Geometrie

Satz des Pythagoras

Hier erklären wir dir, was der Satz des Pythagoras ist und wie du mit der Formel umgehen kannst. In unserem Video zeigen wir dir nochmal anschaulich viele Beispiele. Schau es dir also unbedingt an!

Inhaltsübersicht

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras stellt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung zwischen den drei Seiten a, b und c her. 

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Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras Formel

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

a² + b² = c² .

Dabei sind a und b die beiden kurzen Seiten und c ist die lange Seite.

Für die Seiten im rechtwinkligen Dreieck gibt es folgende Begriffe:

  • Die Hypotenuse ist die Seite, die dem 90° Winkel gegenüber liegt und außerdem ist sie immer die längste Seite im Dreieck. Im Bild hat diese Seite die Bezeichnung c.
  • Wenn eine Seite am rechten Winkel liegt, wird sie Kathete genannt. Hier heißen die beiden Katheten a und b

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt also

( Kathete )² + ( Kathete )² = ( Hypotenuse )².

Satz des Pythagoras Beispiele

Lass uns gleich mal gemeinsam ein paar Beispiele ansehen.

Du willst mehr zum Thema Geometrie - Abstandsrechnung?

Beispiel 1

In diesem Beispiel sind die drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks mit a, b und c beschriftet.

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Satz des Pythagoras: Beispiel 1

Gegeben: a = 4 cm, b = 3 cm          Gesucht: Seitenlänge c in cm

Du kannst die gesuchte Länge mit dem Satz des Pythagoras finden.

  • Hat das Dreieck einen 90° Winkel?

Ja, zwischen den Seiten a und b. Deshalb darfst du den Satz des Pythagoras anwenden.

  • Wie lautet die Formel?

a^2+b^2=c^2

  • Angaben einsetzen

(4\text{cm})^2+(3\text{cm})^2 = c^2

  • Auflösen und Ausrechnen

    \begin{align*} c^2&=(4\text{cm})^2 + (3\text{cm})^2 && | \sqrt{...} \\ c &= \sqrt{(4\text{cm})^2 + (3\text{cm})^2} \\ c &= \sqrt{16 \text{cm}^2 + 9 \text{cm}^2} \\ c &= \sqrt{25 \text{cm}^2} \\ c &= 5 \text{cm} \end{align*}

Beispiel 2

Bei diesem Beispiel musst du die Formel mit dem Satz des Pythagoras einmal mit anderen Buchstaben bilden. 

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Satz des Pythagoras: Beispiel 2

Gegeben: y = 7 cm, z = 11 cm          Gesucht: Seitenlänge x in cm

Der Satz des Pythagoras hilft dir auch beim Lösen dieser Aufgabe.

  • Hat das Dreieck einen 90° Winkel?

Ja, der rechte Winkel liegt zwischen y und z.

  • Wie lautet die Formel?

x^2=y^2+z^2

  • Angaben einsetzen

x^2=(7\text{cm})^2+(11\text{cm})^2

  • Auflösen und Ausrechnen

    \begin{align*} x^2&=(7\text{cm})^2+(11\text{cm})^2 && | \sqrt{...} \\ x&=\sqrt{(7\text{cm})^2+(11\text{cm})^2} \\ x &= \sqrt{49 \text{cm}^2 + 121 \text{cm}^2} \\ x &= \sqrt{170} \text{cm} \end{align*}

Hinweis: Am Ende des Beitrags findest du noch ein praktisches Anwendungsbeispiel!

Anwendungsbeispiel

Der Satz des Pythagoras kann dir auch im Alltag helfen. Schauen wir uns dazu folgendes Anwendungsbeispiel an.

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Anwendungsbeispiel Rutsche

 

In einem Abenteuerpark wird eine neue Rutsche aufgestellt. Sie soll von einem 8 Meter hohen künstlichen Berg bis zum Boden reichen. Der Berg ist dabei 15 Meter vom Endpunkt der Rutsche entfernt. Wie lang ist die neue Rutsche?

Hinweis: Noch mehr Aufgaben , um den Satz des Pythagoras zu üben, findest du in unserem extra Beitrag dazu!

Lösung

Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?

Ja! Zwischen dem Berg und dem Ende der Rutsche. Du kannst also die Formel vom Satz des Pythagoras anwenden.

Welche Angaben hast du?

Die Entfernung zwischen dem Berg und Endpunkt auf dem Boden beträgt s=15\text{m}. Die zweite Kathete des Dreiecks ist der künstliche Berg mit einer Höhe von h=8\text{m}.

Wie lautet die Formel?

Nun stellst du den Satz des Pythagoras in diesem Dreieck auf. Die gesuchte Seite l ist gerade die Hypotenuse des Dreiecks. Es gilt also

l^2=h^2+s^2

Auflösen und Ausrechnen

Zum Abschluss setzt du noch die Zahlen ein und löst die Formel nach l auf.

    \begin{align*} l^2 &= h^2+s^2 \\ l^2 &= (8\text{m})^2 + (15\text{m})^2 && | \sqrt{...} \\ l &= \sqrt{(8\text{m})^2 + (15\text{m})^2} \\ l &= \sqrt{64\text{m}^2+225\text{m}^2} \\ l &= \sqrt{289 \text{m}^2} \\ l &= 17\text{m} \end{align*}

Die neue Rutsche wird also l = 17 \text{m} lang sein. 

Satz des Pythagoras Formel

Bisher hast du gesehen, wie du mit dem Satz des Pythagoras einzelne Seiten berechnen kannst. Die Formel basiert aber eigentlich auf Flächen, die gleich sind.

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Satz des Pythagoras mit Flächen

Wieder siehst du die Hypotenuse c und die Katheten a und b. An jede Seite des Dreiecks schließt ein Quadrat mit der jeweiligen Seitenlänge an. Das rote Quadrat hat also Seitenlänge a und damit den Flächeninhalt a². 

Erinnere dich an die Formel vom Satz des Pythagoras.

\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 = c^2

Diese Aussage kannst du auf die Flächen beziehen. Der Flächeninhalt des Quadrats bei c ist also genauso groß wie die beiden Flächeninhalte a Quadrat plus b Quadrat zusammen.

Der Satz des Pythagoras in Worten lautet also: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten.“

Satz des Pythagoras umstellen

Du kannst den Satz von Pythagoras dazu benutzen, um die Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen. Am einfachsten geht das mit der Hypotenuse.

c^2=a^2+b^2

c = \sqrt{a^2+b^2}

Um eine der beiden Katheten zu bestimmen, musst du den Satz des Pythagoras umstellen. Stellen wir den Satz des Pythagoras einmal nach a um.

    \begin{align*} a^2+b^2&=c^2 && | - b^2 \\ a^2 &= c^2 - b^2 && | \sqrt{...} \\ a &= \sqrt{c^2 - b^2} \end{align*}

Genauso kannst du mit dem Pythagoras die Länge der Kathete b bestimmen.

    \begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 && | -a^2 \\ b^2 &= c^2 - a^2 && | \sqrt{...} \\ b &= \sqrt{c^2-a^2} \end{align*}

Je nachdem, welche Seite du in einem rechtwinkligen Dreieck suchst, kannst du mit dem Satz des Pythagoras Formeln dafür finden.

Satz des Pythagoras Aufgaben

Super! Mit dem Satz des Pythagoras kannst du fehlende Seitenlängen in einem Dreieck nun einfach bestimmen. In einem extra Video haben wir viele verschieden Aufgaben zum Satz des Pythagoras zusammengestellt. Schau es dir gleich an, um dich perfekt auf deine nächste Prüfung vorzubereiten!

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Zum Video: Satz des Pythagoras Aufgaben
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