Primfaktorzerlegung

Was ist eine Primfaktorzerlegung?

Bei einer Primfaktorzerlegung schreibst du eine natürliche Zahl als Produkt aus Primzahlen.

➡️ Beispiel:
Die Zahl 18 kannst du als 2 · 3 · 3 schreiben. Alle Faktoren sind Primzahlen.

Keine Sorge wegen der Reihenfolge. Jede Zahl hat ihre festen Primfaktoren. Es ist egal, welchen du zuerst findest. Am Ende hast du immer dasselbe Ergebnis.

Übrigens: Die Zahlen, die du dann am Ende der Primfaktorzerlegung multiplizierst, heißen Primfaktoren.

Wie machst du eine Primfaktorzerlegung?

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl funktioniert immer gleich: Du teilst deine Zahl durch eine Primzahl, bei der du ein Ergebnis ohne Rest erhältst. Dieses Ergebnis teilst du dann wieder durch eine Primzahl, bis du ein weiteres restloses Ergebnis hast. Das wiederholst du so oft, bis du dein Ergebnis nicht mehr weiter teilen kannst.

Tipp: Am einfachsten, bei der Primfaktorzerlegung mit der kleinsten Primzahl, der 2, zu starten. Danach arbeitest du dich mit immer größeren Primzahlen, wie 3 oder 5 vor, bis du fertig bist.

Wie genau das geht, schauen wir uns mit der Zahl 90 an.

Schritt 1:
Als Erstes teilst du die 90 durch eine möglichst kleine Primzahl, ohne dass ein Rest übrig bleibt. Am besten ist hier die 2. Du rechnest also:
→ 90 : 2 = 45

Schritt 2:
Jetzt überprüfst du, ob du das Ergebnis wieder ohne Rest durch 2 teilen kannst. 45 ist leider nicht gerade, also kannst du sie nicht durch 2 teilen. Deshalb probierst du die 3 als nächste Primzahl aus:
→ 45 : 3 = 15

Schritt 3:
Du teilst dein Ergebnis jetzt immer weiter durch möglichst kleine Primzahlen. Die 15 ist wieder durch 3 teilbar. Also erhältst du:
→ 15 : 3 = 5
Das Ergebnis, die 5, ist allerdings auch eine Primzahl. Das bedeutet, dass du mit deiner Primfaktorzerlegung fertig bist.

Schritt 4:
Zum Schluss schreibst du alle Primzahlen, mit denen du gerechnet hast, nebeneinander und machst ein Mal-Zeichen dazwischen. Das sieht dann so aus:
→ 90 = 2 · 3 · 3 · 5

Beispiele zur Primfaktorzerlegung

In den folgenden Beispielen siehst du Schritt für Schritt, wie du verschiedene Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegst. Dabei gehst du immer nach demselben Muster vor.

Beispiel — Zerlege die 56 in Primzahlen

• Schritt 1: 56 ist eine gerade Zahl. Du kannst sie durch 2 teilen.
  56 : 2 = 28
• Schritt 2: 28 ist ebenfalls gerade. Du teilst also wieder durch 2.
  28 : 2 = 14
• Schritt 3: Auch 14 ist noch durch 2 teilbar.
  14 : 2 = 7
• Schritt 4: Die 7 ist eine Primzahl. Du kannst sie nicht weiter zerlegen. Jetzt bist du fertig. Am Ende setzt du alle Faktoren zusammen:
  56 = 2 · 2 · 2 · 7

Beispiel — Zerlege die Zahl 882 in Primzahlen

• Schritt 1: 882 ist gerade. Du kannst durch 2 teilen.
  882 : 2 = 441
• Schritt 2: 441 ist nicht gerade. Prüfe also die nächste Primzahl 3.
  441 : 3 = 147
• Schritt 3: 147 ist wieder durch 3 teilbar.
  147 : 3 = 49
• Schritt 4: 49 ist nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar. Die nächste passende Primzahl ist also 7.
  49 : 7 = 7
• Schritt 5: Dein Ergebnis, die 7, ist eine Primzahl. Damit bist du fertig. Jetzt schreibst du alle Faktoren zusammen:
  882 = 2 · 3 · 3 · 7 · 7

Übungen zur Primfaktorzerlegung

Mit diesen Übungen kannst du nochmal üben, ob du die Primfaktorzerlegung verstanden hast.

Übung 1: Zerlege die Zahl 36 in Primfaktoren.

Lösung 1: 36 : 2 = 18 → 18 : 2 = 9 → 9 : 3 = 3
→ 36 = 2 · 2 · 3

Übung 2: Zerlege die Zahl 84 in Primfaktoren.

Lösung 2: 84 : 2 = 42 → 42 : 2 = 21 → 21 : 3 = 7
→ 84 = 2 · 2 · 3 · 7

Übung 3: Zerlege die Zahl 360 in Primfaktoren.

Lösung 3: 360 : 2 = 180 → 180 : 2 = 90 → 90 : 2 = 45 → 45 : 3 = 15 → 15 : 3 = 5
→ 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Mit der Primfaktorzerlegung lassen sich auch weitere Aufgaben lösen. Wie du damit das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmst, zeigen wir dir hier.