Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
 – Video

Bei der Primfaktorzerlegung zerlegst du eine Zahl in eine Multiplikation von Primzahlen. Wie das geht, zeigen wir dir im Video .

Was ist eine Primfaktorzerlegung?

Mithilfe der Primfaktorzerlegung kannst du eine Zahl als Produkt (⋅) darstellen. Jede natürliche Zahl ist entweder eine Primzahl oder du kannst sie in ein Produkt aus Primzahlen (Primfaktoren) zerlegen. Der Vorgang nennt sich dann Primfaktorzerlegung.

Beispiel: 420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 

Für jede Zahl gibt es nur eine Primfaktorzerlegung. Lediglich die Reihenfolge der Primfaktoren kann unterschiedlich sein. Primzahlen  sind natürliche Zahlen ab 2, die nur zwei Teiler besitzen. Sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar (2, 3, 5, 7, 11,…).

Welche Zahlen sind Primzahlen?

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn beim Teilen kein Rest entsteht.

12 : 2 = 6 → teilbar

13 : 2 = 6 Rest: 1 → nicht teilbar

Wie gelingt eine Primfaktorzerlegung?

Wenn du eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen möchtest, dann gehst du immer nach dem selben Schema vor:

  1. Finde heraus, durch welche Primzahl deine Zahl teilbar ist.
  2. Schreibe deine Zahl in ein Produkt um.
  3. Prüfe, ob eine weitere Zerlegung möglich ist und wiederhole Schritt 1 und 2 solange, bis alle Faktoren Primzahlen sind. Eine Primzahl, durch die du nicht teilen kannst, brauchst du kein weiteres Mal prüfen.

Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch eine Primzahl geteilt werden kann, gibt es für manche Primzahlen Tricks:

Tipp

Eine Zahl ist durch die Primzahl…

  • 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist.
  • 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.

Im Folgenden zeigen wir dir an mehreren Beispielen, wie du eine Zahl in Primzahlen zerlegen kannst.

Beispiel – Zerlege die Zahl 56 in Primfaktoren

1.Finde heraus, durch welche Primzahl 56 teilbar ist: Dazu startest du bei der kleinsten Primzahl 2. Die 56 kannst du durch 2 teilen.

56 : 2 = 28

2. Schreibe die Zahl 56 in ein Produkt um: Da 56 : 2 = 28, kannst du 56 als eine Multiplikation 2 ⋅ 28 schreiben.

56 = 2 ⋅ 28

3. Prüfe, ob eine weitere Zerlegung möglich ist und wiederhole Schritt 1 und 2, bis alle Faktoren Primzahlen sind.

  • Ist 28 weiter zerlegbar?

Die Zahl 28 ist wieder durch 2 teilbar. Da 28 : 2 = 14, kannst du 28 durch 2 ⋅ 14 ersetzen.

Primfaktorzerlegung, Faktorzerlegung, Primzahlzerlegung
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Primfaktorzerlegung von 56
  • Ist 14 weiter zerlegbar?

Auch die Zahl 14 ist durch 2 teilbar und kann durch das Produkt 2 ⋅ 7 ersetzt werden.

Primfaktorzerlegung, Faktorzerlegung, Primzahlzerlegung
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Primfaktorzerlegung von 56
  • Ist 7 weiter zerlegbar?

Die Zahl 7 kannst du nicht weiter in Primzahlen zerlegen, da sie selbst eine Primzahl ist. Du bist also fertig!

Beispiel – Zerlege 882 in Primzahlen

1. Finde heraus, durch welche Primzahl 882 teilbar ist: Starte bei der kleinsten Primzahl 2. Da 882 eine gerade Zahl ist, kannst du durch 2 teilen.

882: 2 = 441

2. Schreibe die Zahl als Produkt

882 = 2 ⋅ 441

3. Prüfe, ob eine weitere Zerlegung möglich ist und wiederhole Schritt 1 und 2 solange, bis alle Faktoren Primzahlen sind.

  • Ist 441 weiter zerlegbar? 

441 ist nicht durch 2 ohne Rest teilbar (441 :2 = 220 Rest 1). Prüfen wir also die nächstgrößere Primzahl 3. Die Zahl 441 ist durch 3 teilbar: 441 : 3 = 147.

Primzahlzerlegung, Primfaktorzerlegung, Faktorzerlegung
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Primfaktorzerlegung von 882
  • Ist 147 weiter zerlegbar?

Der letzte Primteiler war die 3. Mache also damit weiter und prüfe, ob die 147 durch 3 teilbar ist. Da 147 : 3 = 49, kannst du 147 als eine Multiplikation 3 ⋅ 49 schreiben.

Primzahlzerlegung, Primfaktorzerlegung, Faktorzerlegung
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Primfaktorzerlegung von 882
  • Ist 49 weiter zerlegbar?

Auch hier prüfen wir wieder zuerst die Primzahl 3. Da 49 : 3 = 16 Rest 1 einen Rest hat, kannst du den Primfaktor 3 nicht noch einmal abspalten. Stattdessen musst du mit der nächsthöheren Primzahl 5 weitermachen. Da du auch bei 49 : 5 = 9 Rest 4 einen Rest hast, kannst du auch durch 5 nicht teilen. Die nächste Primzahl ist die 7. Es ist 49 : 7 = 7, damit kannst du durch 7 teilen. Du kannst 49 also in die Primzahlen 7 ⋅ 7 zerlegen.

Primzahlzerlegung, Primfaktorzerlegung, Faktorzerlegung
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Primfaktorzerlegung von 882

Da die letzte Zahl 7 bereits ein Primfaktor ist, kannst du sie nicht weiter in Primzahlen zerlegen. Nun ist auch die letzte Zahl ein Primfaktor. Deine Primfaktorzerlegung ist damit fertig!

Hinweis: Da die Primfaktoren 2 und 7 in der Primfaktorzerlegung mehrmals vorkommen, kannst du die Primfaktoren in der Potenzschreibweise zusammenfassen.

882 = 2 ⋅ 3 3 7 7

= 2 ⋅

Primfaktorzerlegung Übungen

Hier findest du zur Primfaktorzerlegung einige Übungen, mit denen du überprüfen kannst, ob du die Erklärung verstanden hast. Du sollst folgende Zahlen in Primzahlen zerlegen.

Übung 1:    150

Übung 2:    84

Übung 3:    945

Lösungen: 

Jetzt kannst du kontrollieren, ob du die Primfaktorzerlegung Übungen richtig gemacht hast.

Übung 1 :     150 = 2 ⋅ 75

                              = 2 ⋅ 3 ⋅ 25

                              = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5

                              = 2 ⋅ 3 ⋅ 52

Übung 2 :     84    = 2 ⋅ 42

                                = 2 ⋅ 2 ⋅ 21

                                = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Übung 3 :     945 = 3 ⋅ 315

                                = 3 ⋅ 3 ⋅ 105

                                = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 35

                                = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

ggT und kgV

Mithilfe der Primfaktorzerlegung kannst du ganz einfach das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) oder den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen herausfinden. Wie genau du dabei vorgehst, erfährst du in unseren extra Videos dazu. Schau dir gleich unser Video zum ggT an! 

Zum Video: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Zum Video: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

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