Wie finde ich die Höhe, wenn sie nicht eingezeichnet ist?

Du findest die Höhe, indem du von dem Eckpunkt gegenüber der gewählten Grundseite ein Lot (Senkrechte) auf diese Grundseite zeichnest. Der Abstand vom Eckpunkt zur Grundseite ist die Höhe. Zum Beispiel ist die Höhe die Strecke, die im 90°-Winkel auf der Grundseite steht.

Wie erkenne ich, welche Seite die Grundseite sein darf?

Als Grundseite darf grundsätzlich jede Seite des Dreiecks gewählt werden, weil zu jeder Seite eine passende Höhe existiert. Wichtig ist nur: Zur gewählten Grundseite gehört immer genau die Höhe, die senkrecht auf dieser Seite steht und vom gegenüberliegenden Eckpunkt ausgeht.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich die Höhe einzeichne?

Häufige Fehler sind: Die Höhe wird nicht im rechten Winkel zur Grundseite gezeichnet oder sie wird vom falschen Eckpunkt aus eingezeichnet. Beispiel: Wenn die Grundseite gewählt ist, muss die Höhe als Senkrechte vom gegenüberliegenden Eckpunkt auf fallen, nicht schräg auf eine andere Seite.

Wie rechne ich den Flächeninhalt, wenn ich nur drei Seiten kenne?

Wenn nur die drei Seitenlängen bekannt sind, lässt sich der Flächeninhalt mit der Heron-Formel berechnen: und . Das funktioniert für jedes Dreieck, solange die Seiten überhaupt ein Dreieck bilden (Dreiecksungleichung).

Wann passt die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck nicht?

Die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck passt nicht, wenn das Dreieck nicht gleichschenklig ist, also nicht zwei Seiten gleich lang sind. Außerdem liefert sie nur dann einen reellen Flächeninhalt, wenn gilt, also (sonst ist die Wurzel nicht definiert).

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Flächeninhalt Dreieck

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst. Du möchtest das Thema noch schneller verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Flächeninhalt Dreieck — einfach erklärt

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, die du normalerweise mit A, B und C beschriftest, und drei Seiten a, b und c. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchst du aber gar nicht alle Seiten, sondern nur die Längen von:

Der Grundseite (g): Das ist eine beliebige der Seiten a, b und c des Dreiecks, die du selbst auswählen kannst.
Der dazugehörigen Höhe (h): Sie steht senkrecht in einem rechten Winkel zu deiner gewählten Grundseite und geht bis zum Eckpunkt gegenüber

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Flächeninhalt Dreieck — Formel

Mit der Grundseite g und der Höhe h kannst du dann den Flächeninhalt A des Dreiecks mit dieser Formel berechnen:

A = 1/2 • g • h

Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Dreiecks?

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du in drei Schritten:

Schritt 1: Schreibe die Formel auf.
Schritt 2: Setze die Werte ein.
Schritt 3: Berechne das Ergebnis.

➡️ Beispiel:

Du hast ein Dreieck mit der Grundseite g = 8 cm und der Höhe h = 5 cm. Jetzt möchtest du den Flächeninhalt dieses Dreiecks bestimmen.

Schritt 1: Schreibe die Formel auf.

A = 1/2 • g • h

Schritt 2: Setze die Werte ein.

A = 1/2 • 8 cm • 5 cm

Schritt 3: Berechne das Ergebnis.

Am besten multiplizierst du erst die Höhe h und die Grundfläche g. Denke daran, dabei die Einheiten zu quadrieren, aus cm • cm wird cm². Zum Schluss nimmst du das Ergebnis mal 1/2.

A = 1/2 • 8 cm • 5 cm
= 1/2 • 40 cm²
= 20 cm²

Antwortsatz: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 20 cm².

Achtung: Du brauchst immer gleiche Einheiten!

Damit du den Flächeninhalt eines Dreiecks richtig berechnest, müssen die Grundseite g und die Höhe h die gleiche Einheit haben. Nur dann kannst du die beiden Werte miteinander multiplizieren.

➡️ Beispiel: g = 1,2 m und h = 40 cm → g = 1,2 m = 120 cm. Jetzt sind beide Werte gleich und du kannst die Werte in die Formel einsetzen.

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Sonderfälle beim Flächeninhalt von Dreiecken

Für bestimmte Dreiecksarten gibt es noch weitere Flächenformeln als die allgemeine Formel A = 1/2 • g • h. Mit ihnen kannst du oft schneller das Ergebnis berechnen. Hier findest du einen Überblick:

Sonderfall 1: Rechtwinkliges Dreieck

Beim rechtwinkligen Dreieck stehen die zwei Seiten a und b, die den rechten Winkel einschließen, senkrecht aufeinander. Daher kannst du sie direkt als Grundseite und Höhe benutzen. Daraus ergibt sich diese Formel:

A = 1/2 • a • b

➡️ Beispiel: a = 3 cm, b = 4 cm
A = 1/2 • a • b
A = 1/2 • 3 cm • 4 cm
A = 6 cm²

Sonderfall 2: Gleichschenkliges Dreieck

Beim gleichschenkligen Dreieck, sind immer zwei Seiten gleich lang. Es ist also a = b. Dadurch kannst du eine andere Formel nutzen, um den Flächeninhalt zu berechnen, ohne g und h zu kennen.

$A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}$

➡️ Beispiel: a = b = 4 cm, c = 3 cm

$A = \frac{1}{4} \cdot 3 cm \cdot \sqrt{4 \cdot 4 cm^2 - 3 cm^2}$

≈ 5,56 cm²

Sonderfall 3: Gleichseitiges Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck haben alle drei Seiten die gleiche Länge a = b = c. Deshalb brauchst du auch hier g und h nicht:

$A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}$

Flächeninhalt Dreieck — Herleitung der Formel

Manchmal musst du nicht nur wissen, wie du etwas berechnest, sondern auch, warum. Bei der Flächenformel fürs Dreieck funktioniert das so:

Du hast ein Dreieck mit der Grundseite g und der Höhe h. Die Höhe h teil das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke auf. Wenn du diese beiden kleinen Dreiecke nun an den Seiten spiegelst, entsteht daraus ein Rechteck.

Die lange Seite des Rechtecks ist dann so lang, wie die Grundseite g des Dreiecks. Die kurze Seite ist genauso lang, wie die Höhe h. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du, indem du die lange Seite mal die kurze Seite rechnest. Für dieses Rechteck gilt also: A = g • h.

Da das Rechteck entstanden ist, indem du das Dreieck verdoppelt hast, ist ein Dreieck halb so groß wie das Rechteck. Für den Flächeninhalt des Dreiecks teilst du also den Flächeninhalt des Rechtecks durch zwei und bekommst so die Formel: A = 1/2 • g • h.

Flächeninhalt Dreieck — Übungsaufgaben

Damit du sicher im Umgang mit der Formel wirst, rechne am besten selbst mal ein paar Flächeninhalte aus:

Aufgabe 1:

Ein Dreieck hat die Grundfläche g = 6 cm und die Höhe h = 0,03 m. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Tipp: Die Einheiten sind unterschiedlich. Rechne also die Höhe in cm um und wende die Formel an.

Lösung: A = ½ • 6 cm • 3 cm = ½ • 18 cm² = 9 cm²

Aufgabe 2:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die folgenden Seitenlängen:

Berechne den Flächeninhalt

Tipp: Denke daran, dass du hier ein rechtwinkliges Dreieck hast!

Lösung: A = ½ • 6 cm • 2 cm = ½ • 12 cm² = 6 cm²

Flächeninhalt Dreieck — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich die Höhe, wenn sie nicht eingezeichnet ist?

Du findest die Höhe, indem du von dem Eckpunkt gegenüber der gewählten Grundseite ein Lot (Senkrechte) auf diese Grundseite zeichnest. Der Abstand vom Eckpunkt zur Grundseite ist die Höhe. Zum Beispiel ist die Höhe die Strecke, die im 90°-Winkel auf der Grundseite steht.
Wie erkenne ich, welche Seite die Grundseite sein darf?

Als Grundseite darf grundsätzlich jede Seite des Dreiecks gewählt werden, weil zu jeder Seite eine passende Höhe existiert. Wichtig ist nur: Zur gewählten Grundseite gehört immer genau die Höhe, die senkrecht auf dieser Seite steht und vom gegenüberliegenden Eckpunkt ausgeht.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich die Höhe einzeichne?

Häufige Fehler sind: Die Höhe wird nicht im rechten Winkel zur Grundseite gezeichnet oder sie wird vom falschen Eckpunkt aus eingezeichnet. Beispiel: Wenn die Grundseite gewählt ist, muss die Höhe als Senkrechte vom gegenüberliegenden Eckpunkt auf fallen, nicht schräg auf eine andere Seite.
Wie rechne ich den Flächeninhalt, wenn ich nur drei Seiten kenne?

Wenn nur die drei Seitenlängen bekannt sind, lässt sich der Flächeninhalt mit der Heron-Formel berechnen: $s=\frac{a+b+c}{2}$ und $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ . Das funktioniert für jedes Dreieck, solange die Seiten überhaupt ein Dreieck bilden (Dreiecksungleichung).
Wann passt die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck nicht?

Die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck passt nicht, wenn das Dreieck nicht gleichschenklig ist, also nicht zwei Seiten gleich lang sind. Außerdem liefert sie nur dann einen reellen Flächeninhalt, wenn $4a^2-c^2 \ge 0$ gilt, also $c \le 2a$ (sonst ist die Wurzel nicht definiert).

Umfang Dreieck

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