Analysis

Wurzel ableiten

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Wurzel ableiten kannst. Dabei gehen wir auf die Kettenregel ein und zeigen dir viele Beispiele, in denen wir Wurzeln ableiten.

Wenn du in kürzester Zeit alles Wichtige über die Ableitung von Wurzel x erfahren möchtest, schau dir unser Video an.

Inhaltsübersicht

Wurzel ableiten einfach erklärt

Um eine Wurzelfunktion ableiten zu können, musst du sie zunächst einmal als Potenz umschreiben. Das ist möglich, denn:

Jede Wurzel kann als Exponent dargestellt werden:

\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}.

Ist das getan, kannst du die Ableitung Wurzel x einfach mit der Potenzregel  bestimmen:

f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}.

Für n=2 erhältst du die Quadratwurzel. Die Zwei vorne auf der Wurzel wird dabei immer weggelassen. Dementsprechend gilt:

Ableitung der Quadratwurzel

f(x)=\sqrt{x} \quad \rightarrow \quad f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x}}.

Denn f(x)=\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

Wurzeln ableiten mit Kettenregel

Aufwändiger wird es, wenn du nicht einfach nur Wurzel x ableiten sollst, sondern für x ein komplizierterer Ausdruck unter der Wurzel steht, wie beispielsweise bei f(x)=\sqrt{2x^2+1}.

In diesem Fall bist du gezwungen die Kettenregel  anzuwenden, um die Wurzel ableiten zu können. Dafür musst du die innere Funktion h(x) und äußere Funktion  g(x) der verketteten Funktion

f(x)=g(h(x))

identifizieren. Anschließend bestimmst du deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

Beispiel 1

Um die Wurzel für die obere Funktion

f(x)=\sqrt{2x^2+1}

berechnen zu können, bestimmst du daher:

  • die innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

h(x)=2x^2+1 \quad \rightarrow \quad h'(x)=4x

  • die äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

g(x)=\sqrt{x} \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}.

Dabei hast du die Potenz- und die Faktorregel  angewandt.

Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst

f'(x)= g'(h(x))\cdot h'(x)

=\frac{1}{2 \sqrt{2x^2+1}} \cdot 4x

=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}.

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel für die Ableitung einer Wurzel an:

f(x)=\sqrt[3]{6x-2}.

Um diese 3. Wurzel ableiten zu können, musst du sie als erstes folgendermaßen umschreiben:

f(x)=\sqrt[3]{6x-2} = \left(6x-2\right)^{\frac{1}{3}}.

Danach bestimmst du:

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x): 

h(x)=6x-2 \quad \rightarrow \quad h'(x)=6

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x): 

g(x)=x^{\frac{1}{3}} \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}.

Schließlich liefert dir g'(x), h(x) und h'(x) in die Formel der Kettenregel eingesetzt:

f'(x)= \frac{1}{3}\cdot (6x-2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 6

=2 \cdot (6x-2)^{-\frac{2}{3}}.

Nun kannst du noch den Exponent wieder als Wurzel darstellen und erhältst damit:

f'(x)=2 \cdot\left(\sqrt[3]{6x-2}\right)^{-2}.

Ableitung Wurzel

Bisher haben wir beim Wurzel Ableiten neben der Kettenregel nur die Potenz- und die Faktorregel  angewandt. Bei den folgenden Beispielen musst du, um die Funktion mit der Wurzel ableiten zu können, noch weitere Ableitungsregeln anwenden.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

f(x)=\sqrt{3x}+\sqrt{x}

f'(x)=g'(x)+h'(x)

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x}}+ \frac{1}{2\sqrt{x}}

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x^3}

f'(x)=g'(x)-h'(x)

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

f(x)=\sqrt{x}\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

f'(x)=\frac{3x^2 }{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}} -\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

f(x)=4 \cdot \sqrt{x}

f'(x)=a \cdot g'(x)

f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}

Potenzregel f(x)=x^n

f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^4

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

f'(x)=4 \cdot \left(\sqrt{x}\right)^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=2x

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls kennen und anwenden können.

Funktion Ableitung
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}

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