Mathematische Grundlagen
Teilbarkeit
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Teiler und Vielfache einfach erklärt

Eine Zahl b, die einmal, zweimal, dreimal,… so groß ist, wie eine andere Zahl a, ist eine Vielfache der Zahl a.

  • Beispiel: Die Vielfachen von 2 bekommst du, indem du sie mal 2, mal 3, mal 4 usw. rechnest:
    2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 · 4 = 8;…

Wenn du eine Zahl a durch die Zahl b teilen kannst, sodass eine ganze Zahl  rauskommt, ist b ein Teiler von a. Das ist immer der Fall, wenn a ein Vielfaches von b ist.

  • Beispiel: 14 hat die Teiler 14, 7, 2 und 1, denn beim Teilen kommen ganzzahlige Ergebnisse heraus.
    14 : 14 = 1; 14 : 7 = 2; 14 : 2 = 7; 14 : 1 = 14
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Teiler und Vielfache

Schreibweise: Wenn a ein Teiler von b ist, schreibst du a | b. Ist a kein Teiler von b, schreibst du a ∤ b.

Vielfache berechnen

Wie berechnest du die Vielfache einer Zahl? Das ist gar nicht schwer! Du nimmst die Zahl, für die du die Vielfachen suchst und multiplizierst sie mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 usw.

Schau dir direkt das Beispiel „Vielfache von 4“ an:

Um die Vielfache von 4 zu berechnen, multiplizierst du sie mit den natürlichen Zahlen.

  • 4 · 1 = 4
  • 4 · 2 = 8
  • 4 · 3 = 12
  • 4 · 4 = 16
  • 4 · 5 = 20
  • 4 · 6 = 24

Es kann auch sein, dass du erkennen sollst, welche Zahlen Vielfache sind.

Beispiel: Welche der Zahlen 13, 21, 36 ist ein Vielfaches von 7?

Um die Vielfachen von 7 herauszufinden, multiplizierst du sie mit den ersten natürlichen Zahlen: 7 · 1 = 7; 7 · 2 = 14; 7 · 3 = 21; 7 · 4 = 28; 7 · 5 = 35; 7 · 6 = 42

Du siehst, dass nur die 21 ein Vielfaches von 7 ist. Denn 7 · 3 = 21.

Teiler berechnen

Um den Teiler einer Zahl zu berechnen, teilst du sie durch die natürlichen Zahlen. Wenn dabei kein Rest entsteht, ist die natürliche Zahl ein Teiler.

Um beispielsweise die „Teiler von 24“ zu berechnen, teilst du 24 durch alle natürlichen Zahlen von 1 – 24. Die Ergebnisse ohne Rest sind die Teiler von 24.

  • 24 : 24 = 1
  • 24: 23 = 1 Rest 1
  • 24: 22 = 1 Rest 2
  • 24 : 12 = 2
  • 24 : 8 = 3
  • 24 : 6 = 4
  • 24 : 5 = 4 Rest 4
  • 24 : 4 = 6
  • 24 : 3 = 8
  • 24 : 2 = 12
  • 24 : 1 = 24

Auch bei den Teilern kann es sein, dass du erkennen sollst, welche Zahlen dazuzählen. 

Beispiel: Welche der Zahlen 3, 4, 5 sind Teiler von 15?

3 und 5 sind Teiler von 15, denn es kommt eine ganze Zahl heraus, wenn du 15 : 3 = 5 und 15 : 5 = 3 rechnest. Teilst du 15 : 4 kommt ein Ergebnis mit Rest heraus: 15 : 4 = 3 Rest 3.

Vielfachenmenge

Berechnest du die Vielfachen einer Zahl, kannst du die Ergebnisse in der Vielfachenmenge zusammenfassen.

Beispiel: Du sollst die Vielfachenmenge von 5 bestimmen. Dazu berechnest du erst alle Vielfachen, indem du 5 mit den natürlichen Zahlen multiplizierst:

  • 5 · 1 = 5
  • 5 · 2 = 10
  • 5 · 3 = 15
  • 5 · 4 = 20
  • 5 · 5 = 25
  • 5 · 6 = 30

Nun kannst du deine Ergebnisse in der Vielfachenmenge zusammenfassen. Dazu schreibst du ein großes V und eine kleine 5 daneben. In die geschweiften Klammern kommen deine Ergebnisse: V5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30;…}.

Die Anzahl der Vielfachen ist unendlich, weil du eine Zahl immer mit der nachfolgenden multiplizieren kannst.

Teilermenge

Berechnest du die Teiler einer Zahl, kannst du die Ergebnisse in der sogenannten Teilermenge zusammenfassen.

Beispiel: Bestimme die Teilermenge von 24. Die Ergebnisse aus deiner Rechnung sind:

  • 24 : 24 = 1
  • 24 : 12 = 2
  • 24 : 8 = 3
  • 24 : 6 = 4
  • 24 : 4 = 6
  • 24 : 3 = 8
  • 24 : 2 = 12
  • 24 : 1 = 24

Jetzt kannst du deine Teilermenge bestimmen. Schreibe dazu ein großes T mit einer kleinen 24 auf. In die geschweiften Klammern kommen deine Ergebnisse: Die Teilermenge von 24 ist T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Um die Anzahl der Teiler herauszufinden, zählst du einfach die einzelnen Elemente der Teilermenge.

Tipp: Die Komplementärteiler können dir helfen, die Teiler einer Zahl zu bestimmen. Du weißt zum Beispiel, dass 16 ein Teiler von 32 ist, weil 32 : 16 = 2. Dadurch weißt du auch, dass 2 ein Teiler von 32 ist, denn 32 : 2 = 16. 2 und 16 sind also Komplementärteiler.

Gemeinsame Teiler und Vielfache

Gemeinsame Teiler von zwei Zahlen findest du heraus, indem du ihre Teilermenge vergleichst. Die Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen, sind gemeinsame Teiler.

Beispiel: Bestimme die gemeinsamen Teiler von 9 und 24

Vergleiche dazu die Teilermengen 

  • T9 = {1; 3; 9}
  • T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

In so einer Abbildung lässt sich die gemeinsame Teilermenge auch gut darstellen:

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Gemeinsame Teilermenge

Die gemeinsame Teilermenge von 9 und 24 ist gT(9; 24) = {1; 3}.

Gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen bekommst du, indem du die Vielfachenmengen vergleichst. Es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache.

Beispiel: Was sind die ersten drei gemeinsamen Vielfachen von 3 und 6?

  • V3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;…}
  • V6 = {6; 12; 18;…}

Die gemeinsamen Vielfachen von 3 und 6 sind gV(3;6) = {6; 12; 18;…}

Liste mit Vielfachen von 1 bis 20

Hier siehst du eine Liste von allen Vielfachen von 1 bis 20.

Vielfache von 1 V1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;…}
Vielfache von 2 V2 = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;…}
Vielfache von 3 V3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21;…}
Vielfache von 4 V4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24;…}
Vielfache von 5 V5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30;…}
Vielfache von 6 V6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36;…}
Vielfache von 7 V7 = {7; 14; 21; 28; 35; 42;…}
Vielfache von 8 V8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48;…}
Vielfache von 9 V9 = {9; 18; 27; 36; 45; 54;…}
Vielfache von 10 V10 = {10; 20; 30; 40; 50;…}
Vielfache von 11 V11 = {11; 22; 33; 44; 55;…}
Vielfache von 12 V12 = {12; 24; 36; 48; 60;…}
Vielfache von 13 V13 = {13; 26; 39; 52; 65;…}
Vielfache von 14 V14 = {14; 28; 42; 56; 70;…}
Vielfache von 15 V15 = {15; 30; 45; 60; 75;…}
Vielfache von 16 V16 = {16; 32; 48; 64; 80;…}
Vielfache von 17 V17 = {17; 34; 51; 68; 85;…}
Vielfache von 18 V18 = {18; 36; 54; 72; 90;…}
Vielfache von 19 V19 = {19; 38; 57; 76; 95;…}
Vielfache von 20 V20 = {20; 40; 60; 80; 100;…}

Liste mit häufigen Teilern

Wir haben dir auch eine Liste mit den häufigsten Teilern zusammengeschrieben. Hier findest du unter anderem alle Teiler von 36 und alle Teiler von 150.

Teiler von 16 T16 = {1; 2; 4; 8; 16}
Teiler von 24 T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Teiler von 32 T32 = {1; 2; 4; 9; 16; 32}
Teiler von 36 T36 = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
Teiler von 48 T48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
Teiler von 150 T150 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 25; 30; 50; 50; 75; 150}

Teilbarkeitsregeln

Jetzt weißt du, was Teiler und Vielfache sind! Du brauchst sie zum Beispiel bei den Teilbarkeitsregeln. Schau dir direkt unser Video an, wenn du wissen willst, was es damit auf sich hat!

Zum Video: Teilbarkeitsregeln
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