Primfaktorzerlegung
Mit der Primfaktorzerlegung zerlegst du Zahlen in ihre kleinsten Bausteine. Wie genau das funktioniert und wie du dabei Schritt für Schritt vorgehst, erfährst du hier und im Video.
Inhaltsübersicht
Was ist eine Primfaktorzerlegung?
Bei einer Primfaktorzerlegung schreibst du eine natürliche Zahl als Produkt aus Primzahlen:
18 = 2 · 3 · 3
Die einzelnen Primzahlen in dem Produkt nennst du auch Primfaktoren. Zum Beispiel sind das bei der 18 die 2 und 3. Die Reihenfolge, in der du die Primfaktoren aufschreibst, ist dabei egal. Das heißt, du kannst die Primfaktorzerlegung der 18 auch so schreiben:
18 = 2 · 3 · 3 = 3 · 3 · 2 = 3 · 2 · 3
Primzahlen sind Zahlen, die du nur durch 1 und sie selbst teilen kannst, ohne dass ein Rest entsteht. Zum Beispiel sind 2, 3, 5 oder 7 Primzahlen.
Wie machst du eine Primfaktorzerlegung?
Eine Primfaktorzerlegung startest du am besten mit der kleinsten Primzahl, der 2. Klappt die 2 nicht, testest du immer größere Primzahlen wie 3 oder 5. So gehst du schrittweise vor bis du die Zahl komplett in Primzahlen zerlegt hast.
Wie genau das geht, schauen wir uns mit der Zahl 90 an.
Schritt 1:
Als Erstes teilst du die 90 durch eine möglichst kleine Primzahl, ohne dass ein Rest übrig bleibt. Das ist hier die 2. Du rechnest also:
→ 90 : 2 = 45
Schritt 2:
Jetzt überprüfst du, ob du das Ergebnis wieder ohne Rest durch 2 teilen kannst. 45 ist leider nicht gerade, also kannst du sie nicht durch 2 teilen. Deshalb probierst du die 3 als nächste Primzahl aus:
→ 45 : 3 = 15
Schritt 3:
Du teilst dein Ergebnis jetzt immer weiter durch möglichst kleine Primzahlen. Die 15 ist wieder durch 3 teilbar. Also erhältst du:
→ 15 : 3 = 5
Das Ergebnis 5, ist auch eine Primzahl. Das bedeutet, dass du mit deiner Primfaktorzerlegung fertig bist.
Schritt 4:
Zum Schluss schreibst du alle Primzahlen, mit denen du gerechnet hast, nebeneinander und machst ein Mal-Zeichen dazwischen. Das sieht dann so aus:
→ 90 = 2 · 3 · 3 · 5
Fertig ist die Primfaktorzerlegung!
Die richtigen Primzahlen findest du auch mithilfe folgender Teilbarkeitsregeln:
- wenn die letzte Ziffer gerade ist, kannst du durch 2 teilen.
- wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist, kannst du die Zahl durch 3 teilen.
- wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist, kannst du durch 5 teilen.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Beispiele zur Primfaktorzerlegung
In den folgenden Beispielen siehst du Schritt für Schritt, wie du verschiedene Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegst. Dabei gehst du immer nach demselben Muster vor.
Beispiel — Zerlege die 56 in Primzahlen
-
Schritt 1: 56 ist eine gerade Zahl. Du kannst sie durch 2 teilen.
56 : 2 = 28 -
Schritt 2: 28 ist ebenfalls gerade. Du teilst also wieder durch 2.
28 : 2 = 14 -
Schritt 3: Auch 14 ist noch durch 2 teilbar.
14 : 2 = 7 -
Schritt 4: Die 7 ist eine Primzahl. Du kannst sie nicht weiter zerlegen. Jetzt bist du fertig. Am Ende setzt du alle Faktoren zusammen:
56 = 2 · 2 · 2 · 7
Beispiel — Zerlege die Zahl 882 in Primzahlen
-
Schritt 1: 882 ist gerade. Du kannst durch 2 teilen.
882 : 2 = 441 -
Schritt 2: 441 ist nicht gerade. Prüfe also die nächste Primzahl 3.
441 : 3 = 147 -
Schritt 3: 147 ist wieder durch 3 teilbar.
147 : 3 = 49 -
Schritt 4: 49 ist nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar. Die nächste passende Primzahl ist also 7.
49 : 7 = 7 -
Schritt 5: Dein Ergebnis, die 7, ist eine Primzahl. Damit bist du fertig. Jetzt schreibst du alle Faktoren zusammen:
882 = 2 · 3 · 3 · 7 · 7
Übungen zur Primfaktorzerlegung
Mit diesen Übungen kannst du nochmal üben, ob du die Primfaktorzerlegung verstanden hast.
Übung 1: Zerlege die Zahl 36 in Primfaktoren.
Lösung 1: 36 : 2 = 18 → 18 : 2 = 9 → 9 : 3 = 3
→ 36 = 2 · 2 · 3· 3
Übung 2: Zerlege die Zahl 84 in Primfaktoren.
Lösung 2: 84 : 2 = 42 → 42 : 2 = 21 → 21 : 3 = 7
→ 84 = 2 · 2 · 3 · 7
Übung 3: Zerlege die Zahl 360 in Primfaktoren.
Lösung 3: 360 : 2 = 180 → 180 : 2 = 90 → 90 : 2 = 45 → 45 : 3 = 15 → 15 : 3 = 5
→ 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3· 5
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Mit der Primfaktorzerlegung lassen sich auch weitere Aufgaben lösen. Wie du damit das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmst, zeigen wir dir hier.
