Tangente (Video)

In diesem kurzen, leicht verständlichen Video lernst du, was eine Tangente ist und wie man sie an einem Kreis zeichnet. Wir zeigen dir Schritt für Schritt die Grundlagen, damit du dieses wichtige mathematische Werkzeug meistern kannst.

VIDEOSKRIPT

Du hast etwas von einer Tangente gehört und willst jetzt wissen wie man sie berechnet? Dann bist du hier genau richtig. Los geht’s!

Was ist eine Tangente

Eine Tangente ist eine lineare Funktion, die eine Funktion f an einem Punkt berührt.

Ein Bild, das Text, Karte enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Das besondere an einer Tangente ist, dass die Tangente und der Graph am Berührpunkt die gleiche Steigung haben. Neben den Tangenten mit beliebiger Steigung und beliebigem Berührpunkt gibt es

Steigung der Tangente am Punkt
(x0|𝑦0)=𝑓′(x0)
(
x
0
|
�
0
)
=
�
′
(
x
0
)

zwei besondere Arten von Tangenten. Besitzt deine Funktion einen Wendepunkt, dann kannst du dort eine Tangente einzeichnen und bestimmen. Diese wird dann Wendetangente genannt.

Ein Bild, das Text, Karte, Foto, Mann enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Zum anderen gibt es die waagrechte Tangente. Sie hat immer die Steigung null und kann deshalb an Extrempunkte, also Hochpunkte Tangente y = 3 einblenden, und Tiefpunkte Tangente y = -1 einblenden oder auch Sattelpunkte Tangente y = 1 einblenden angelegt werden. Denn gerade dort besitzt eine Funktion die Steigung null.

Anleitung

Du weißt nun was eine Tangente ist, aber wie kannst du sie bestimmen?

Schauen wir uns das einmal anhand einer Schritt für Schritt Anleitung an. Angenommen du hast eine Funktion f gegeben und sollst nun die Tangente an der Stelle x null
𝑥0
�
0

bestimmen.

Dann berechnest du im ersten Schritt die erste Ableitung f Strich

Berechne
𝑓′(x)
�
′
x

Im zweiten Schritt setzt du den wert x null in f Strich ein, um so die Steigung der Tangente zu ermitteln

Berechne
𝑓′(x0)
�
′
x
0

Falls die y-Koordinate y null noch nicht bekannt ist, berechnest du sie im dritten Schritt indem du x null in die Funktion f einsetzt.

Berechne
𝑦0=𝑓(x0)
�
0
=
�
(
x
0
)

Im vierten Schritt setzt du nun die Koordinaten x null, y null und die Steigung f Strich von x null in die allgemeine Tangentengleichung ein

Berechne
𝑦𝑡(x)=𝑓′(x0)⋅(x−x0)+𝑦0
�
�
x
=
�
′
x
0
⋅
x
−
x
0
+
�
0

Und schon hast du deine Tangente. Klingt kompliziert? Kein Problem! Schauen wir es uns an einem konkreten Beispiel an.

Beispiel

Angenommen du hast die Funktion

𝑓(x)= x3−3x2+x−1
�
x
=

x
3
−
3
x
2
+
x
−
1

f von x gleich x hoch drei minus drei x Quadrat plus x minus eins

gegeben und sollst nun die Tangente an der Stelle
x0=0
x null gleich null bestimmen.

Da du für die Tangentengleichung erst einmal die Steigung an der Stelle x null brauchst, musst du zuerst die erste Ableitung berechnen. Dabei erhältst du

𝑓′(x)=3x2−6x+1
�
′
x
=
3
x
2
−
6
x
+
1

f Strich von x gleich 3 x Quadrat minus 6 x plus 1

Jetzt kannst du im zweiten Schritt die Steigung an der Stelle x null berechnen, indem du null in f Strich einsetzt. Du erhältst dabei

𝑓′(0)=3⋅02−6⋅0+1=1
�
′
0
=
3
⋅
0
2
−
6
⋅
0
+
1
=
1

f Strich von 0 gleich 1.

Für die Tangentengleichung fehlt dir jetzt noch die y-Koordinate y null. Du erhältst sie, wenn du x null gleich null in die Funktion f einsetzt. Du bekommst dann

𝑓(0)=03−3⋅02+0−1= −1
�
0
=
0
3
−
3
⋅
0
2
+
0
−
1
=

−
1

f von null gleich minus 1

Jetzt hast du alles, was du für die Tangentengleichung benötigst. Du musst also nur noch die Werte x null, y null und f Strich von x null in die Tangentengleichung einsetzen und erhältst die Tangente

𝑦𝑡(x)=1⋅(x−0)+(−1)= x−1
�
�
x
=
1
⋅
x
−
0
+
−
1
=

x
−
1

y t von x gleich x minus eins

Du kannst dir das Ganze auch nochmal in einem Koordinatensystem näher betrachten. Hier hast du die Funktion f von x f(x) einblenden. Zeichnest du nun deine berechnete Tangente ein, dann siehst du, dass die Tangente den Graphen am Punkt 0 minus eins berührt.
𝑦𝑡(x)
�
�
x

einblenden. Du siehst also, dass du die Tangentengleichung richtig berechnet hast. Gut gemacht!

weiteres Beispiel

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Wir wollen von der Funktion

f(x)= x4−32x3+x2+52x
f
x
=

x
4
−
3
2
x
3
+
x
2
+
5
2
x

f von x gleich x hoch 4 minus 3 Halbe x hoch 3 plus x Quadrat plus 5 Halbe x

die Tangente an der Stelle
x0=1
x
0
=
1

x null gleich 1 berechnen.

Zuerst brauchst du die Steigung der Funktion an der Stelle x null. Die bekommst du, indem du die erste Ableitung

𝑓′(x)=4x3−92x2+2x+52
�
′
x
=
4
x
3
−
9
2
x
2
+
2
x
+
5
2

f Strich von x gleich 4 x hoch 3 minus 9 Halbe x Quadrat plus 2 x plus 5 Halbe

berechnest und dann x null gleich eins in f Strich einsetzt. Damit erhältst du die Steigung

𝑓′(1)=4⋅13−92⋅12+2⋅1+52=4
�
′
1
=
4
⋅
1
3
−
9
2
⋅
1
2
+
2
⋅
1
+
5
2
=
4

f Strich von 1 gleich 4

Es fehlt jetzt nur noch die y-Koordinate des Berührpunkts. Dafür setzt du einfach x null in f ein

𝑦0=𝑓(1)=14−32⋅13+12+52⋅1=3
�
0
=
�
1
=
1
4
−
3
2
⋅
1
3
+
1
2
+
5
2
⋅
1
=
3

und erhältst somit f von 1 gleich 3

Und schon hast du alles, was du für die Tangentengleichung brauchst. Setze jetzt einfach x null, y null und f Strich von x null in die allgemeine Tangentengleichung ein

𝑦𝑡(x)=𝑓′(x0)⋅(x−x0)+y0
�
�
x
=
�
′
x
0
⋅
x
−
x
0
+
y
0

und du erhältst die Tangente

𝑦𝑡(x)=4⋅(x−1)+3=4x−1
�
�
x
=
4
⋅
x
−
1
+
3
=
4
x
−
1

y t von x gleich 4 mal x minus 1 plus 3

Noch nicht überzeugt? Schau dir das Ganze in einer Graphik genauer an.

Zeichne erst die Funktion f ein Funktion f einblenden, und dann die Funktion
𝑦𝑡(x)
�
�
x

einblenden y t von x. Du siehst, dass die Funktion, die du eben errechnet hast, eine Tangente von f am Punkt eins drei darstellt. Also hast du alles richtig gemacht. Prima!

Outro

Wunderbar! Jetzt weißt du wie man eine Tangentengleichung berechnet.