Lineare Algebra

Binomische Formeln

Hier zeigen wir dir alle drei binomischen Formeln, jeweils erklärt mit vielen Beispielen. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video an! 

Inhaltsübersicht

Binomische Formeln einfach erklärt  

Mit den binomischen Formeln kannst du Terme wie (a + 3)2 schnell ausmultiplizieren, ohne lange rechnen zu müssen. Es gibt drei binomische Formeln, die du am besten auswendig kannst, weil sie dir das Umformen von vielen Termen erleichtern:

Binomische Formeln

1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. binomische Formel: (a b)² = a² – 2ab + b²

3. binomische Formel:  (a + b) (a b) = a² – b²

Für a und b kannst du beliebige Zahlen einsetzen. Oft wird dir in Mathe auch eine Kombination aus Zahl und Buchstabe begegnen:

(3 + 1) (31) = 3² – 1²

(a + 3)² = a² + 6 · a + 9

(3b)² = 3² – 2 · 3 · b + b²

Mit den binomischen Formeln kannst du dabei die Klammern auflösen. Du kannst aber auch binomische Formeln rückwärts anwenden, um passende Ausdrücke in Klammerschreibweise zu übersetzen. So funktionieren die Formeln quasi in beide Richtungen.

Hinweis: Wir haben für dich auch viele Aufgaben mit Lösungen zum Üben. Schau es dir an!

Erste binomische Formel  

Die erste binomische Formel erkennst du daran, dass die beiden Einträge a und b in der Klammer mit einem Pluszeichen verbunden sind. Deshalb nennt man die erste binomischen Formel auch Plus-Formel.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(3 + 1)² = 3² + 2 · 3 · 1 + 1²

Erste binomische Formel Beispiel

Binomische Formeln helfen dir bei Rechnungen mit einem Quadrat, also einem hoch Zwei. Du kommst damit ganz schnell von der linken Seite zur rechten Seite.

  • (1 + 2)² = 1² + 2 · 1 · 2 + 2² = 1 + 4 + 4 = 9
  • (5 + 3)² = 5² + 2 · 5 · 3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64
  • (2 + 4)² = 2² + 2 · 2 · 4 + 4² = 4 + 16 + 16 = 36

Binomische Formeln brauchst du also, wenn du Klammern mit einem Quadrat auflösen möchtest. Dabei können manchmal statt Zahlen auch Buchstaben vorkommen.

  • (a + 1)² = a² + 2 · a · 1 + 1² = a² + 2a + 1
  • (2 + b)² = 2² + 2 · 2 · b + b² = 4 + 4b + b²

Herleitung:

Binomische Formeln sind dabei nur eine Abkürzung beim Auflösen von Klammern. Du kannst also auch Schritt für Schritt vorgehen und einfach die Rechengesetze anwenden.

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + a · b + b · a + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Das kannst du auch im Bild gut erkennen. Das grüne Quadrat mit Seitenlänge a + b kannst du mit dem roten Quadrat der Seitenlänge a, dem blauen Quadrat mit Seitenlänge b und zwei Rechtecken mit Größe a · b genau ausfüllen.

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Erste binomische Formel

Zweite binomische Formel

Bei der zweiten binomischen Formel steht zwischen den Einträgen a und b in der Klammer ein Minus. Deshalb nennt man sie manchmal auch Minus-Formel.

(a b)² = a² – 2ab + b²
(31)² = 3² – 2 · 3 · 1 + 1²

Ein Minus kommt mit auf die rechte Seite, aber der letzte Teil wird wieder mit einem Plus dazugerechnet.

Zweite binomische Formel Beispiel

Binomische Formeln kannst du nutzen, um die Klammern aufzulösen. 

  • (1 – 2)² = 1² – 2 · 1 · 2 + 2² = 1 – 4 + 4 = 1
  • (5 – 3)² = 5² – 2 · 5 · 3 + 3² = 25 – 30 + 9 = 4
  • (4 – 2)² = 4² – 2 · 4 · 2 + 2² = 16 – 16 + 4 = 4

Auch hier kannst du statt der Zahlen wieder Buchstaben in die Formeln einsetzen. Lass dich davon nicht verwirren, die Formeln funktionieren ganz genauso.

  • (a – 1)² = a² – 2 · a · 1 + 1² = a² – 2a + 1
  • (2 – b)² = 2² – 2 · 2 · b + b² = 4 – 4b + b²
 

Herleitung:

Die zweite binomische Formel bekommst du durch das schrittweise Ausmultiplizieren der linken Seite.

(a – b)² = (a – b) · (a – b) = a (a – b) – b (a – b) = a² – a · b – b · a + b² = a² – 2ab + b²

Auch das kannst du dir wieder mit einem Bild klar machen. Diesmal gehst du vom großen roten Quadrat a² aus und willst zum kleineren grünen Quadrat (a-b)² links unten in der Ecke kommen.

Dafür nimmst du die beiden Rechtecke a · b weg. Eines davon siehst du schwarz straffiert, das andere versteckt sich oben zwischen der grünen und roten Linie und geht bis zu dem blauen b ganz rechts. Weil du das kleine blaue Quadrat b² dann sozusagen zweimal abgezogen hast, fügst du es einmal wieder hinzu. 

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Zweite binomische Formel

Zur zweiten binomischen Formel haben wir einen extra Artikel verfasst. Dort findest du noch viele weitere Beispiele.

Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel erkennst du daran, dass du hier zwei Ausdrücke mit Klammern verrechnen musst. Dabei steht einmal ein Pluszeichen und einmal ein Minuszeichen zwischen a und b. Man nennt sie auch Plus-Minus-Formel.

(a + b) (a b) = a² – b²
(3 + 1) (31) = 3² – 1²

Hier kommt auf der rechten Seite nicht nochmal ein Ausdruck mit einer 2 vor. Stattdessen hast du nur zwei Zahlen oder Buchstaben im Quadrat. Binomische Formeln haben aber immer zwei verschiedene Einträge in der Klammer

Dritte binomische Formel Beispiel

Auch hier kannst du für a und b wieder irgendwelche Zahlen einsetzen und dann das Ergebnis schnell ausrechnen.

  • (2 + 1) (2 – 1) = 2² – 1² = 4 – 1 = 3
  • (5 + 3) (5 – 3) = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
  • (2 + 4) (2 – 4) = 2² – 4² = 4 – 16 = -12

Das Einsetzen von Buchstaben statt Zahlen ist auch hier wieder möglich.

  • (a + 1) (a – 1) = a² – 1² = a² – 1
  • (2 + b) (2 – b) = 2² – b² = 4 – b²

Binomische Formeln funktionieren also immer für eingesetzte Zahlen und Buchstaben.

Herleitung:

Auch die dritte binomische Formel erhältst du durch das Auflösen der Klammern auf der linken Seite.

(a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a² – a · b + b · a – b² = a² – b²

Die geometrische Herleitung sieht bei dieser Formel etwas anders aus. Du startest links beim roten Quadrat mit Seitenlänge a und Fläche a². Davon ziehst du das blaue Quadrat mit Fläche b² ab. Dann zerschneidest du gedanklich die Figur an der schwarzen gestrichelten Linie entlang. Nun kannst du die beiden Teile neu zusammensetzen und bekommst gerade das Rechteck mit dem Flächeninhalt (a + b) · (a – b). 

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3. Binomische Formel
 

Alle drei der binomischen Formeln ersparen dir also einige Zwischenschritte beim Rechnen. Binomische Formeln sind vor allem dann praktisch, wenn Buchstaben in einer Rechnung vorkommen. Auch zur dritten binomischen Formel gibt es ein extra Video, in dem du nochmal Beispiele und vieles mehr sehen kannst.

3. Binomische Formel
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Zum Video: 3. binomische Formel

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