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Mitternachtsformel

Wichtige Inhalte in diesem Video

So lautet die Mitternachtsformel

Das zeigt dir die Diskriminante D der Mitternachtsformel

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D > 0

Mit der Mitternachtsformel kannst du quadratische Gleichungen ganz leicht lösen. Wie du sie richtig einsetzt, zeigen wir dir hier und im Video.

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Inhaltsübersicht

So lautet die Mitternachtsformel

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Die Mitternachtsformel nutzt du um quadratische Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 zu lösen.

Dafür setzt du nur die drei Koeffizienten a, b und c in die Formel ein. Achte dabei darauf, auch ihre Vorzeichen mitzunehmen.

$x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{b} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{b}^2 - 4\textcolor{orange}{a}\textcolor{magenta}{c}}}{2\textcolor{orange}{a}}$

Wenn du die Formel ausrechnest erhältst du zwei mögliche Lösungen für x — x₁ und x₂. Das sind gleichzeitig die Nullstellen der quadratischen Funktion.

➡️Beispiel:

3x² − 7x + 2 = 0

$x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{(-7)} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{(-7)}^2 - 4 \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{magenta}{2}}}{2 \cdot \textcolor{orange}{3}} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = 0,\bar{3}$

Übrigens: Du nennst die Mitternachtsformel auch ABC-Formel.

Das zeigt dir die Diskriminante D der Mitternachtsformel

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Die Diskriminante D der Mitternachtsformel ist der Term unter der Wurzel — also b² − 4ac.

An ihr erkennst du, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung hat:

D > 0 → zwei Lösungen
D = 0 → eine Lösung
D < 0 → keine Lösung

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Mitternachtsformel: So rechnest du bei D > 0

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Liegt D > 0 vor, gibt es zwei verschiedene Lösungen. Hierbei gehst du in vier Schritten vor.

➡️Beispiel:
2x² − 3x − 5 = 0

Schritt 1 — Koeffizienten ablesen
Lies aus der quadratischen Gleichung a, b und c ab. Achte dabei unbedingt auf die richtigen Vorzeichen:

a = 2
b = -3
c = -5

Schritt 2 — Diskriminante berechnen
Setze die Koeffizientien in die Formel der Diskriminanten ein:

D = b² − 4ac =
(−3)² − 4 · 2 · (−5) =
9 + 40 = 49

D = 49 > 0 → zwei verschiedene Lösungen

Schritt 3 — Mitternachtsformel anwenden
Setze a, b und D in die Mitternatchstformel ein:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2}$
$= \frac{3 \pm 7}{4}$

Schritt 4 — Lösungen berechnen
Berechne x₁ und x₂, indem du im Zähler einmal addierst und einmal subtrahierst.

$x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

$x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Die Gleichung hat also die Nullstellen x₁ = 2,5 und x₂ = −1.

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D = 0

Liegt D = 0 vor, liefert die Mitternachtsformel immer das selbe Ergebnis — egal ob du die Diskriminante addierst oder subtrahierst. Deswegen gibt es nur eine Lösung. Trotzdem gehst du genauso vor wie bei D > 0.

➡️Beispiel:
x² − 6x + 9 = 0

Schritt 1 — Koeffizienten ablesen
Lies aus der quadratischen Gleichung a, b und c ab. Achte dabei wieder auf die richtigen Vorzeichen:

a = 1
b = -6
c = 9

Schritt 2 — Diskriminante berechnen
Setze die Koeffizientien in die Formel der Diskriminanten ein:

D = b² − 4ac =
(−6)² − 4 · 1 · 9 =
36 − 36 = 0

D = 0 → genau eine Lösung

Schritt 3 — Mitternachtsformel anwenden
Setze a, b und D in die Mitternatchstformel ein:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} =$

$\frac{6 \pm 0}{2}$

Schritt 4 — Lösung berechnen
Berechne x, indem du im Zähler durch Nenner teilst.

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} =$

$\frac{6}{2} = 3$

Die Gleichung hat also die Lösung x = 3.

Hier erhältst du also nur eine Lösung — die doppelte Nullstelle. An dieser Stelle kreuzt der Graph die x-Achse nicht, sondern berührt sie bloß.

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D < 0

Ist die D < 0, gibt es keine Lösung. Das liegt daran, dass du eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsstest. Das ist im reellen Zahlbereich nicht möglich.

➡️Beispiel:
x² + 2x + 5 = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = 2; c = 5

Diskriminante:
D = b² − 4ac =
2² − 4 · 1 · 5 =
4 − 20 = −16

Du kannst hier also nicht weiterrechnen. Die quadratische Gleichung hat keine Nullstellen.

Quadratische Gleichungen in die Normalform umstellen

Manchmal bekommst du quadratische Gleichungen, die nicht in der Normalform (ax² + bx + c = 0) vorliegen. Dann musst du sie zuerst umformen.

➡️Beispiel:

$3x - 5 + x^2 = 2x - 3 + \frac{1}{2}x^2$

So bringst du die Gleichung in die Normalform:

Schritt 1 — Alle Terme auf eine Seite bringen
Forme so um, dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

$3x - 5 + x^2 = 2x - 3 + \frac{1}{2}x^2$ |

,

und

-\frac{1}{2}x^2

$3x - 5 + x^2 - 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

Schritt 2 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Fasse alle x²-Terme, alle x-Terme und alle konstanten Zahlen zusammen, indem du sie jeweils addierst oder subtrahierst.

$3x - 5 + x^2 - 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

$3x - 2x - 5 + 3 + x^2 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

$x - 2 + \frac{1}{2}x^2 = 0$

Schritt 3 — Brüche beseitigen
Falls Brüche vorkommen, musst du die gesamte Gleichung mit dem Nenner multiplizieren.

$x - 2 + \frac{1}{2}x^2 = 0$ | · 2

$2x - (2 \cdot 2) + (2 \cdot \frac{1}{2}x^2) = 0$

2x - 4 + x^2 = 0

Schritt 4 — Terme ordnen
Schreibe zuerst den x²-Term, dann den x-Term und dann die Konstante. Nimm dabei unbedingt die jeweiligen Vorzeichen mit, denn die gehören immer fest zur Zahl dahinter!

2x - 4 + x^2 = 0

x^2 + 2x - 4 = 0

So löst du x³-Gleichungen mit der Mitternachtsformel

Manche Gleichungen lassen sich nicht direkt mit der Mitternachtsformel lösen, weil sie einen höheren Grad als 2 haben.

➡️Beispiel:

x³ + 3x² − 4x = 0

Auch dann musst du sie erst in die Normalform bringen. Gehe dafür so vor:

Schritt 1 — Gemeinsamen Faktor ausklammern
Jeder Term enthält mindestens ein x. Das klammerst du aus:

x³ + 3x² − 4x =
x · (x² + 3x − 4) = 0

Schritt 2 — Linearen Faktor lösen
Jetzt hast du ein Produkt. Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der Faktoren gleich null ist. Deswegen kannst du für x₁ schon mal den Wert 0 bestimmen:

x · (x² + 3x − 4) = 0

mit x₁ = 0 gilt:
0 · (0² + 3 · 0 − 4) =
0 · (-4) = 0 ✓

Damit hast du bereits die erste Nullstelle gefunden.

Schritt 3 — Quadratischen Faktor mit der Mitternachtsformel lösen
In der Klammer bleibt jetzt die typische Normalform x² + 3x − 4 übrig. Hier kannst du die Koeffizienten ablesen und wie gewohnt in die Diskriminante und die Mitternachtsformel einsetzen:

(x² + 3x − 4) = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = 3; c = -4

Diskriminante:
D = b² – 4ac =
3² − 4 · 1 · (−4) =
9 + 16 = 25 > 0 → zwei weitere Lösungen

Mitternachtsformel:
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_3 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ergebnis:
Die Gleichung hat die drei Nullstellen: x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = −4.

So löst du x⁴-Gleichungen mit der Mitternachtsformel

Für biquadratische Gleichungen, kannst du noch einen anderen Trick anwenden, um zur Normalform zu kommen. Denn hier kommen nur x⁴- und x²-Terme vor:

➡️Beispiel:

x⁴ − 6x² + 5 = 0

Mit einer Substitution kannst du das in eine gewöhnliche quadratische Gleichung verwandeln. Dafür ersetzt du x² mit einem neuen Buchstaben z. — also x² = z. Weil du x⁴ auch als (x²)² schreiben kannst, gilt dann x⁴ = z².

x⁴ − 6x² + 5 → z² − 6z + 5

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung, die du wie gewohnt mit der Mitternachtsformel lösen kannst:

z² − 6z + 5 = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = -6; c = 5

Diskriminante:
D = b² – 4ac =
(-6)² − 4 · 1 · 5 =
36 – 20 = 16 > 0 → zwei Lösungen

Mitternachtsformel:
$z_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$z_1 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$z_2 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Doch damit bist du noch nicht fertig! Jetzt folgt die Rücksubstitution. Das heißt, du setzt für z wieder x² ein.

z₁ = x² = 5 → x = $\pm\sqrt{5}$ , also x₁ = $\sqrt{5}$ und x₂ = $-\sqrt{5}$

z₂ = x² = 1 → x = $\pm\sqrt{1}$ , also x₃ = 1 und x₄ = −1

Die Gleichung hat insgesamt vier Lösungen: $x_1 = \sqrt{5}$ , $x_2 = -\sqrt{5}$ , x₃ = 1 und x₄ = −1.

Jeder z-Wert liefert dabei zwei x-Werte, weil durch das Quadrieren sowohl positive als auch negative Zahlen zum selben Ergebnis führen.

Wichtig: Wäre ein z-Wert negativ, gäbe es für diesen Wert keine reelle Lösung.

Quadratische Gleichungen verstehen

Die Mitternachtsformel gehört zu den quadratischen Gleichungen und ist ein wichtiges Werkzeug in der Algebra. Du ordnest in diesem Themenfeld Terme, bringst Gleichungen auf die richtige Form und vergleichst verschiedene Lösungswege. So erkennst du, wann eine Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat und wie Nullstellen mit passenden Methoden gefunden werden. Im Mathematikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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