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Nullstellen berechnen einfach erklärt

Die Nullstelle x0 einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet.

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Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen einer Funktion f zu berechnen, suchst du die x-Werte, für die f(x) = 0 wird.

Dafür setzt du die Funktion gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf. 
Im Beispiel formst du also 2x – 3 = 0 nach x um.%FS -- ist trotz Beispiel nur 3 Wörter länger als das aktuelle%nice, vorallem weil es bei dir einfach erklärt ist

Lineare Funktion Nullstelle berechnen

Lineare Funktion
  • Allgemeine Form: f(x) = m · x + t
  • höchstens eine Nullstelle

Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 3. Dazu setzt du die Funktion gleich 0.

2x – 3 = 0

Jetzt kannst du die Gleichung nach x umstellen . Zuerst bringst du die 3 auf die andere Seite.

2x – 3 = 0          | + 3

2x = 3

Um das x auszurechnen, teilst du durch 2.

2x = 3                 | : 2

x = 1,5

Die Nullstelle liegt bei x = 1,5.

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Lineare Funktion, Nullstelle

Übrigens — Nullstellen ablesen: Du kannst auch im Koordinatensystem die Nullstellen ablesen. Bei einer linearen Funktion zeichnest du dazu die Gerade. Dann suchst du den Punkt, an dem sie die x-Achse schneidet. Der x-Wert davon ist deine Nullstelle.%FS Nullstellen ablesen

Quadratische Funktion Nullstellen

Quadratische Funktion
  • Allgemeine Form: f(x) = ax2 + bx + c 
  • Allgemein Form ohne a:  f(x) = x2 + px + q
  • zwei, eine oder keine Nullstellen

Schau dir zunächst den Fall an, dass keine Zahl vor dem x2 steht (kein a): Du sollst von der Funktion f(x) = x2 + 4x – 5 die Nullstelle berechnen. Setzt du eine quadratische Funktion gleich 0, kannst du entweder die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. 

x2 + 4x – 5 = 0

Nullstelle berechnen mit Mitternachtsformel 

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm 6}{2}

x1 = 1            x2 = -5

Die Formel zum Nullstellen berechnen ergibt: Nullstelle bei x1 = 1 und x2 = -5.

Nullstelle berechnen mit pq-Formel

Steht vor dem x2 keine Zahl, kannst du zum Bestimmen der Nullstelle auch die pq-Formel verwenden:

x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}

x_{1,2} = -\cfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right) ^2+5}

x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4+5}

x_{1,2} = -2 \pm 3

Du kannst die beiden Nullstellen angeben: x = 1 und x = -5

Steht eine Zahl vor dem x2, zum Beispiel 2x2 + 4x – 5, dann kannst du nur die Mitternachtsformel und nicht die pq-Formel verwenden!

Faktorisierte Form

Am leichtesten kannst du bei quadratischen Funktionen die Nullstelle bestimmen, wenn du die Funktion in faktorisierter Form  gegeben hast: f(x) = a (x – x1)(x – x2)

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Die Parabel hat somit die beiden Nullstellen x1 und x2.

Hier könntest du deine Funktion so umschreiben: f(x) = x2 + 4x – 5 = (x – 1)(x – (-5))

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Quadratische Funktion, Nullstellen

Ganzrationale Funktion / Funktion 3. Grades — Nullstellen berechnen

Funktion 3. Grades (auch: kubische Funktion)
  • Allgemeine Form: f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
  • höchstens drei Nullstellen

Schau dir das am Beispiel f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 an. Wie berechnet man die Nullstelle?%KW Für die Nullstellenberechnung gehst du in drei Schritten vor:

  • Schritt 1: Errate eine Nullstelle durch Ausprobieren. Setze dafür zum Beispiel 1, 2, 0, -1 oder -2 in die Funktion ein und schau, wann 0 herauskommt. Hier ist

f(1) = 13 – 2 • 121 + 2 = 0

  • Schritt 2: Mache eine Polynomdivision. Dabei teilst du deine Funktion durch (x – Nullstelle aus Schritt 1), hier also durch (x – 1). Wie das genau funktioniert, erfährst du in unserem Video ! Du erhältst:

(x3 – 2x2 – x + 2) : (x – 1) = x2 – x – 2

  • Schritt 3: Berechne die Nullstellen des Ergebnisses x2 – x – 2 mit der Mitternachtsformel:

        \[x_{2,3} = \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\]

    Du erhältst x2 = -1 und x3 = 2.

Jetzt kannst du die drei Nullstellen angeben: x1 = 1, x2 = -1 und x3 = 2.

Merke: Auch bei Funktionen mit noch größeren Hochzahlen als 3, zum Beispiel f(x) = x4 – 2x3 – x + 2, musst du zunächst eine Nullstelle erraten und die Polynomdivision machen. Dann errätst du vom Ergebnis der Polynomdivision wieder eine Nullstelle und machst noch eine Polynomdivision. Das wiederholst du so lange, bist du nur noch eine quadratische Funktion als Ergebnis bekommst.

e- Funktion Nullstelle berechnen

e- Funktion
  • Allgemeine Form: f(x) = ex
  • f(x) = ex hat keine Nullstelle, aber andere e-Funktionen können Nullstellen haben.

Berechne zum Beispiel die Nullstelle der e-Funktion f(x) = ex-1 – 2. Setze die Funktion dafür gleich 0.

ex-1 – 2 = 0

Isoliere ex-1 und löse mithilfe des natürlichen Logarithmus auf.

ex-1 – 2 = 0           | + 2

ex-1 = 2                  | ln(…)

x – 1 = ln(2)            | + 1

x = ln(2) +1

Nullstelle bei x = ln(2) + 1.

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e-Funktion, Nullstelle

Weitere Funktionen Nullstellen berechnen

Wie berechnet man Nullstellen?%KW Bei einigen Funktionen, zum Beispiel bei gebrochen-rationalen Funktionen oder beim Logarithmus , gibt es keine allgemeine Formel zum Nullstellen berechnen.

Zwei Schritte kannst du dir zum Nullstelle berechnen aber immer merken. Schau sie dir am Beispiel f(x) = \frac{4}{2+x} - 2 an.

  • Schritt 1: Setze die Funktion gleich 0:

        \[\frac{4}{2+x} - 2 \textcolor{blue}{ = 0}\]

  • Schritt 2: Forme nach x um.

        \begin{align*} \frac{4}{2+x} - 2 &\textcolor{blue}{ = 0} && |+2 \\ \frac{4}{2+x} &= 2 && |\cdot (2+x) \\ 4 &= 4 + 2x &&|-4 \\ 0 &= 2x &&|:2 \\ x &= 0 \end{align*}

Die Nullstelle liegt also bei x = 0

Nullstelle berechnen Übersicht

Hier siehst du nochmal alle Möglichkeiten zur Nullstellenberechnung im Überblick:

Art der Funktion Nullstellenberechnung Beispiel
Lineare Funktion Funktion gleich null setzen; nach x auflösen f(x) = 2x – 3
Quadratische Funktion Mitternachtsformel / pq-Formel f(x) = x2 + 4x – 5
e -Funktion natürlicher Logarithmus  f(x) = ex-1 – 2
Ganzrationale Funktion Polynomdivision f(x) = x3 + 3x2 – 4

Nullstellen berechnen Aufgaben

Teste gleich selbst, wie fit du im Nullstelle bestimmen bist! Schau dir dazu ein paar Übungen mit Lösungen zum Nullstellen berechnen an.

  • Aufgabe 1 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstelle von f(x) = 0,5x + 4.
  • Aufgabe 2 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstellen von f(x) = x2 – 2x -3.
  • Aufgabe 3 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstellen von g(x) = x3 + 3x2 – 6x – 8.

Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zum Nullstellen berechnen!

Lösung Aufgabe 1 Nullstellenberechnung

Um die Nullstelle zu bestimmen, setzt du die lineare Funktion gleich 0 und löst nach x auf:

0,5x + 4 = 0    | – 4

0,5x = -4    | : 0,5

x = – 8

Lösung Aufgabe 2 Nullstellenberechnung

Du verwendest zum Nullstellen bestimmen die Mitternachtsformel oder die pq-Formel.

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}

x_{1,2} = \cfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2}

x_{1,2} = \cfrac{2 \pm 4}{2}

x1 = 3            x2 = -1

Lösung Aufgabe 3 Nullstellenberechnung

Zum Nullstellen bestimmen errätst du eine Nullstelle, zum Beispiel x1 = -1. Dann machst du eine Polynomdivision.

(x3 + 3x2 – 6x – 8) : (x + 1) = x2 + 2x – 8

Auf das Ergebnis x2 + 2x – 8 wendest du die Mitternachtsformel an. Du erhältst als Lösungen x2 = -4 und x3 = 2.

Polynomdivision

Für die Nullstellenberechnung einer kubischen Funktion  kannst du die Polynomdivision verwenden. Viele Übungen dazu findest du in unserem Video dazu.

Polynomdivision, Polynom, Polynome berechnen
Zum Video: Polynomdivision

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