Satz des Pythagoras Beweis

Satz des Pythagoras — Aussage

Schau dir für den Beweis des Satz des Pythagoras zuerst nochmal an, was er genau aussagt.

Stell dir dazu ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $c$

a² + b² = c²

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Um diesen Satz zu beweisen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Die einfachste ist der geometrische Beweis.

Satz des Pythagoras — Einführung in den geometrischen Beweis

Stell dir jetzt vor, du schneidest aus einem Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge c aus, das ist das Quadrat c². Dann schneidest du noch vier gleiche rechtwinklige Dreiecke ABC mit den Seitenlängen a, b und c aus.

An jede Seite von c² legst du dann eines der Dreiecke so, dass sich ein größeres Quadrat bildet. Das größere Quadrat hat dann die Seitenlänge a + b und sieht so aus: 

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Du kannst den Satz des Pythagoras jetzt beweisen, indem du den Flächeninhalt von dem großen Quadrat ausrechnest. 

Vertiefung: Warum hat sich wieder ein Quadrat gebildet?

Dass sich jetzt ein Quadrat gebildet hat, liegt an der Innenwinkelsumme.  In einem Dreieck beträgt die Summe der Winkel nämlich 180°. Ein rechter Winkel hat 90°, also haben die Winkel α und β zusammen auch 90°. Das ergibt dann zusammen mit dem rechten Winkel von dem Quadrat c² wieder 180°.

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Deswegen kannst du die Teile zu einem großen Quadrat zusammen setzen.

Satz des Pythagoras — geometrischer Beweis

Du kannst jetzt den Flächeninhalt von dem großen Quadrat auf zwei verschiedene Arten ausrechnen:

1. Das Quadrat hat die Seitenlänge a + b. Also kannst du seinen Flächeninhalt so ausrechnen: (a + b)². Hier kannst du die erste binomische Formel anwenden, um die Klammer auszumultiplizieren:
   (a + b)² = a² + 2ab + b²
          
2. Du kannst den Flächeninhalt aber auch berechnen, indem du die Flächen der einzelnen Teile, aus denen du das große Quadrat zusammengesetzt hast, zusammenrechnest.
    
   Du addierst also die Fläche von c² und viermal die Fläche von deinem Dreieck ABC. Da dein Dreieck rechtwinklig ist, kannst du den Flächeninhalt eines der Dreiecke mit  · a · b berechnen.
    
   Also kannst du die Fläche von deinem großen Quadrat auch so berechnen: c² + 4 · ( · a · b). Die Klammer kannst du auflösen, dann sieht die Formel so aus:
    
   c² + 4 · ( · a · b) = c² + 4 · · a · b = c² + 2ab
    
   Jetzt hast du also zwei Formeln für den Flächeninhalt von dem großen Quadrat. Die kannst du jetzt gleichsetzen:
    
   a² + 2ab + b² = c² + 2ab
    
   Die Gleichung kannst du jetzt vereinfachen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung  2ab abziehst.
    
   a² + 2ab + b² = c² + 2ab | – 2ab
    
   a² + b² = c²
    
   Du siehst: Der Satz des Pythagoras bleibt übrig! Damit hast du ihn bewiesen. 

Hier siehst du die beiden Varianten den Flächeninhalt zu berechnen nochmal als Bild:

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Du erkennst an dem Bild nochmal gut: Beide Formeln beschreiben die gleiche Fläche. 

Satz des Pythagoras Beweis — häufigste Fragen

• Was ist der geometrische Beweis für den Satz des Pythagoras?
  Für den geometrischen Beweis wird ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $²$
• Was ist der Beweis für den Satz des Pythagoras?
  Neben dem geometrischen Beweis gibt es auch noch algebraische Beweise für den Satz des Pythagoras. Dafür wird eine Gleichung aufgestellt, aus der die Gleichung a²+b²=c² hervorgeht. 
         
• Wie überprüft man den Satz des Pythagoras?
  Der Satz des Pythagoras sagt aus: Wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest, sind die Flächeninhalte der Kathetenquadrate zusammen genauso groß, wie das Hypotenusenquadrat. Das kannst du mit dem geometrischen Beweis belegen. 

a² + b² = c²

Jetzt weißt du, wie du den Satz des Pythagoras beweist. Du kannst ihn anwenden, indem du die Gleichung umstellst. Wie das geht, erfährst du hier.