Ähnlichkeit
Quadrate und Rechtecke sehen fast gleich aus, aber sind sie deshalb ähnlich? Alles zur Ähnlichkeit geometrischer Formen erfährst du hier und im Video .
Inhaltsübersicht
Ähnlichkeit einfach erklärt
Es gibt viele geometrische Figuren, die ähnlich aussehen. Damit aber Ähnlichkeit im mathematischen Sinn vorliegt, müssen die Formen von zwei Figuren jedoch genau übereinstimmen. Dabei müssen sie nicht genau gleich aussehen. Eine Figur zählt immer noch als ähnlich, wenn sie vergrößert, verkleinert, gedreht oder verschoben wurde.
Das heißt, zwei Figuren sind zueinander ähnlich, wenn die Streckenverhältnisse und Winkel gleich sind. Solange das der Fall ist, kann die Größe beliebig verändert werden. Sie sind dann um den Ähnlichkeitsfaktor k vergrößert oder verkleinert.
Ähnlichkeitsarten
Eine Figur kann auf verschiedene Arten verändert werden, ohne dass die daraus entstehende Figur ihre Ähnlichkeit verliert. Sehen wir uns die einzelnen Möglichkeiten an:
Zentrische Streckung
Wenn du eine Figur vergrößerst oder verkleinerst, bezeichnest du das als zentrische Streckung. Das gilt allerdings nur, wenn dabei die Streckenverhältnisse und Winkel der Figur gleich bleiben.
Das Ausmaß der Größenänderung beschreibst du mit dem Ähnlichkeitsfaktor k. Wenn die entstandene Figur doppelt so lange Seiten hat, ist der Ähnlichkeitsfaktor k=2. Wenn sie halb so lang sind, ist k= 0,5.
Verschiebung
Bei der Verschiebung wird eine Figur in eine beliebige Richtung bewegt. Damit die daraus entstehende Figur ähnlich ist, müssen die Winkel und die Verhältnisse der Strecken gleich bleiben.
Wichtig: Damit die zweite Figur ähnlich zur ersten ist, muss bei der Verschiebung jeder Punkt gleich weit in dieselbe Richtung verschoben werden.
Spiegelung
Bei der Spiegelung wird jeder Punkt einzeln gespiegelt. Dabei müssen die entsprechenden Eckpunkte gleich weit von der Spiegelachse entfernt sein, um ihr Verhältnis beizubehalten.
Gut zu wissen: Eine Figur kann auf mehrere Arten aus einer anderen Figur entstehen und trotzdem ähnlich zu ihr sein. Wenn Figur A erst verkleinert und dann verschoben und gedreht wird, ist die daraus resultierende Figur B ähnlich zu A.
Ähnlichkeit berechnen
Ähnliche Figuren haben dieselben Winkel und Seitenverhältnisse, können aber unterschiedliche Seitenlängen haben. Um herauszufinden, ob zwei Figuren ähnlich sind, musst du also überprüfen, ob die Winkel und Seitenverhältnisse übereinstimmen.
- Alle Winkel sind gleich: α=α‘, β=β‘, γ=γ‘, …
- Alle Seitenverhältnisse sind gleich:
…
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an:
A und B sind ähnlich zueinander, da die Winkel gleich sind und die Seitenverhältnisse eingehalten wurden.
A und C sind nicht ähnlich zueinander, da nicht alle Winkel gleich sind: α=70° und α“= 60°, β= 40 und β“= 50°.
Gut zu wissen: Für Dreiecke gelten Ähnlichkeitssätze. Demnach sind zwei Dreiecke unter anderem dann ähnlich zueinander, wenn sie zwei gleiche Winkel haben.
Ähnlichkeitsfaktor berechnen
Zwei Figuren können unterschiedlich groß und trotzdem ähnlich sein, wenn sie durch zentrische Streckung auseinander hervorgegangen sind. Den Ähnlichkeitsfaktor k, der das Größenverhältnis angibt, kannst du anhand der Seitenverhältnisse berechnen. Da sich alle Seiten dasselbe Verhältnis teilen, musst du nur zwei entsprechende Seiten miteinander vergleichen.
In einem Beispiel sieht das dann so aus:
Es sind zwei ähnliche Figuren gegeben. Um den Ähnlichkeitsfaktor zu bestimmen, vergleichst du einfach das Verhältnis von zwei zusammengehörigen Seiten der beiden Figuren (a und a‘). Dafür teilst du die Länge der einen Seite durch die der anderen.
Seitenlängen berechnen
Es kann in einer Aufgabe auch vorkommen, dass du eine Figur gegeben hast und mithilfe des Ähnlichkeitsfaktors eine ähnliche Figur konstruieren sollst. Dazu multiplizierst du die Seitenlängen der Ursprungsfigur jeweils mit dem Ähnlichkeitsfaktor.
Schauen wir uns das mal in einem Beispiel an:
- gegebener Ähnlichkeitsfaktor k= 1,5
- gegebene Seitenlänge a = 3,8
- a’= a
k = 3,8 1,5 = 5,7
- gegebene Seitenlänge b = 2,6
- b’= b k = 2,6 1,5 = 3,9
- gegebene Seitenlänge c = 3,3
- c’= c k = 3,3 1,5 = 4,95
Kongruenz
Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit. Dabei haben die beiden Figuren nicht nur dieselbe Form, sondern sind auch genau gleich groß. Das bedeutet, Figur A und Figur B sind dieselbe Figur, gehen jedoch durch Kongruenzabbildung ineinander über. Dazu zählen:
- Verschiebung
- Drehung
- Spiegelung
Wichtig: Alle kongruenten Figuren sind ähnlich, aber nicht alle ähnlichen Figuren sind zueinander kongruent.
Kongruenzsätze
Jeden Winkel und jede Seite einzeln zu vergleichen, kann viel Zeit kosten. Die Kongruenzsätze können dir dabei helfen, die Kongruenz von zwei Figuren einfach zu prüfen. Wie das funktioniert, zeigen wir dir hier.
