Geometrie

Strahlensätze

In diesem Beitrag erklären wir die Strahlensätze und gehen zum Thema Strahlensatz einige Aufgaben gemeinsam durch. %</span>Du möchtest dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Was sind Strahlensätze?

Die beiden Strahlensätze sagen etwas über die Verhältnisse von Strecken aus. Du benutzt sie, um unbekannte Strecken zu berechnen. Ihren Namen haben die Strahlensätze von der Ausgangssituation. Um diese Sätze anwenden zu können, brauchst du nämlich zwei Strahlen und zwei parallele Strecken dazwischen. 

Strahlensatz, Strahlensätze
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Strahlensätze Voraussetzung

Wenn diese Voraussetzung gegeben ist, kannst du zwei Verhältnisgleichungen aufstellen.

1. Strahlensatz:    \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}

2. Strahlensatz:    \frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA'}}

Diese Strahlensätze können dir oft helfen, bestimmte Strecken zu bestimmen, wie zum Beispiel die Höhe eines Turms oder die Breite eines Flusses. Schauen wir uns nun die zwei Strahlensätze genauer an!

1. Strahlensatz

Betrachte die zwei Strahlen, die sich im Punkt Z kreuzen. Der erste Strahlensatz beschreibt das Verhältnis zwischen den kurzen und langen Streckenabschnitten auf den zwei Strahlen. 

1. Strahlensatz, Strahlensatz, Strahlensätze
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1. Strahlensatz

Für die Streckenverhältnisse gilt dann

\frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}         (1. Strahlensatz).

Auf der linken Seite werden also die Teilabschnitte des unteren Strahls ins Verhältnis gesetzt und auf der rechten Seite der Gleichung die Teilabschnitte des oberen Strahls. Je nachdem, welche Strecken gegeben sind und welche Strecke gesucht ist, kannst du die Gleichung wie gewohnt umformen. Schauen wir es uns an!

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Beispiel 1. Strahlensatz

Gegeben: \overline{ZA} = 5\text{cm}, \overline{ZB} = 3\text{cm}, \overline{ZB'} = 7\text{cm}

Gesucht: \overline{ZA'}

Die gesuchte Strecke kannst du mit Hilfe der Strahlensätze berechnen.

  • Verhältnisgleichung aufstellen

\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}

  • Nach gesuchter Größe umstellen

\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}} \quad \quad \big\vert \cdot \overline{ZB'}

\overline{ZA'} = \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} \cdot \overline{ZB'}

  • Angaben einsetzen

\overline{ZA'} = \frac{5\text{cm}}{3\text{cm}} \cdot 7\text{cm}

  • Ergebnis berechnen

\overline{ZA'} = \frac{35}{3}\text{cm} \approx 11,7\text{cm}

2. Strahlensatz

Der 2. Strahlensatz setzt die Streckenabschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Streckenabschnitten auf einem Strahl. Dabei können beide Strahlen zum Vergleich herangezogen werden. Manchmal werden die Parallelen auch als Geraden dargestellt, das heißt die Linien enden nicht an den Strahlen, sondern werden darüber hinaus verlängert. Solange die beiden Geraden aber weiterhin parallel sind, ändert sich nichts an dem Strahlensatz. 

Zweiter Strahlensatz, Strahlensatz, 2 strahlensatz
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Zweiter Strahlensatz

 

Mit der bekannten Schreibweise sieht das wie folgt aus.

\frac{\textcolor{red}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZA}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZA'}}}         (2. Strahlensatz)

Es ist auch möglich, den anderen Strahl als Vergleichsmaß zu nutzen.

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZB'}}

Bei verschiedenen Aufgaben wählst du entsprechend den Strahl aus, für den du die Angaben besser nutzen kannst. Wichtig ist nur, dass du dich auf beiden Seiten der Gleichung auf denselben Strahl beziehst. 

Beispiel 2. Strahlensatz

Gegeben: \overline{ZA} = 2\text{cm}, \overline{A'B'} = 4\text{cm}, \overline{ZA'} = 6\text{cm}

Gesucht: \overline{AB}

Die gesuchte Strecke kannst du mit dem zweiten Strahlensatz berechnen.

  • Verhältnisgleichung aufstellen

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA'}}

  • Nach gesuchter Größe umstellen

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA'}} \quad \quad \big\vert \cdot \overline{ZA}

\overline{AB} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA'}} \cdot \overline{ZA}

  • Angaben einsetzen

\overline{AB} = \frac{4\text{cm}}{6\text{cm}} \cdot 2\text{cm}

  • Ergebnis berechnen

\overline{AB} = \frac{4}{3}\text{cm} \approx 1,33 \text{cm}

Strahlensatz Aufgaben

Sehen wir uns gleich noch einige Strahlensatz Aufgaben zum Üben an. Dabei gehst du immer gleich vor:

  • Verhältnisgleichung aufstellen
  • Nach gesuchter Größe umstellen
  • Angaben einsetzen
  • Ergebnis berechnen

Legen wir los!

Strahlensatz Aufgabe 1

Berechne die Länge der Strecke x.

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Strahlensatz Aufgabe 1

Lösung Aufgabe 1

Zuerst musst du überlegen, welchen der Strahlensätze du anwenden kannst. Hier bietet sich der zweite Strahlensatz an.

  • Verhältnisgleichung aufstellen

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{x}{\overline{ZA'}}

  • Nach gesuchter Größe umstellen

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{x}{\overline{ZA'}} \quad \quad \big \vert \cdot \overline{ZA'}

x = \frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} \cdot \overline{ZA'}

  • Angaben einsetzen

Achtung, hier musst du zunächst die gesamte Streckenlänge \overline{ZA'} berechnen.

\overline{ZA'} = 10\text{m} + 5\text{m} = 15\text{m}

Nun kannst du wie gewohnt die Angaben einsetzen. 

x = \frac{4\text{m}}{10\text{m}} \cdot 15\text{m}

  • Ergebnis berechnen

x = 6\text{m}

Die gesuchte Strecke x ist also 6m lang. 

Strahlensatz Aufgabe 2

Bestimme die Streckenlänge x.

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Strahlensatz Aufgabe 2

Lösung Aufgabe 2

Auch hier brauchst du zur Lösung einen der Strahlensätze, diesmal den ersten. Lass dich nicht davon irritieren, dass die beiden parallelen Strecken in diesem Beispiel auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts Z liegen. Die Strahlensätze gelten trotzdem. 

  • Verhältnisgleichung aufstellen

\frac{\overline{ZA}}{\overline{x}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}

  • Nach gesuchter Größe umstellen

Diesmal steht die gesuchte Größe im Nenner. Deshalb notierst du dir lieber ein paar Umformungen mehr.

    \begin{align*} \frac{\overline{ZA}}{\overline{x}} &= \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}} && | \cdot x \\ \overline{ZA} &= \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}} \cdot x && | \cdot \frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZA'}} \\ \overline{ZA} \cdot \frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZA'}} &= x \\ x &= \overline{ZA} \cdot \frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZA'}}  \end{align*}

  • Angaben einsetzen

x = 4,5\text{cm} \cdot \frac{3\text{cm}}{5\text{cm}}

  • Ergebnis berechnen

x = \frac{27}{10}\text{cm} = 2,7 \text{cm}

Strahlensatz Anwendung

Wie wir dir oben schon angekündigt haben, kannst du die Strahlensätze bei einer ganzen Reihe von Anwendungsaufgaben verwenden. Immer, wenn du die Länge von Streckenabschnitten suchst, solltest du deshalb Ausschau nach zwei Strahlen und Parallelen halten. Gehen wir mal zusammen eine Anwendungsaufgabe durch.

Du stehst 18 Meter von einem Turm entfernt und wir nehmen einmal an, dass du 1,70m groß bist. Wie hoch ist der Turm?

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Strahlensatz Aufgabe 3

Auch dieses Problem kannst du mit den Strahlensätzen lösen. Dabei bildest du als Mensch eine Parallele zum Turm, so wie in der Skizze eingezeichnet. Der eine Strahl verläuft auf dem Boden und der andere verbindet deinen Kopf mit der Spitze des Turms. 

Gegeben: \overline{ZA} = 2\text{m}, \overline{AB} = 1,7\text{m}, \overline{AA'} = 18\text{m}

Gesucht: h

  • Verhältnisgleichung aufstellen

Weil du hier eine der parallelen Strecken suchst, brauchst du den zweiten Strahlensatz.

\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} = \frac{h}{\overline{ZA'}}

  • Nach gesuchter Größe umstellen

h = \frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}} \cdot \overline{ZA'}

  • Angaben einsetzen

Auch in diesem Beispiel musst du zunächst die gesamte Streckenlänge \overline{ZA'} berechnen.

\overline{ZA'} = 2\text{m} + 18\text{m} = 20\text{m}

Nun kannst du wieder die Angaben einsetzen. 

h = \frac{1,7\text{m}}{2\text{m}} \cdot 20\text{m}

  • Ergebnis berechnen

h = 17\text{m}

Der Turm ist genau 17 Meter hoch. 

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