Wie erkenne ich im Graphen sicher, ob ein Punkt wirklich ein Wendepunkt ist?

Ein Punkt ist nur dann ein Wendepunkt, wenn die Krümmung dort wirklich die Seite wechselt. Konkret: Vor dem Punkt wird der Graph immer steiler und danach immer flacher (oder umgekehrt), also von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt. Ein Extrempunkt allein reicht nicht.

Was mache ich beim graphischen Ableiten, wenn der Funktionsgraph Ecken oder Knicke hat?

Bei Ecken oder Knicken hat f an dieser Stelle keine eindeutige Tangentensteigung, also existiert f'(x) dort nicht. Im Ableitungsgraphen lässt du an dieser x-Stelle eine Lücke oder markierst eine Sprungstelle, je nach Situation. Beispiel: Bei f(x)=|x| ist f'(0) nicht definiert.

Wie kann ich die ungefähren y-Werte im Ableitungsgraphen aus der Steilheit des Funktionsgraphen abschätzen?

Den y-Wert von f‘ schätzt du als Steigung eines Tangenten-Dreiecks ab: . Dafür zeichnest du an der Stelle eine Tangente und liest zwei gut passende Punkte auf der Tangente ab. Beispiel: Geht die Tangente 2 nach oben bei 1 nach rechts, dann ist f'(x) etwa 2.

Welche typischen Fehler passieren beim Zeichnen von f‘ aus einem gegebenen Graphen?

Häufig werden Nullstellen von f‘ mit Nullstellen von f verwechselt, obwohl f’=0 zu Extrempunkten von f gehört. Außerdem werden Vorzeichen vertauscht: Steigt f, muss f‘ über der x-Achse liegen. Ein weiterer Fehler ist, Knicke wie glatte Stellen zu behandeln, obwohl f‘ dort nicht existiert.

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Graphisches Ableiten

Wichtige Inhalte in diesem Video

Graphisches Ableiten einfach erklärt

(00:12)

Graphisch Ableiten Schritt für Schritt

(00:30)

Graphisches Ableiten Beispielaufgabe

(01:39)

Du kannst eine Funktion nicht nur rechnerisch, sondern auch an ihrem Funktionsgraphen graphisch ableiten. Wie das geht, erfährst du hier .

Inhaltsübersicht

Graphisches Ableiten einfach erklärt

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(00:12)

Beim graphischen Ableiten hast du den Graphen einer Funktion gegeben und willst daraus den Graphen der Ableitung bestimmen. Dazu betrachtest du deinen gegebenen Graphen G_f der Funktion f.

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Um ihn graphisch abzuleiten, schaust du dir jetzt besondere Punkte des Funktionsgraphen an. Die sind nämlich auch spezielle Punkte auf dem Ableitungsgraphen. Mithilfe der so gefundenen Punkte kannst du den dann skizzieren.

Für den Ableitungsgraph A_f von f‘ untersuchst du die folgenden Punkte:

Extrempunkte von G_f werden zu Schnittpunkten von A_f mit der x-Achse.
Wendepunkte von G_f werden zu Extrempunkten von A_f.
Überall, wo die Steigung von G_f positiv ist, verläuft A_f oberhalb der x-Achse.
Überall, wo die Steigung von G_f negativ ist, verläuft A_f unterhalb der x-Achse.

Graphisch Ableiten Schritt für Schritt

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(00:30)

Schaue dir den Beispielgraphen G_f der Funktion f(x) = 2x⁵+2x² einmal an.

Überlege Schritt für Schritt, wie du die Ableitungsfunktion A_f zeichnen kannst.

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Schritt 1: Extrempunkte

Markiere zuerst die Extrempunkte des Graphen.

Wie du siehst, hat die Funktion f(x) hier einen Hochpunkt (A) und einen Tiefpunkt (C).

Schritt 2: Wendestellen

Notiere dir jetzt die Wendestellen des Graphen G_f.

In unserem Beispiel hat der Graph genau eine Wendestelle (B) zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt.

Schritt 3: Verlauf

Jetzt schauen wir uns den Verlauf des Ursprungsgraphen zwischen seinen Extrempunkten an. Solange der Graph steigt, muss der Ableitungsgraph oberhalb der x-Achse verlaufen. Wenn der Graph fällt, dann verläuft der Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse.

Schritt 4: Skizzieren

Am Ende nimmst du all deine Informationen zusammen und kannst den Graphen der Ableitung skizzieren.

Du beginnst mit den Nullstellen des Ableitungsgraphen an den Punkten A und C. Dann markierst du einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse an der Wendestelle B. Am Ende zeichnest du den Graphen. Er kommt von oben aus dem Bild, schneidet den Punkt A, verläuft danach in einer Kurve und nimmt die Extremstelle B mit. Ab da verläuft er weiter hoch, schneidet C und läuft nach oben weg.

Graphisches Ableiten Beispielaufgabe

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(01:39)

Wenn du Aufgaben zum Thema „graphisch differenzieren“ lösen sollst, musst du nicht immer einen Ableitungsgraphen für eine Funktion skizzieren. Manchmal kann es auch vorkommen, dass du einen Funktionsgraphen gegeben bekommst und jetzt sagen musst, ob Aussagen zu dem Graphen richtig oder falsch sind.

Sind die folgenden Aussagen über den dargestellten Graphen f wahr, falsch oder kannst du keine Aussage treffen:

Der Graph von f hat bei x = 0 einen Hochpunkt.
→ Lösung: wahr, der Graph hört hier auf zu steigen und beginnt zu fallen.
Der Graph von f hat bei x = 0 eine Nullstelle.
→ Lösung: wahr, der Graph berührt hier die x-Achse.
f hat bei x = 0,5 eine Steigung von -2.
→ Lösung: keine Aussage machbar, da du die Steigung nicht genau ablesen kannst.
Der Graph der Ableitung f‘ hat bei x = 0 eine Nullstelle.
→ Lösung: wahr, da ein Extrempunkt von f gleichzeitig eine Nullstelle von f‘ ist.
Die Ableitung von f hat insgesamt zwei Nullstellen.
→ Lösung: falsch, f hat nämlich drei Extrempunkte und f‘ damit drei Nullstellen.
Die Ableitung von f hat insgesamt zwei Extremstellen.
→ Lösung: wahr, denn f hat zwei Wendestellen.
Der Graph der Ableitung beginnt über der x-Achse und endet auch darüber.
→ Lösung: falsch, die Steigung fällt zu Beginn des Graphen ab und steigt am Ende. Die Ableitung beginnt also unterhalb der x-Achse und endet darüber.

Um die Aussagen beantworten zu können, musst du dir den Graphen ganz genau anschauen, analysieren und du solltest auch den Ableitungsgraphen zeichnen. Verwende dazu einfach die Schritt-für-Schritt-Anleitung.

Graphisches Ableiten — häufigste Fragen

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Wie erkenne ich im Graphen sicher, ob ein Punkt wirklich ein Wendepunkt ist?

Ein Punkt ist nur dann ein Wendepunkt, wenn die Krümmung dort wirklich die Seite wechselt. Konkret: Vor dem Punkt wird der Graph immer steiler und danach immer flacher (oder umgekehrt), also von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt. Ein Extrempunkt allein reicht nicht.
Was mache ich beim graphischen Ableiten, wenn der Funktionsgraph Ecken oder Knicke hat?

Bei Ecken oder Knicken hat f an dieser Stelle keine eindeutige Tangentensteigung, also existiert f'(x) dort nicht. Im Ableitungsgraphen lässt du an dieser x-Stelle eine Lücke oder markierst eine Sprungstelle, je nach Situation. Beispiel: Bei f(x)=|x| ist f'(0) nicht definiert.
Wie kann ich die ungefähren y-Werte im Ableitungsgraphen aus der Steilheit des Funktionsgraphen abschätzen?

Den y-Wert von f‘ schätzt du als Steigung eines Tangenten-Dreiecks ab: $m \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Dafür zeichnest du an der Stelle eine Tangente und liest zwei gut passende Punkte auf der Tangente ab. Beispiel: Geht die Tangente 2 nach oben bei 1 nach rechts, dann ist f'(x) etwa 2.
Welche typischen Fehler passieren beim Zeichnen von f‘ aus einem gegebenen Graphen?

Häufig werden Nullstellen von f‘ mit Nullstellen von f verwechselt, obwohl f’=0 zu Extrempunkten von f gehört. Außerdem werden Vorzeichen vertauscht: Steigt f, muss f‘ über der x-Achse liegen. Ein weiterer Fehler ist, Knicke wie glatte Stellen zu behandeln, obwohl f‘ dort nicht existiert.