Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln
Mit Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst du Wahrscheinlichkeiten ganz leicht ermitteln. Hier siehst du alle wichtigen Formeln auf einen Blick!
Inhaltsübersicht
Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln einfach erklärt
Schau dir zuerst zwei grundlegende Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung an:
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Laplace-Experiment
: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist
![\[P(A) = \frac{\textcolor{red}{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse für A}}}{\textcolor{blue}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5bb3caa99cc2a90956d69b904be9291_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Baumdiagramm
: Um die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A zu berechnen, bestimmst du alle Pfade, die zu A gehören. Dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades (1. Pfadregel
). Um die verschiedenen Pfade zusammenzufassen, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel
)
Ergebnisse und Ereignisse
Für Ereignisse gibt es einige wichtige Formeln, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Schau sie dir gleich an!
- Normierung: Wenn A1, A2, A3, … die verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind, dann ist
P(A1) + P(A1) + P(A3) + … = 1
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Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit
, dass das Gegenereignis zu A eintritt, also
, ist![\[\bold{P(\overline{A}) = 1 - P(A)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48a6be98eb02331c36073011f275151f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Additionsregel für disjunkte Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Dann gilt
P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Additionsregel für nicht disjunkte Ereignisse:
P(A oder B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Abhängige und unabhängige Ereignisse
- Stochastische Unabhängigkeit (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse): Du nennst zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, so groß ist wie P(A) mal P(B). Als Formel sind A und B statistisch (stochastisch) unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A) • P(B) oder anders formuliert: PB(A) = P(A)
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Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit
PB(A) (Multiplikationsregel für Ereignisse):
![\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{oder anders formuliert} \qquad P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e96dad48801a52f8b29a8b3d7bbcf18c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Satz von Bayes
: Für zwei Ereignisse A und B gilt
![\[P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3fdb177d9abde66833a72e735285e6b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bernoulli -Wahrscheinlichkeitsformel
Die Bernoulli Formel sagt dir: Die Wahrscheinlichkeit, bei n Durchgängen genau k Treffer zu ziehen bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p, ist
![\[P(X=\textcolor{red}{k}) = \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{n}\\\textcolor{red}{k} \end{array}\right) \cdot {\textcolor{orange}{p}}^{\textcolor{red}{k}} \cdot (1-\textcolor{orange}{p}})^{\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d009b6dd6a110c2744810ebe810512b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Kombinatorik
Auch zur Kombinatorik solltest du einige Stochastik Formeln kennen:
- Permutation ohne Wiederholung : Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte auf n Plätzen anzuordnen:
n!
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Permutation mit Wiederholung
: n Objekte sind in m Gruppen unterteilt. Die erste Gruppe hat n1 Objekte, die m-te Gruppe nm Objekte. Innerhalb einer Gruppe kannst du die Objekte nicht unterscheiden. Dann kannst du die Anzahl der (unterscheidbaren) Möglichkeiten berechnen, die n Objekte anzuordnen:
![\[\frac{\textcolor{blue}{n}!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...\cdot n_\textcolor{red}{m}!}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edc7fceff696d6681a24720ec863c33d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Kombination ohne Wiederholung
(ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
![\[\binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c32debacff33e8282dd4c8ee13361d27_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Kombination mit Wiederholung
(mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:
![\[\binom{\textcolor{blue}{n}+\textcolor{red}{k}-1}{\textcolor{red}{k}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-104546564f16cf5072af3dbbf1604c6b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Variation ohne Wiederholung
(ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du ein Objekt nicht mehrfach wählen darfst:
![\[\frac{\textcolor{blue}{n}!}{(\textcolor{blue}{n}-\textcolor{red}{k})!}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa295202a4518646fcbeaef7a51f5687_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Variation mit Wiederholung (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge): Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen und anzuordnen, wenn du Objekte mehrfach wählen darfst:
nk
Diese Formeln zur Stochastik gingen dir zu schnell? Dann schau dir ganz in Ruhe unser Video zur Kombinatorik an. Viel Spaß!
