Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Du möchtest wissen, was der größte gemeinsame Teiler ist und wie du ihn berechnen kannst? Hier und in unserem Video erklären wir es dir!
Inhaltsübersicht
Was ist der größte gemeinsame Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT) von zwei Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.
➡️ Beispiel:
Der größte gemeinsame Teiler von 4 und 6 ist 2, weil 2 die größte Zahl ist, durch die sowohl 4 als auch 6 teilbar sind.
ggT(4, 6) = 2
Für die Zahlen a und b sieht der größte gemeinsame Teiler so aus:
ggT(a, b)
Den ggT mit Teilermengen bestimmen
Du kannst den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen mit ihren Teilermengen ermitteln. In unserem Beispiel schauen wir uns dafür 18 und 48 an.
- Schritt 1: Stelle die Teilermengen für 18 und 48 auf. Dazu findest du alle Zahlen, durch die sich 18 und 48 teilen lassen.
T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
T48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
- Schritt 2: Jetzt markierst du alle Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.
T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
T48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
- Schritt 3: Suche die größte deiner markierten Zahlen.
T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
T48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
- Schritt 4: Die Zahl, die du jetzt gefunden hast, ist der größte gemeinsame Teiler.
ggT(18, 48) = 6
Der größte gemeinsame Teiler von 18 und 48 ist also 6.
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Den ggT mit Primfaktorzerlegung bestimmen
Mit der Primfaktorzerlegung
hast du eine zweite Möglichkeit, mit der du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst. Schau dir dafür unser Beispiel mit 36 und 66 an.
- Schritt 1: Führe die Primfaktorzerlegung durch.
36 = 2 • 2 • 3 • 3
66 = 2 • 3 • 11
- Schritt 2: Markiere alle Primfaktoren, die gleichzeitig in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen.
36 = 2 • 2 • 3 • 3
66 = 2 • 3 • 11
- Schritt 3: Die markierten gemeinsamen Primfaktoren 2 und 3 musst du jetzt miteinander multiplizieren, um den ggT zu berechnen.
ggT(36, 66) = 2 • 3 = 6
Der ggT von 36 und 66 ist somit 6.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) — häufigste Fragen
(ausklappen)
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Wie finde ich alle Teiler einer Zahl schnell, ohne welche zu vergessen?Alle Teiler einer Zahl findest du schnell, indem du in Paaren suchst: Du probierst
nur bis 
für deine Zahl 
. Wenn die Division ohne Rest aufgeht, notierst du beide Teiler. Zum Beispiel: Für 
findest du 
, 
, 
, 
, 
. Danach kommen keine neuen mehr.
-
Was bedeutet es, wenn der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen 1 ist?Der größte gemeinsame Teiler
bedeutet, dass die beiden Zahlen keinen gemeinsamen Teiler größer als haben. Deshalb kannst du einen Bruch mit diesen beiden Zahlen nicht mehr kürzen. Zum Beispiel: 
, weil 
nur durch 
teilbar ist und 
nur durch 
.
-
Warum ist der größte gemeinsame Teiler gleich dem Produkt der gemeinsamen Primfaktoren?Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren, weil jede Zahl aus ihren Primfaktoren aufgebaut ist. Ein gemeinsamer Teiler darf nur Primfaktoren enthalten, die in beiden Zahlen vorkommen. Deshalb nimmst du jeden gemeinsamen Primfaktor nur so oft wie er in beiden vorkommt. Zum Beispiel:
und 
, also 
.
Euklidischer Algorithmus
Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, wie du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst: den euklidischen Algorithmus. Wie genau das funktioniert, erfährst du in diesem Video!
