{6 - 2}{4}$

$x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 1$

5. y-Werte berechnen:
Setze die x-Werte in eine der beiden Funktionen ein, um die y-Werte zu berechnen:

Für x = 2 :

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

Für x = 1 :

$f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

6. Schnittpunkte angeben:
Die Schnittpunkte sind (2 / 1) und (1 / 0) .

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Hinweis: Zwei quadratische Funktionen haben keinen reellen Schnittpunkt, wenn die Gleichung, die beim Gleichsetzen entsteht, keine Lösung hat.

Schnittpunkt einer linearen und einer quadratischen Funktion

Um den Schnittpunkt einer linearen und einer quadratischen Funktion zu berechnen, gehe wie folgt vor:

1. Gleichungen aufstellen:
Du hast eine lineare Funktion f(x) = 2x + 1 und eine quadratische Funktion g(x) = x^2 + 2 .

2. Gleichsetzen:
Setze die beiden Gleichungen gleich:

$2x + 1 = x^2 + 2$

3. Nach x auflösen:
Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:

$2x + 1 - x^2 - 2 = 0 \quad \text{// Beide Seiten um } -x^2 \text{ und } -2 \text{ erweitern}$

Vereinfachen:

$-x^2 + 2x + 1 - 2 = 0 \quad \text{// Terme zusammenfassen}$

$-x^2 + 2x - 1 = 0$

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit -1, um die Gleichung zu vereinfachen:

$x^2 - 2x + 1 = 0 \quad \text{// Vorzeichen umdrehen}$

Erkenne, dass die Gleichung ein Binom ist:

$(x - 1)^2 = 0$

Löse die Gleichung nach x auf:

$x - 1 = 0 \quad \text{// Wurzel aus beiden Seiten ziehen}$

$x = 1$

4. y-Wert berechnen:
Setze den x-Wert in eine der beiden Funktionen ein, um den y-Wert zu finden:

$f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$

5. Schnittpunkt angeben:
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen ist (1 / 3) .

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Hinweis: Eine lineare und eine quadratische Funktion haben keinen reellen Schnittpunkt, wenn die entstehende Gleichung keine Lösung hat. Wenn du die Mitternachtsformel anwendest und die Diskriminante negativ ist, gibt es keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt einer Wurzelfunktion mit einer linearen oder quadratischen Funktion

Um den Schnittpunkt einer Wurzelfunktion mit einer linearen oder quadratischen Funktion zu berechnen, folgst du den Schritten:

1. Gleichungen aufstellen:
Du hast eine Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ und eine lineare Funktion $g(x) = \frac{1}{2}x$ .

2. Gleichsetzen:
Setze die beiden Funktionen gleich:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$

3. Nach x auflösen:
Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu entfernen:

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \quad \text{// Beide Seiten quadrieren}$

$x = \frac{1}{4}x^2$

Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:

$4x = x^2 \quad \text{// Beide Seiten mit 4 multiplizieren}$

$x^2 - 4x = 0 \quad \text{// Terme zusammenfassen}$

Faktorisieren:

$x(x - 4) = 0$

Löse nach x auf:

$x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 4$

4. y-Werte berechnen:
Setze die x-Werte in die Wurzelfunktion ein:

Für x = 0 :

$f(0) = \sqrt{0} = 0$

Für x = 4 :

$f(4) = \sqrt{4} = 2$

5. Schnittpunkte angeben:
Die Schnittpunkte sind (0 / 0) und (4 / 2) .

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Hinweis: Eine Wurzelfunktion und eine lineare oder quadratische Funktion haben keinen Schnittpunkt, wenn die Gleichung nach dem Quadrieren keine reelle Lösung hat. Wenn du die Mitternachtsformel anwendest und die Diskriminante negativ ist, gibt es keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Funktionen — häufigste Fragen

Wie berechnet man die Schnittpunkte von 2 Funktionen?
1. Beide Funktionen gleichsetzen f(x) = g(x)
2. x berechnen (Auflösen nach x)
3. Den Wert von x in eine der beiden Funktionen einsetzen und y berechnen
Was bedeutet der Schnittpunkt zweier linearer Gleichungen?
Wenn zwei lineare Gleichungen sich treffen, entsteht ein Schnittpunkt. An diesem Punkt haben beide Funktionen den gleichen x- und y-Wert.
Wie viele Schnittpunkte haben zwei Gerade?
Zwei Geraden haben immer einen Schnittpunkt, außer sie haben die gleiche Steigung. Sind sie parallel, gibt es entweder unendlich viele Schnittpunkte, da sie aufeinander liegen, oder keinen einzigen.

Nullstellen berechnen

Jetzt kennst du dich mit den Schnittpunkten zweier Funktionen aus. Aber wie berechnet man den Schnittpunkt mit der x-Achse? Wie du die Nullstellen berechnen kannst, erfährst du hier.

Zum Video: Nullstellen berechnen

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