Geometrie
Dreiecke Grundlagen
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Flächeninhalt Dreieck einfach erklärt

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Ecken. Dadurch hat es immer drei Seiten. Die untere Seite des Dreiecks nennst du Grundseite g. Den Abstand dieser Grundseite von der gegenüberliegenden Ecke bezeichnest du als Höhe h

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Dreieck mit Grundseite und Höhe

Mit der Flächeninhalt Formel kannst du von jedem Dreieck den Flächeninhalt A berechnen:

Dreieck Flächeninhalt Formel

    \[\mbox{\Large $\begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{\text{Grundseite}} \cdot \textcolor{red}{\text{Höhe}} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}$}\]

Für den Flächeninhalt vom Dreieck multiplizierst du die Länge der Grundseite g mit der Höhe h und teilst das durch 2. Die Formel lautet deshalb: A = 1/2 ⋅ gh

Hast du zum Beispiel die Seitenlänge g = 6 cm und die Höhe h = 3 cm gegeben, dann berechnest du den Flächeninhalt des Dreiecks so:

    \[A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6 \text{cm}} \cdot \textcolor{red}{3 \text{cm}} = 9 \text{cm}^2\]

Flächeninhalt Dreieck berechnen

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? Mit der Formel kannst du die Fläche jedes Dreiecks berechnen. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Beispiel Fläche Dreieck berechnen

Im nächsten Beispiel sollst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Seitenlänge g = 5 cm und mit Höhe h = 1 cm berechnen.

  • Formel aufstellen

A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen

A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{1 \text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen

A = 2,5 \text{cm}^2

Dreieck Fläche Beispiel

Im letzten Beispiel hatten beiden Seiten die gleiche Maßeinheit, nämlich cm. Du kannst die Flächeninhalt Formel aber auch benutzen, wenn die Maßeinheiten unterschiedlich sind. Schau dir dazu ein Beispiel an:

Zur Flächenberechnung im Dreieck ist eine Seite der Länge g = 0,3 m und eine Höhe von h = 12 cm gegeben. 

  • Angaben umrechnen

Du musst zuerst die Angaben so umrechnen , dass du zwei gleiche Maßeinheiten hast. In diesem Fall gilt

\textcolor{blue}{g}=\textcolor{blue}{0,3\text{m}}=\textcolor{blue}{30\text{cm}}.

Jetzt kannst du die Formel anwenden und den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.

  • Formel aufstellen

A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen 

= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{30 \text{cm}} \cdot \textcolor{red}{12 \text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen

= 180\text{cm}^2

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck

Hat das Dreieck einen 90°- Winkel, nennst du es rechtwinkliges Dreieck. In diesem Spezialfall brauchst du keine Höhe zu suchen — du kannst einfach mit den beiden Seiten rechnen, die am rechten Winkel anliegen.

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Flächeninhalt Rechtwinkliges Dreieck

Statt A=\frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h} berechnest du in diesem Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck den Flächeninhalt mit der Formel

A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}.

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei der drei Seiten gleich lang. In einem solchen Dreieck gibt es dann eine extra Formel für den Flächeninhalt, die nur von den Seitenlängen c und a abhängt.

Um die Fläche vom Dreieck berechnen zu können, nutzt du dann die Formel

A = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{blue}{c} \cdot \sqrt{4 \cdot \textcolor{red}{a}^2 - \textcolor{blue}{c}}.

Gleichschenkliges Dreieck
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Gleichschenkliges Dreieck

Zum gleichschenkligen Dreieck haben wir nochmal ein extra Video für dich gemacht. Dort erklären wir dir mit vielen Beispielen, was ein gleichschenkliges Dreieck ist und wie du es berechnen kannst.

Zum Video: Gleichschenkliges Dreieck
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Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge a. In der Dreieck Flächeninhalt Formel kommt dann nur der Buchstabe a vor.

Die Formel für den gleichseitiges Dreieck Flächeninhalt lautet dann

A = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{blue}{a}^2 \cdot \sqrt{3}.

Gleichseitiges Dreieck
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Gleichseitiges Dreieck

Sehr gut! Das Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecken kannst du nun. Alle weiteren Formeln für das gleichseitige Dreieck findest du in unserem extra Video. Schau es dir gleich an!

Zum Video: Gleichseitiges Dreieck
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Flächeninhalt Dreieck Formel — Herleitung

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du dir recht einfach selbst herleiten. Dafür stellst du dir vor, dass das Dreieck genau in einem Rechteck liegt, so wie im Bild.

Dreieck Flächeninhalt Formel Herleitung, Dreieck in Rechteck
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Dreieck in einem Rechteck

Dieses Rechteck hat die Breite der Grundseite g und die andere Seite ist genauso lang wie die Höhe h des Dreiecks. Um den Flächeninhalt des Rechtecks zu bestimmen, rechnest du g · h.

Flächeninhalt Dreieck Herleitung
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Formel für den Flächeninhalt Dreieck

Die Höhe h teilt das Rechteck gerade in zwei kleinere Vierecke auf. Dabei erkennst du, dass die gelbe Fläche des Dreiecks immer genau die Hälfte des kleineren Rechtecks einnimmt. Folglich füllt das ganze Dreieck auch genau die Hälfte des ganzen Rechtecks aus. Es gilt also

Fläche des Dreiecks = Hälfte der Fläche des Rechtecks.

Aber du weißt ja schon, wie du die Fläche des Rechtecks berechnen kannst. Deshalb kannst du die Teile jetzt zusammenfügen und bekommst die Flächeninhalt Dreieck Formel.

A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}

Umfang Dreieck

Jetzt weißt du alles über die Flächenberechnung am Dreieck! Dich interessiert nicht nur der Flächeninhalt, sondern auch der Umfang von einem Dreieck? Dann schau unbedingt hier vorbei!

Zum Video: Umfang Dreieck
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