Binomische Formeln
Du willst wissen, was die binomischen Formeln sind und wie du sie anwenden kannst? Hier erklären wir dir die drei binomischen Formeln Schritt für Schritt und zeigen dir einfache Beispiele!
Inhaltsübersicht
Die 3 binomischen Formeln
Es gibt drei binomischen Formeln:
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1. Binomische Formel (Plus-Formel):
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 -
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 -
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel):
(a + b) • (a – b) = a2 – b2
Mit diesen Formeln kannst du Klammern mit hoch 2 schnell ausmultiplizieren. Statt alles einzeln zu rechnen, bekommst du mit den Formeln direkt das Ergebnis.
Wieso brauchst du die binomischen Formeln?
Die binomischen Formeln helfen dir, lange Rechnungen abzukürzen. Das macht viele Matheaufgaben einfacher.
Ein Beispiel: Du hast die Aufgabe (2x − 5)2. Ohne die Formeln müsstest du alles miteinander mal nehmen, um die Klammer auszurechnen:
(2x – 5)2 = (2x – 5) ⋅ (2x – 5) = 2x ⋅ 2x – 2x ⋅ 5 – 5 ⋅ 2x + (-5) ⋅ (-5) = 4x² – 20x + 25.
Das sind viele Schritte und viele Möglichkeiten, sich zu verrechnen.
Mit der zweiten binomischen Formel geht es schneller:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Für a setzt du 2x ein und für b die 5.
(2x – 5)² = (2x)² – 2 ⋅ 2x ⋅ 5 + 5² = 4x² – 20x + 25.
Du kommst so direkt zum Ergebnis, ohne alles einzeln auszurechnen.
1. binomische Formel
Die 1. binomische Formel brauchst du, wenn du eine Klammer hast, in der ein Pluszeichen + steht.
Beispiel: (2x + 5)2 = ?
Mit der Formel löst du die Aufgabe dann in drei Schritten:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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a und b bestimmen:
Als Erstes musst du herausfinden, was in deiner Aufgabe a und was b ist. Alles links vom Pluszeichen in der Klammer ist a, alles rechts davon ist b.
(2x + 5)2 → a = 2x b = 5
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Werte einsetzen:
Dann setzt du a und b in die 1. binomische Formel ein.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 • 2x • 5 + 52
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Ergebnis ausrechnen:
Jetzt rechnest du alles aus.
(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 • (2x) • 5 + 52 = 4x2 + 20x + 2
Wenn du die Werte in a2 und b2 einsetzt, musst du alles hoch 2 muss. Deshalb benutze am besten Klammern, damit du nichts vergisst. In unserem Beispiel ist a = 2x:
a2 = (2x)2
2. binomische Formel
Die 2. binomische Formel brauchst du, wenn du eine Klammer hast, in der ein Minuszeichen – steht.
Beispiel: (3 – 4y)2 = ?
Dann kannst du die Formel in drei Schritten anwenden:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
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a und b bestimmen:
Alles links von dem Minuszeichen ist a und alles rechts ist b.
(3 – 4y)2 → a = 3 b = 4y
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Werte einsetzten:
Setzte a und b in die 2. Binomische Formel ein.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(3 – 4y)2 = 32 – 2 • 3 • 4y + (4y)2
Achtung: Achte darauf, dass du bei der zweiten binomischen Formel ein Minuszeichen hast und kein Plus: a2 – 2ab + b2.
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Ergebnis ausrechnen:
(3 – 4y)2 = 32 – 2 • 3 • 4y + (4y)2 = 9 – 24y + 16y2
3. binomische Formel
Die 3. binomische Formel benutzt du, wenn du zwei Klammern mal rechnen sollst. Wichtig: Dabei unterscheiden sich die Klammern nur durch das Rechenzeichen in der Mitte: Eine hat ein Pluszeichen +, die andere ein Minuszeichen –.
Beispiel: (4x + 3) • (4x – 3) = ?
Dann kannst du das Ergebnis in drei Schritten ausrechnen:
(a + b) • (a – b) = a2 – b2
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a und b bestimmen:
Alles links von den Plus und Minus ist a, alles rechts davon ist b.
(4x + 3) • (4x – 3) → a = 4x b = 3
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Werte einsetzten:
(a + b) • (a – b) = a2 – b2
(4x + 3) • (4x – 3) = (4x)2 – 32
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Ergebnis ausrechnen:
(4x + 3) • (4x – 3) = (4x)2 – 32 = 16x2 – 9
Binomische Formeln – Aufgaben
Damit du das Anwenden und Erkennen der binomischen Formeln direkt üben kannst, haben wir hier Aufgaben zu allen drei Formeln für dich.
- Löse die Aufgabe mit der ersten binomischen Formel:
(10 + 2z)2
Lösung:
Egal welche Buchstaben oder Zahlen in der Aufgabe stehen — du kannst genauso vorgehen wie grade, auch wenn hier jetzt ein z anstatt dem x steht. Es ist a = 10 und b = 2z. Das setzt du in die erste binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ein und rechnest alles aus.
(10 + 2z)2 = 102 + 2 • 10 • 2z + (2z)2 = 100 + 40z + 4z2
- Löse die Aufgabe mit der zweiten binomischen Formel:
(x – 3)2
Lösung:
Hier ist a = x und b = 3. Das setzt du in die zweite binomische Formel (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ein und rechnest alles aus. Achte auf das Minuszeichen im Ergebnis der Formel.
(x – 3)2 = x2 – 2 • x • 3 + 32 = x2 – 6x + 9
- Löse die Aufgabe mit der dritten binomischen Formel:
(3z + 6) • (3z – 6)
Lösung:
Es ist a = 3z und b = 6. Das setzt du in die dritte binomische Formel ein. Denk daran beim Quadrieren von a= 3z die Klammern zu setzen, um den ganzen Ausdruck hoch 2 zu nehmen.
(3z + 6) • (3z – 6) = (2z)2 – 62 = 4z2 – 36
- Entscheide, welche binomische Formel du brauchst und berechne dann:
(6 – y)2 =
(5 +z) • (5 – z) =
(5x + 3)2 =
Lösung:
(6 – y)2 = 62 – 2 • 6 • y + y2 = 36 – 12y + y2 (2. binomische Formel)
(5 +z) • (5 – z) = 52 – z2 = 25 – z2 (3. binomische Formel)
(5x + 3)2 = (5x)2 + 2 • 5x • 3 + 32 = 25x + 30x + 9 (1. binomische Formel)
Binomische Formeln — Hohe Quadratzahlen berechnen
Die binomischen Formeln helfen dir nicht nur bei Klammeraufgaben. Du kannst damit auch hohe Quadratzahlen und schwere Multiplikationen einfacher lösen — besonders ohne Taschenrechner. Hier sind drei Beispielaufgaben, die dir begegnen können:
Beispiel 1:
Berechne 4052 mit den binomischen Formeln.
Hier gibt es keine Klammer für die binomischen Formeln. Deshalb musst du die Zahl zuerst umschreiben. 405 kannst du als 400 + 5 schreiben. Dann wird daraus:
4052 = (400 + 5)2
Jetzt nutzt du die erste binomische Formel:
(400 + 5)2 = 4002 + 2 • 400 • 5 + 52 = 160000 + 4000+ 25 = 164025
Beispiel 2:
Berechne 982 mit den binomischen Formeln.
Zuerst schreibst du die Aufgabe wieder mit einer Klammer. Die 98 kannst du auch als 100 – 2 schreiben:
982 = (100 – 2)2
Nun kannst du die zweite binomische Formel benutzen.
(100 – 2)2 = 1002 – 2 • 100 • 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Beispiel 3:
Berechne 105 • 95 mit den binomischen Formeln.
Die beiden Zahlen liegen gleich weit von 100 entfernt: Eine ist 5 größer, die andere 5 kleiner. Du kannst die Aufgabe also so umschreiben:
105 • 95 = (100 + 5) • (100 – 5)
Das kannst du dann mit der dritten binomischen Formel ausrechnen.
(100 + 5) • (100 – 5) = 1002 – 52 = 10000 – 25 = 9975
Binomische Formeln — ausklammern
Die binomischen Formeln sind nicht nur zum Auflösen von Klammern da — du kannst sie rückwärts anwenden, um auszuklammern .
Beispiel: x2 – 4
- Binomische Formeln erkennen: Schreibe die 4 als 22. Damit ist x2 – 4 = x2 – 22 das Ergebnis der dritten binomischen Formel (a + b) • (a – b) = a2 – b2.
- a und b bestimmen: a = x und b = 2
- Werte einsetzen: (x + 2) • (x – 2) = x2 -22
Das ist besonders hilfreich, wenn du einen Bruch vereinfachen willst. Zum Beispiel:
![\[\frac{x^2-4}{x-2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47d9355be5937bb00ca0b7db21053c64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Schreibe den Zähler mit der dritten binomischen Formel um:
![\[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9772046470fe4d98097c04adfc40f25d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Kürze den Bruch:
![\[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}=x + 2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a997656042686a13300334541b848ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Binomische Formeln — häufigste Fragen
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Wie lauten die drei binomischen Formeln? Die drei binomischen Formeln (BF) lauten:
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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
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(a + b) • (a – b) = a2 – b2
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Wann benutze ich welche binomische Formel? Die erste binomische Formel benutzt du, wenn in der Klammer ein + steht. Die zweite binomische Formel brauchst du, wenn in der Klammer ein + steht. Die dritte binomische Formel benutzt du, wenn du eine Klammer mit einem + und eine mit einem – hast. -
Wofür sind die binomischen Formeln gut? Mit den binomischen Formeln kannst du Klammern mit einem Quadrat schnell ausrechnen, ohne alles einzeln auszumultiplizieren.
Binomische Formeln Aufgaben
Möchtest du die binomischen Formeln üben? In unserem Video findest du noch mehr Übungen mit Lösungen. Probiere es aus und werde fit in Mathe!