Extrempunkte berechnen
Wie kannst du Extrempunkte berechnen? Hier und im Video zeigen wir es dir Schritt für Schritt!
Inhaltsübersicht
Extrempunkte berechnen — So geht’s
Extrempunkte sind die Punkte, an denen eine Funktion entweder einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat. Um Extrempunkte einer Funktion f(x) zu berechnen, gehst du in 5 Schritten vor:
- Bilde die erste Ableitung f'(x).
- Bestimme die Nullstellen x0 der ersten Ableitung, indem du f'(x) = 0 rechnest.
- Bilde die zweite Ableitung f“(x).
- Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. An dem Ergebnis siehst du, ob f(x) an der Stelle x0 einen Extrempunkt hat: Wenn, …
- f“(x0) < 0 → Hochpunkt
- f“(x0) = 0 → kein Extrempunkt
- f“(x0) > 0 → Tiefpunkt
- Falls x0 eine Extremstelle ist: Ermittle die y-Koordinate des Extrempunkts, indem du x0 in die normale Funktion f(x) einsetzt.
Mit diesen 5 Schritten kannst du alle Hoch-und Tiefpunkte einer Funktion berechnen!
Schau dir die Berechnung von Extrempunkten direkt an einem Beispiel an!
Extrempunkte bestimmen — Beispiel
Stell dir vor, du willst die Extrempunkte dieser Funktion berechnen:
f(x) = x3 − 3x2 + 4
1. Bilde die erste Ableitung f'(x)
Um die Funktion abzuleiten, nutzt du die Ableitungsregeln. Du kannst sie dir hier nochmal genauer anschauen.
f(x) = x3 − 3x2 + 4
f'(x) = 3x2 – 6x
Der Graph einer Funktion wechselt an Extrempunkten seine Richtung. Wenn er erst fällt und dann steigt, hat er an der Stelle einen Tiefpunkt. Wenn er erst steigt und dann fällt hat er wiederum einen Hochpunkt. An den Extrempunkten selbst ist die Steigung deshalb Null.
Mit der ersten Ableitung einer Funktion kannst du die Steigung an einem bestimmten Punkt bestimmen. Wenn die erste Ableitung an dem Punkt also die Steigung Null hat, hat die Funktion dort einen Extrempunkt.
2. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung
Jetzt berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung, um mögliche Extremstellen zu finden. Die Nullstellen bestimmst du, in dem du f'(x) = 0 setzt und die Gleichung dann auflöst:
3x2 – 6x = 0
Bei diesem Beispiel kannst du 3x ausklammern und erhältst:
3x • (x – 2) = 0
Um jetzt die Nullstellen zu bestimmen, überlegst du, wann die linke Seite gleich 0 ist. Das ist einmal für x = 0 und für x = 2 der Fall.
→ Die erste Nullstelle ist daher bei x1 = 0 und die zweite bei x2 = 2
Wichtig: Wenn die erste Ableitung keine Nullstelle hat, dann hat f(x) auch keinen Extrempunkt.
3. Bilde die zweite Ableitung von f(x)
Als nächstes bildest du die zweite Ableitung von f(x). Leite die Funktion f(x) dafür zwei mal ab:
f(x) = x3 − 3x2 + 4
f'(x) = 3x2 – 6x
f“(x) = 6x – 6
4. Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein
Indem du die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzt, überprüfst du, ob an den Stellen tatsächlich Extrempunkte sind.
Setze also x1 = 0 und x2 = 2 in f“(x) ein.
f“(0) = 6 ⋅ 0 – 6 = -6
f“(2) = 6 ⋅ 2 – 6 = 6
- Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist, hat f(x) einen Tiefpunkt.
- Wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist, hat f(x) einen Hochpunkt.
Hier ist die zweite Ableitung bei x1 = 0 kleiner als Null, also hat f(x) bei x1 = 0 einen Hochpunkt.
Bei x2 = 2 ist die zweite Ableitung größer als Null, also hat f(x) bei x2 = 2 einen Tiefpunkt.
Es gibt auch Fälle, in denen die Steigung einer Funktion f'(x) = 0 ist, die Funktion aber keinen Extrempunkt hat. Das ist zum Beispiel bei einem Sattelpunkt der Fall. Dort steigt beziehungsweise fällt der Graph vor und nach der ermittelten Stelle.
Einen Sattelpunkt erkennst du daran, dass du f“(x) = 0 erhältst, wenn du die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite einsetzt.
5. Ermittle den y-Wert der Extrempunkte
Jetzt kennst du die x-Koordinaten der Extrempunkte, nämlich x1 = 0 und x2 = 2. Um die fehlenden y-Koordinaten zu berechnen, setzt du die x-Werte einfach in die normale Funktion f(x) ein.
f(0) = 03 − 3⋅02 + 4 = 4
Die y-Koordinate der Extremstelle bei x1 = 0 ist 4. Der erste Extrempunkt liegt also bei (0 | 4).
f(2) = 23 − 3⋅22 + 4 = 0
Die y-Koordinate der Extremstelle bei x2 = 2 ist 0. Der zweite Extrempunkt liegt also bei (2 | 0).
Der Extrempunkt einer Funktion wird immer mit der x- und y-Koordinate angegeben.
Wenn nach der Extremstelle gefragt wird, musst du nur die x-Koordinate des Extrempunkts angeben. Wenn nach dem Extremwert gefragt wird, musst du nur die y-Koordinate angeben.
Extrempunkt bestimmen — ohne die zweite Ableitung
Es gibt eine weitere Möglichkeit, die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen. Dafür brauchst du die zweite Ableitung nicht, denn du schaust dir den Vorzeichenwechsel (VZW) an. Die ersten beiden Schritte bleiben dabei gleich:
- Bilde die erste Ableitung f'(x).
- Bestimme die Nullstellen x0 der ersten Ableitung, indem du f'(x) = 0 rechnest.
-
Untersuche f'(x) auf Vorzeichenwechsel. Prüfe also einen Punkt links und einen Punkt rechts von x0 überprüfen. Wenn, …
- f'(x) vor x0 positiv und danach negativ → Hochpunkt
- f'(x) vor x0 negativ und danach positiv → Tiefpunkt
- Vorzeichen vor und nach x0 gleich → kein Extrempunkt
- Falls x0 eine Extremstelle ist: Ermittle die y-Koordinaten der Extrempunkte, indem du x0 in die normale Funktion f(x) einsetzt.
Schau dir das an einem Beispiel an: Stell dir vor, du willst die Extrempunkte von dieser Funktion bestimmen:
f(x) = x3 − 6x2 + 9x
1. Bilde die erste Ableitung f'(x)
Zuerst bildest du wieder die erste Ableitung f'(x):
f(x) = x3 − 6x2 + 9x
f'(x) = 3x2 − 12x + 9
2. Bestimme die Nullstellen x0 der ersten Ableitung
Um die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen, kannst du die abc-Formel benutzen:
Die abc- Formel lautet: 
Hier ist a = 3, b = -12 und c = 9
x1 = 
= 
= 1
x2 = 
= 
= 3
Nun hast du die Nullstellen der ersten Ableitung bei x1 = 1 und x2 = 3 bestimmt. Das sind mögliche Extrempunkte.
3. Untersuche f'(x) auf Vorzeichenwechsel
Um nun zu prüfen, ob es sich tatsächlich um Extrempunkte handelt, prüfst du den Vorzeichenwechsel an den Stellen. Dafür setzt du jeweils einen Wert rechts und links von der x-Stelle ein. Wenn sich das Vorzeichen ändert, handelt es sich um eine Extremstelle.
Bei der ersten Nullstelle x1 = 1 kannst du zum Beispiel die Werte 0 und 2 verwenden und in die erste Ableitung einsetzen:
f'(0) = 3⋅02 – 12⋅ 0 + 9 = 9
f'(2) = 3 ⋅22 – 12⋅ 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = -3
Es gilt also f'(0) > 0 und f'(2) < 0. Links von x1 ist die Steigung positiv und rechts davon ist sie negativ. Die Funktion wechselt also an der Stelle x1 = 1 also von steigend zu fallend. Dort hat f(x) somit einen Hochpunkt.
Genauso gehst du jetzt noch bei der Stelle x2 = 3 vor. Dafür kannst du zum Beispiel 2 nehmen (weil wir den Wert für 2 schon kennen) und 10 (weil es einfach zu rechnen ist) .
f'(2) = -3
f'(10) = 3 ⋅ 102 – 12 ⋅ 10 + 9 = 300 – 120 + 9 = 189
Hier wechselt die Funktion an der Stelle x2 ihre Steigung von negativ zu positiv. An dieser Stelle ist also ein Tiefpunkt.
Merke: Wenn f'(x) vor x0 positiv und danach negativ ist, steigt die Funktion erst und fällt dann. Du hast also einen Hochpunkt. Wenn f'(x) vor x0 negativ und danach positiv ist, fällt die Funktion erst und steigt dann. Du hast also einen Tiefpunkt.
4. Ermittle die y-Koordinate der Extrempunkte
Jetzt setzt du die Extremstellen in f(x) ein, um die Extremwerte (y-Koordinaten des Extrempunkts) zu bestimmen:
f(1) = 13 − 6⋅12 + 9⋅1 = 4 → (1 | 4) ist ein Hochpunkt
f(3) = 33 – 6 ⋅ 32 + 9⋅ 3 = 27 – 54 + 27 = 0→ (3 | 0) ist ein Tiefpunkt
Du hast hier also die beiden Extrempunkte E1 = (1 | 4) und E2 = (3 | 0) gefunden.
Extrempunkte bestimmen — Übungen
Versuch doch einmal selbst, die Extrempunkte von folgenden Funktionen zu bestimmen:
- f(x) = x2+ 1
- f(x) = −x3 + 3x2 − 2
Aufgabe 1
f(x) = x2 + 1
Bilde die erste Ableitung:
f'(x) = 2x
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung:
2x = 0 → x1 = 0
Prüfe, ob es sich um eine Extremstelle handelt:
zweite Ableitung bilden: f“(x) = 2
Nullstelle von f'(x) einsetzten: f“(0) = 2
→ f(x) hat an der Stelle x1 = 0 einen Tiefpunkt
Berechne die y-Koordinate des Extrempunkts:
x1 = 0 in f(x) einsetzten: f(0) = 02 + 1 = 1
→ f(x) hat einen Tiefpunkt bei E1 = (0 | 1)
Aufgabe 2
f(x) = −x3 + 3x2 − 2
Bilde die erste Ableitung:
f'(x) = -3x2 + 6x
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung:
-3x2 + 6x = 0
x ausklammern:
x ( -3x +6 ) = 0 → x1 = 0, x2 = 2
Prüfe, ob es sich um eine Extremstelle handelt:
zweite Ableitung bilden: f“(x) = -6x + 6
Nullstelle von f'(x) einsetzten:
f“(0) = -6 ⋅ 0 + 6 = 6
→ f(x) hat an der Stelle x1 = 0 einen Tiefpunkt
f“(2) = -6 ⋅ 2 + 6 = -6
→ f(x) hat an der Stelle x2 = 2 einen Hochpunkt
Berechne die y-Koordinate des Extrempunkts:
x1 = 0 und x2 = 2 in f(x) einsetzten:
f(0) = −03+3⋅02 − 2 = -2
→ f(x) hat einen Tiefpunkt bei E1 = (0 | -2)
f(2) = − (23) + 3⋅22−2 = 2
→ f(x) hat einen Hochpunkt bei E2 = (2 | 2)
Lokale und globale Extrema
Extrempunkte kannst du nach lokalen und globalen Extrempunkten unterscheiden.
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Lokale Extrempunkte sind Punkte, an denen eine Funktion einen Höchst- oder Tiefstwert erreicht.
- Globale Extrempunkte sind hingegen die höchsten oder tiefsten Werte, die die Funktion im gesamten Bereich erreichen kann. Sie sind das absolute Maximum oder Minimum der Funktion.
Merke: Jeder Hoch- oder Tiefpunkt ist ein lokaler Extrempunkt. Wenn der Extrempunkt gleichzeitig der höchste oder tiefste Wert der gesamten Funktion ist, handelt es sich um einen globalen Extrempunkt.
Auf dem Bild kannst du das nochmal erkennen: der globale Tiefpunkt ist der tiefste Punkt des gesamten Graphen. Es gibt keinen tieferen Punkt als ihn. Die anderen beiden Extrempunkte sind zwar Hoch- und Tiefpunkte, jedoch gibt es auch höhere und tiefere Stellen. Deshalb sind sie nur lokal.
Extrempunkte berechnen — häufigste Fragen
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Wie berechnet man Extrempunkte? Extrempunkte berechnen – kurz & knapp
- Bilde die erste Ableitung f'(x).
- Berechne die Nullstelle x0 der ersten Ableitung f'(x).
- Setze x0 in die zweite Ableitung ein. Ist f“(x0) > 0, hast du einen Tiefpunkt (Minimum). Ist f“(x0) < 0, hast du einen Hochpunkt(Maximum).
- Setze x0 in f(x) ein, um den y-Wert deines Extrempunktes zu bestimmen.
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Was ist der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrempunkten? Ein globaler Extrempunkt einer Funktion ist der höchste beziehungsweise tiefste Punkt der ganzen Funktion. Ein lokaler Extrempunkt ist der höchste beziehungsweise tiefste Punkt in seiner direkten Umgebung. -
Wie viele Extremstellen kann eine Funktion haben? Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n-1 Extremstellen.
Wendepunkt berechnen
Jetzt kennst du zwei Wege, um die Extrempunkte einer Funktion zu berechnen! Als Nächstes kommt der Wendepunkt. Wie du den Wendepunkt Schritt für Schritt berechnest, erklären wir dir hier!
