Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
 – Video

Hier erklären wir dir, was ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ist und wie du ein kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen kannst. Wenn du wenig Zeit hast, dann schau doch einfach kurz unser Video zum Thema!

Kleinstes gemeinsames Vielfaches einfach erklärt

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von den beiden Zahlen ist.

Beispiel: Die Zahlen 2 und 3 haben als kleinstes gemeinsames Vielfaches die 6. Du kannst hier das kgV leicht ermitteln, weil 6 die kleinste Zahl ist, die gleichzeitig ein Vielfaches von 2 und 3 ist.

\textbf{kgV(2,3) = 6}

Mathematische Schreibweise: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen \textbf{a} und \textbf{b} notierst du mit

\textbf{kgV(a,b)}.

Hinweis: Ein kleinster gemeinsamer Vielfacher ist auch die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen geteilt werden kann.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen

Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches brauchst du zum Beispiel, wenn du zwei Brüche vergleichen oder Brüche addieren und subtrahieren sollst.

Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache mit dem Zahlenreihenverfahren oder der Primfaktorzerlegung bestimmen. Wir zeigen es dir direkt am Beispiel.

kgV mit Zahlenreihe bestimmen

Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches findest du, indem du dir die Zahlenreihen der beiden Zahlen anschaust. Als Beispiel sollst du jetzt für 6 und 8 das kgV berechnen.

  • Schritt 1: Bilde für beide Zahlen eine Zahlenreihe, indem du ihre Vielfachen ausrechnest. 

Z_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...\}

Z_8 = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...\}

  • Schritt 2: Suche Zahlen, die in beiden Zahlenreihen enthalten sind, und markiere sie.

Z_6 = \{6, 12, 18, \textcolor{blue}{\textbf{24}}, 30, 36, 42, \textcolor{blue}{\textbf{48}}, 54, ...\}

Z_8 = \{8, 16, \textcolor{blue}{\textbf{24}}, 32, 40, \textcolor{blue}{\textbf{48}}, 56, 64, 72, ...\}

  • Schritt 3: Schau dir die Zahlen an, die du gerade markiert hast, und finde die kleinste davon.

Z_6 = \{6, 12, 18, \textcolor{red}{\textbf{24}}, 30, 36, 42, 48, 54, ...\}

Z_8 = \{8, 16, \textcolor{red}{\textbf{24}}, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...\}

  • Schritt 4: Die Zahl, die du gerade gefunden hast, ist das kleinste gemeinsame Vielfache. 

\textbf{kgV(6, 8)= 24}

Mit den Zahlenreihen bekommst du heraus, dass das kgV von 6 und 8 gleich 24 ist. 24 ist damit der kleinste gemeinsame Nenner.

kgV mit Primfaktorzerlegung

Du kannst auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen, indem du die Primfaktorzerlegung benutzt.

Beispiel 1

Zuerst sollst du für 6 und 10 das kgV berechnen.  

  • 1. Primfaktorzerlegung: Führe für 6 und 10 jeweils die Primfaktorzerlegung durch. 

6 = 3 \cdot 2

10 = 2\cdot 5

  • 2. einzelne Primfaktoren auswählen: Wähle die Primfaktoren aus, die du für das kleinste gemeinsame Vielfache brauchst. Dafür markierst du alle Primfaktoren, die nur einmal vorkommen. Die musst du immer ins kgV einrechnen. Hier sind das die 3 und die 5.

6 = \textcolor{blue}{\textbf{3}} \cdot 2

10 = 2 \cdot \textcolor{blue}{\textbf{5}}

  • 3. doppelte Primfaktoren auswählen: Die 2 kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Trotzdem musst du aber nur eine 2 aus den beiden Primfaktorzerlegungen markieren.

6 =3 \cdot 2

10 = \textcolor{red}{\textbf{2}} \cdot 5

  • 4. kgV berechnen: Jetzt nimmst du die \textcolor{red}{2}, die \textcolor{blue}{3} und die \textcolor{blue}{5} und multiplizierst sie miteinander. Das Produkt ist dann dein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

\textbf{kgV(6, 10)} = \textcolor{red}{\textbf{2}} \cdot \textcolor{blue}{\textbf{3}} \cdot \textcolor{blue}{\textbf{5}} = \textbf{30}

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 10 ist 30. Prüf das mit dem Zahlenreihenverfahren nach!

Beispiel 2 

Du musst jetzt für 54 und 63 das kgV berechnen.

  • 1. Primfaktorzerlegung berechnen:

54 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 3^{3} \cdot 2

63 = 7 \cdot 3 \cdot 3 = 7 \cdot 3^{2}

  • 2. einzelne Primfaktoren auswählen: Die 2 und die 7 kommen nur einmal vor, also brauchst du sie auf jeden Fall. 

54 = {3^{3} \cdot \textcolor{blue}{2}

63 = \textcolor{blue}{7} \cdot 3^{2}

  • 3. doppelte Primfaktoren auswählen: Die 3 kommt bei der Primfaktorzerlegung von 54 als Dreierpotenz vor, bei 63 als Zweierpotenz. Wie oft musst du jetzt die 3 in die Berechnung des kgV mitnehmen? Du musst immer die Zahl mit der höheren Potenz nehmen, also hier 3^{3}.

54 = \textcolor{red}{3^{3}} \cdot 2

63 = 7 \cdot 3^{2}

  • 4. kgV berechnen: Du erhältst dein kleinstes gemeinsames Vielfaches, indem du deine ausgewählten und markierten Zahlen \textcolor{blue}{7}, \textcolor{blue}{2} und \textcolor{red}{3^{3}} multiplizierst.

\textbf{kgV(54, 63)} = \textcolor{red}{3^{3}} \cdot \textcolor{blue}{\textbf{7}} \cdot \textcolor{blue}{\textbf{2}} = \textbf{378}

Du siehst also, dass du auch für 54 und 63 das kgV berechnen kannst und ein Ergebnis von 378 bekommst.

kgV und ggT

Außerdem musst du wissen, dass ein kleinstes gemeinsames Vielfaches und ein größter gemeinsamer Teiler, kurz ggT, zusammenhängen

\textbf{kgV(a, b)} = \frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{\textbf{ggT(a, b)}} 

\textbf{kgV(9, 12 )}= \frac{\textbf{9}\cdot\textbf{12}}{\textbf{ggT(9, 12)}} = \frac{\textbf{108}}{\textbf{3}} = \textbf{36}.

Damit du den Zusammenhang von ggT und kgV in Mathe wirklich verstehst und deine Prüfung bestehst, schau dir auf jeden Fall noch unser Video zum größten gemeinsamen Teiler an! 

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Zum Video: Größter gemeinsamer Teiler

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