Mathematische Grundlagen

Du möchtest wissen, was ein größter gemeinsamer Teiler ist und wie du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst? Dann bist du hier richtig! In unserem Video erklären wir es dir mit verschiedenen Beispielen.

Inhaltsübersicht

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei Zahlen ist die größte Zahl durch die du beide Zahlen teilen kannst.

Beispiel: Größter gemeinsamer Teiler von 4 und 6 ist 2. Hier kannst du den ggT leicht finden. 2 ist die größte Zahl durch die du 4 und 6 teilen kannst.

\textbf{ggT(4, 6) = 2}

Mathematische Schreibweise: Für die Zahlen \textbf{a} und \textbf{b} sieht der größte gemeinsame Teiler so aus.

\textbf{ggT(a, b)} 

Hinweis: Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, von der beide Ausgangszahlen ein Vielfaches sind.

ggT berechnen

Ein größter gemeinsamer Teiler ist für dich vor allem nützlich, wenn du einen Bruch kürzen sollst. Deshalb ist es wichtig, dass du das ggT berechnen auch richtig gut beherrschst.

Beim ggT berechnen helfen dir Teilermengen, die Primfaktorzerlegung oder der euklidische Algorithmus weiter. Wir zeigen dir die drei Methoden am Beispiel, damit du das Thema größter gemeinsamer Teiler gut verstehst.

ggT mit Teilermengen bestimmen

Du sollst als erstes den größten gemeinsamen Teiler für 18 und 48 ermitteln.

  • Schritt 1:  Stelle die Teilermengen für 18 und 48 auf. Dazu findest du alle Zahlen, durch die sich 18 und 48 teilen lassen.

T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}

T_{48} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}

  • Schritt 2: Jetzt markierst du alle Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

T_{18} = \{\textcolor{blue}{\textbf{1}}, \textcolor{blue}{\textbf{2}}, \textcolor{blue}{\textbf{3}}, \textcolor{blue}{\textbf{6}}, 9, 18\}

T_{48} = \{\textcolor{blue}{\textbf{1}}, \textcolor{blue}{\textbf{2}}, \textcolor{blue}{\textbf{3}}, 4, \textcolor{blue}{\textbf{6}}, 8, 12, 16, 24, 48\}

  • Schritt 3: Suche die größte deiner markierten Zahlen.

T_{18} = \{1, 2, 3, \textcolor{red}{\textbf{6}}, 9, 18\}

T_{48} = \{1, 2, 3, 4, \textcolor{red}{\textbf{6}}, 8, 12, 16, 24, 48\}

  • Schritt 4: Die Zahl, die du jetzt gefunden hast, ist der größte gemeinsame Teiler.

\textbf{ggT(18, 48) = 6}

Größter gemeinsamer Teiler von 18 und 48 ist also 6. 

ggT mit Primfaktorzerlegung

Mit der Primfaktorzerlegung  hast du eine zweite Möglichkeit, mit der du einen größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst. In unserem Beispiel musst du für 36 und 66 den ggT berechnen. 

  • 1. Primfaktorzerlegung berechnen:

36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

66 = 2 \cdot 3 \cdot 11

  • 2. gemeinsame Primfaktoren finden: Markiere alle Primfaktoren, die gleichzeitig in beiden Primfaktorenzerlegungen vorkommen. Hier ist das einmal die 2 und einmal die 3.

36 = \textcolor{blue}{\textbf{2}} \cdot 2 \cdot \textcolor{blue}{\textbf{3}} \cdot 3

66 = \textcolor{blue}{\textbf{2}} \cdot\textcolor{blue}{\textbf{3}} \cdot 11

  • 3. ggT berechnen: Die markierten gemeinsamen Primfaktoren \textcolor{blue}{\textbf{2}} und \textcolor{blue}{\textbf{3}} musst du jetzt miteinander multiplizieren, um den ggT zu berechnen.

\textbf{ggT(36, 66)} = \textbf{2} \cdot \textbf{3} = \textbf{6}

Mit der Primfaktorzerlegung ist ein größter gemeinsamer Teiler kein Problem für dich. Du siehst, dass der ggT von 36 und 66 gleich 6 ist. 

ggT mit Euklidischem Algorithmus

Du hast noch eine dritte Möglichkeit, wie du den größten gemeinsamen Teiler berechnen kannst, und zwar den euklidischen Algorithmus. Dabei musst du die Zahlen solange dividieren, bis kein Rest mehr bleibt. Berechne jetzt den ggT für die Zahlen 12 und 27.

  • Schritt 1:  Teile die größere Zahl durch die kleinere und schreib dir den Rest auf.

\frac{27}{12} = 2     Rest \textbf{\textcolor{blue}{3}}

  • Schritt 2: Teile jetzt den Nenner aus Schritt 1, also 12, durch den Rest \textbf{\textcolor{blue}{3}}.

\frac{12}{\textbf{\textcolor{blue}{3}}} = 4     Rest \textcolor{red}{\textbf{0}}.

  • Schritt 3: Du wiederholst das solange, bis du einen Rest \textcolor{red}{\textbf{0}} hast. Der Nenner aus der letzten Rechnung ist der größte gemeinsame Teiler. In deinem Fall ist das \textbf{\textcolor{blue}{3}}.

\textbf{ggT(12, 27) = 3}

Du kannst also durch Dividieren auch mit dem euklidischen Algorithmus den ggT berechnen.

ggT mit kgV berechnen

Du musst zum ggT in Mathe auch im Kopf haben, dass es einen Zusammenhang zwischen größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) gibt. So kannst du für Zahl a und Zahl b auch den ggT berechnen, indem du Zahl a mal Zahl b durch das kgV teilst.

\textbf{ggT(a, b)} = \frac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{\textbf{kgV(a, b)}}

\textbf{ggT(16, 50)} = \frac{\textbf{16} \cdot \textbf{50}}{\textbf{kgV(16, 50)}} = \frac{\textbf{800}}{\textbf{400}} = \textbf{2}

Schau dir unbedingt auch noch unser Video zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen an! 

Zum Video: kleinstes gemeinsames Vielfaches, größter gemeinsamer Teiler, ggT
Zum Video: kleinstes gemeinsames Vielfaches

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