Was sind die 3 binomischen Formeln und warum braucht man die überhaupt in Mathe?

Die 3 binomischen Formeln nutzt du, um Terme mit Quadrat-Klammern schnell umzuschreiben: , und . Damit sparst du Rechenschritte beim Ausmultiplizieren und beim Faktorisieren.

Woran erkenne ich in einer Aufgabe, ob ich die 1., 2. oder 3. binomische Formel nehmen muss?

Welche binomische Formel passt, erkennst du am Muster. Steht eine Klammer mit Plus und dann hoch 2 da, nimmst du . Steht eine Klammer mit Minus und dann hoch 2 da, nimmst du . Stehen zwei Klammern als Produkt da, nimmst du .

Wie rechne ich eine Klammer wie (2x plus 5) hoch 2 mit der 1. binomischen Formel aus, ohne alles auszumultiplizieren?

rechnest du mit der 1. binomischen Formel, indem du und setzt. Dann gilt . Deshalb quadrierst du die beiden Teile und addierst das doppelte Produkt. Das ergibt .

Warum muss ich bei Ausdrücken wie (2x) hoch 2 Klammern setzen, und was geht schief, wenn ich sie weglasse?

Klammern zeigen, dass sich der Exponent auf den ganzen Ausdruck bezieht. bedeutet . Ohne Klammern wäre etwas anderes, nämlich . Konkret: Bei ist , aber .

Wie wende ich die binomischen Formeln rückwärts an, um so etwas wie x hoch 2 minus 4 zu faktorisieren und einen Bruch zu kürzen?

faktorisierst du rückwärts mit der 3. binomischen Formel als Differenz zweier Quadrate. Zuerst schreibst du als , also . Dann kürzt du , aber nur für .

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Binomische Formeln

Du willst wissen, was die binomischen Formeln sind und wie du sie anwenden kannst? Hier und im Video erklären wir dir die drei binomischen Formeln Schritt für Schritt und zeigen dir einfache Beispiele!

Inhaltsübersicht

Die 3 binomischen Formeln

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(00:11)

Es gibt drei binomischen Formeln:

1. Binomische Formel (Plus-Formel):
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel):
(a + b) • (a – b) = a²– b²

Mit diesen Formeln kannst du Klammern mit hoch 2 schnell ausmultiplizieren. Statt alles einzeln zu rechnen, bekommst du mit den Formeln direkt das Ergebnis.

Wieso brauchst du die binomischen Formeln?

Die binomischen Formeln helfen dir, lange Rechnungen abzukürzen. Das macht viele Matheaufgaben einfacher.

Ein Beispiel: Du hast die Aufgabe Ohne die Formeln müsstest du alles miteinander mal nehmen, um die Klammer auszurechnen:

(2x – 5)² = (2x – 5) ⋅ (2x – 5) = 2x ⋅ 2x – 2x ⋅ 5 – 5 ⋅ 2x + (-5) ⋅ (-5) = 4x² – 20x + 25.

Das sind viele Schritte und viele Möglichkeiten, sich zu verrechnen.

Mit der zweiten binomischen Formel geht es schneller:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Für a setzt du 2x ein und für b die 5.

(2x – 5)² = (2x)² – 2 ⋅ 2x ⋅ 5 + 5² = 4x² – 20x + 25.

Du kommst so direkt zum Ergebnis, ohne alles einzeln auszurechnen.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

1. binomische Formel

Die 1. binomische Formel brauchst du, wenn du eine Klammer hast, in der ein Pluszeichen + steht.

Beispiel: (2x + 5)² = ?

Mit der Formel löst du die Aufgabe dann in drei Schritten:

(a + b)²= a²+ 2ab + b²

a und b bestimmen:
Als Erstes musst du herausfinden, was in deiner Aufgabe a und was b ist. Alles links vom Pluszeichen in der Klammer ist , alles rechts davon ist .
(2x + 5)²→ a = 2x b = 5
Werte einsetzen:
Dann setzt du a und b in die 1. binomische Formel ein.
(a + b)²= a²+ 2ab + b²(2x + 5)²= (2x)²+ 2 • 2x • 5 + 5²
Ergebnis ausrechnen:
Jetzt rechnest du alles aus.
(2x + 5)²= (2x)²+ 2 • (2x) • 5 + 5²= 4x² + 20x + 25

Wichtig!

Wenn du die Werte in a² und b² einsetzt, musst du alles hoch 2 muss. Deshalb benutze am besten Klammern, damit du nichts vergisst. In unserem Beispiel ist

a²= (2x)²

2. binomische Formel

Die 2. binomische Formel brauchst du, wenn du eine Klammer hast, in der ein Minuszeichen – steht.

Beispiel: (3 – 4y)² = ?

Dann kannst du die Formel in drei Schritten anwenden:

(a – b)²= a²– 2ab + b²

a und b bestimmen:
Alles links von dem Minuszeichen ist a und alles rechts ist b.
(3 – 4y)²→ a = 3 b = 4y
Werte einsetzen:
Setzte a und b in die 2. Binomische Formel ein.
(a – b)²= a²– 2ab + b²(3 – 4y)²= 3²– 2 • 3 • 4y + (4y)²

Achtung: Achte darauf, dass du bei der zweiten binomischen Formel ein Minuszeichen hast und kein Plus: a² – 2ab + b².
Ergebnis ausrechnen:
(3 – 4y)²= 3²– 2 • 3 • 4y + (4y)²= 9 – 24y + 16y²

3. binomische Formel

Die 3. binomische Formel benutzt du, wenn du zwei Klammern mal rechnen sollst. Wichtig: Dabei unterscheiden sich die Klammern nur durch das Rechenzeichen in der Mitte: Eine hat ein Pluszeichen +, die andere ein Minuszeichen –.

Beispiel: (4x + 3)• (4x – 3) = ?

Dann kannst du das Ergebnis in drei Schritten ausrechnen:

(a + b) • (a – b) = a² – b²

a und b bestimmen:
Alles links von den Plus und Minus ist a, alles rechts davon ist b.
(4x + 3) • (4x – 3) → a = 4x b = 3
Werte einsetzen:
(a + b) • (a – b) = a² – b²
(4x + 3) • (4x – 3)= (4x)² – 3²
Ergebnis ausrechnen:
(4x + 3) • (4x – 3)= (4x)² – 3² = 16x² – 9

Binomische Formeln – Aufgaben

Damit du das Anwenden und Erkennen der binomischen Formeln direkt üben kannst, haben wir hier Aufgaben zu allen drei Formeln für dich.

Löse die Aufgabe mit der ersten binomischen Formel:

(10 + 2z)²

Lösung:
Egal welche Buchstaben oder Zahlen in der Aufgabe stehen — du kannst genauso vorgehen wie grade, auch wenn hier jetzt ein z anstatt dem x steht. Es ist a = 10 und b = 2z. Das setzt du in die erste binomische Formel (a + b)²= a²+ 2ab + b²ein und rechnest alles aus.

(10 + 2z)²= 10²+ 2 • 10 • 2z + (2z)²= 100 + 40z + 4z²
Löse die Aufgabe mit der zweiten binomischen Formel:

(x – 3)²

Lösung:
Hier ist a = x und b = 3. Das setzt du in die zweite binomische Formel (a – b)²= a²– 2ab + b² ein und rechnest alles aus. Achte auf das Minuszeichen im Ergebnis der Formel.

(x – 3)²= x²– 2 • x • 3 + 3²= x² – 6x + 9
Löse die Aufgabe mit der dritten binomischen Formel:

(3z + 6) • (3z – 6)

Lösung:
Es ist a = 3z und b = 6. Das setzt du in die dritte binomische Formel ein. Denk daran beim Quadrieren von a= 3z die Klammern zu setzen, um den ganzen Ausdruck hoch 2 zu nehmen.

(3z + 6) • (3z – 6) = (3z)² – 6²= 9z² – 36
Entscheide, welche binomische Formel du brauchst und berechne dann:

(6 – y)² =
(5 +z) • (5 – z) =
(5x + 3)² =

Lösung:
(6 – y)² = 6² – 2 • 6 • y + y² = 36 – 12y + y² (2. binomische Formel)
(5 +z) • (5 – z) = 5² – z² = 25 – z² (3. binomische Formel)
(5x + 3)² = (5x)² + 2 • 5x • 3 + 3² = 25x + 30x + 9 (1. binomische Formel)

Binomische Formeln — Hohe Quadratzahlen berechnen

Die binomischen Formeln helfen dir nicht nur bei Klammeraufgaben. Du kannst damit auch hohe Quadratzahlen und schwere Multiplikationen einfacher lösen — besonders ohne Taschenrechner. Hier sind drei Beispielaufgaben, die dir begegnen können:

Beispiel 1:

Berechne 405² mit den binomischen Formeln.

Hier gibt es keine Klammer für die binomischen Formeln. Deshalb musst du die Zahl zuerst umschreiben. 405 kannst du als 400 + 5 schreiben. Dann wird daraus:

405² = (400 + 5)²

Jetzt nutzt du die erste binomische Formel:

(400 + 5)²= 400² + 2 • 400 • 5 + 5²= 160000 + 4000+ 25 = 164025

Beispiel 2:

Berechne 98²mit den binomischen Formeln.

Zuerst schreibst du die Aufgabe wieder mit einer Klammer. Die 98 kannst du auch als 100 – 2 schreiben:

98² = (100 – 2)²

Nun kannst du die zweite binomische Formel benutzen.

(100 – 2)² = 100² – 2 • 100 • 2 + 2²= 10000 – 400 + 4 = 9604

Beispiel 3:

Berechne 105 • 95 mit den binomischen Formeln.

Die beiden Zahlen liegen gleich weit von 100 entfernt: Eine ist 5 größer, die andere 5 kleiner. Du kannst die Aufgabe also so umschreiben:

105 • 95 = (100 + 5) • (100 – 5)

Das kannst du dann mit der dritten binomischen Formel ausrechnen.

(100 + 5) • (100 – 5) = 100²– 5² = 10000 – 25 = 9975

Binomische Formeln — ausklammern

Die binomischen Formeln sind nicht nur zum Auflösen von Klammern da — du kannst sie rückwärts anwenden, um auszuklammern .

Beispiel: x²– 4

Binomische Formeln erkennen: Schreibe die 4 als 2². Damit ist x²– 4 = x² – 2² das Ergebnis der dritten binomischen Formel (a + b) • (a – b) = a² – b².
a und b bestimmen: a = x und b = 2
Werte einsetzen: (x + 2) • (x – 2) = x² -2²

Das ist besonders hilfreich, wenn du einen Bruch vereinfachen willst. Zum Beispiel:

$\frac{x^2-4}{x-2}$

Schreibe den Zähler mit der dritten binomischen Formel um:
$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}$
Kürze den Bruch:
$\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}=x + 2$

Binomische Formeln — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sind die 3 binomischen Formeln und warum braucht man die überhaupt in Mathe?

Die 3 binomischen Formeln nutzt du, um Terme mit Quadrat-Klammern schnell umzuschreiben: , und . Damit sparst du Rechenschritte beim Ausmultiplizieren und beim Faktorisieren.
Woran erkenne ich in einer Aufgabe, ob ich die 1., 2. oder 3. binomische Formel nehmen muss?

Welche binomische Formel passt, erkennst du am Muster. Steht eine Klammer mit Plus und dann hoch 2 da, nimmst du . Steht eine Klammer mit Minus und dann hoch 2 da, nimmst du . Stehen zwei Klammern als Produkt da, nimmst du .
Wie rechne ich eine Klammer wie (2x plus 5) hoch 2 mit der 1. binomischen Formel aus, ohne alles auszumultiplizieren?

rechnest du mit der 1. binomischen Formel, indem du und setzt. Dann gilt $(2x+5)^2=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot 5+5^2$ . Deshalb quadrierst du die beiden Teile und addierst das doppelte Produkt. Das ergibt .
Warum muss ich bei Ausdrücken wie (2x) hoch 2 Klammern setzen, und was geht schief, wenn ich sie weglasse?

Klammern zeigen, dass sich der Exponent auf den ganzen Ausdruck bezieht. bedeutet $(2x)\cdot(2x)=4x^2$ . Ohne Klammern wäre etwas anderes, nämlich $2\cdot x^2$ . Konkret: Bei ist , aber .
Wie wende ich die binomischen Formeln rückwärts an, um so etwas wie x hoch 2 minus 4 zu faktorisieren und einen Bruch zu kürzen?

faktorisierst du rückwärts mit der 3. binomischen Formel als Differenz zweier Quadrate. Zuerst schreibst du als , also . Dann kürzt du $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$ , aber nur für $x\neq 2$ .