Geometrie

Kongruenzsätze

Du möchtest wissen, was die Kongruenzsätze sind und wie du mit ihnen Aufgaben lösen kannst? Dann bist du hier genau richtig! %</span>In unserem Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> erklären wir es dir anschaulich und mit vielen Beispielen. Schau es dir an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Was sind Kongruenzsätze?

Stell dir vor du hast zwei Dreiecke, die nach ein bisschen Drehen und Schieben ganz genau aufeinander passen. In der Mathematik nennt man diese beiden Dreiecke dann kongruent oder deckungsgleich

Die Kongruenzsätze geben dir eine Liste an verschiedenen Bedingungen mit denen du prüfen kannst, ob zwei kongruente Dreiecke vorliegen. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn:

  • SSS: drei Seiten sind gleich.
  • SWS: zwei Seiten und eingeschlossener Winkel sind gleich.
  • WSW: zwei Winkel an einer Seite sind gleich.
  • SSW: zwei Seiten und der Winkel, welcher der längeren Seite gegenüberliegt sind gleich.

Dabei steht das S in den Abkürzungen für gleich lange Seiten und das W für gleich große Winkel. Trifft ein Kongruenzsatz auf zwei Dreiecke zu, dann sind sie deckungsgleich.

Kongruenzsatz SSS

Der erste der Kongruenzsätze sagt dir, dass zwei Dreiecke genau dann deckungsgleich sind, wenn alle drei Seiten gleich lang sind. 

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Kongruenzsatz SSS

Hier siehst du zwei kongruente Dreiecke, weil die gleichfarbigen Seiten jeweils genau gleich lang sind. Du könntest die beiden Formen also ausschneiden und ganz exakt übereinander legen. 

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Kongruenzsatz SWS

Beim Kongruenzsatz SWS sind in den Dreiecken zwei der Seiten und der eingeschlossene Winkel gleich groß. 

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Kongruenzsatz SWS

Kongruenzsatz WSW

Beim dritten der Kongruenzsätze haben die zwei Dreiecke nur noch eine gemeinsame gleich lange Seite und dafür sind die beiden anliegenden Winkel gleich groß. 

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Kongruenzsatz WSW

Kongruenzsatz SSW

Um den letzten der Kongruenzsätze anwenden zu können, brauchst du zwei gleiche Seiten und einen gleich großen Winkel. Achtung, der Winkel muss dabei der längeren Seite gegenüber liegen! Du findest dafür auch die Bezeichnungen SsW oder SSWg

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Kongruenzsatz SSW

Merke: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen.

Was ist mit WWW?

Es gibt nur die vier Kongruenzsätze. Der Satz WWW gilt nicht! Zwei Dreiecke mit drei gleich großen Winkeln sind also nicht immer deckungsgleich.

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WWW ist kein Kongruenzsatz

Wie du siehst, haben die beiden Dreiecke im Bild jeweils die gleichen Winkel \alpha , \beta und \gamma. Trotzdem ist das rechte Dreieck deutlich kleiner als das linke. Die beiden Dreiecke sind also nicht kongruent.

Kongruenzsätze Aufgaben

Die Kongruenzsätze kannst du für verschiedene Aufgaben nutzen. Wir haben dir hier zwei Beispiele zusammengestellt. 

Aufgabe 1

Siehst du im Bild zwei kongruente Dreiecke? Begründe deine Antwort.

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Kongruenzsätze Aufgabe 2

Lösung

Ja, die beiden Dreiecke sind kongruent. Beide Dreiecke haben eine Seite mit 6cm Länge und eine 8cm lange Seite. Außerdem ist bei beiden Dreiecken der Winkel von 56° eingetragen. Der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber. Deshalb hast du hier kongruente Dreiecke vorliegen, weil der Kongruenzsatz SSW angewendet werden kann.

Aufgabe 2

Entscheide, ob du mit den Angaben ein eindeutiges Dreieck konstruieren kannst.

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Kongruenzsätze Aufgabe 1

Lösung

a) Ja, du kannst ein Dreieck konstruieren, denn du hast zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels gegeben. Nach dem Kongruenzsatz SWS kannst du also ein dazu deckungsgleiches Dreieck konstruieren. 

b) Nein, hier kannst du kein eindeutiges Dreieck konstruieren. Weil es keinen WWW-Satz gibt, sind verschieden große Dreiecke möglich. 

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