Mechanik: Statik

Mechanik: Statik II
Gleichgewichtslage und stabiles Gleichgewicht

Dir ist noch immer schleierhaft, was mit der Gleichgewichtslage gemeint ist und du hast keinen Plan, wann man die Bezeichnungen stabiles Gleichgewicht, indifferentes Gleichgewicht und labiles Gleichgewicht verwendet? Dann mach dir jetzt keinen Stress, denn wir erklären dir hier ausführlich und anhand mehrerer Beispiele, wie man die Stabilität und Gleichgewichtslage berechnen kann.

Was bedeutet stabiles Gleichgewicht, indifferentes Gleichgewicht und labiles Gleichgewicht?

Du fragst dich, warum du überhaupt lernen musst, wann ein System stabil ist und wie es sich mit der Gleichgewichtslage verhält? Im Endeffekt willst du damit nur herausfinden, ob das System, das du gerade betrachtest, belastbar genug ist für das, was du damit vorhast und ob es sich in einem stabilen Gleichgewicht, einem indifferenten Gleichgewicht oder einem labilen Gleichgewicht befindet. Außerdem kannst du so herausfinden, welche Kraft oder welches Moment du maximal aufbringen kannst, bevor das System instabil wird, also quasi „kaputt“ geht.

Doch was heißt nun stabiles Gleichgewicht in der Mechanik? Dazu betrachten wir einfach die Gleichgewichtslage eines Balles in drei Positionen:

Gleichgewichtslage – Beispiel Ball

  1. Der Ball liegt in einer Kuhle
  2. Der Ball liegt auf einer geraden Fläche
  3. Der Ball liegt auf der Spitze eines Hügels
Gleichgewichtslage, Stabiles Gleichgewicht, Indifferentes Gleichgewicht, Labiles Gleichgewicht
Gleichgewichtslage – Beispiel Ball

Nun verändern wir die Gleichgewichtslage des Balles leicht. Du kannst dir sicher vorstellen, was dann passiert: Der Ball in der Kuhle rollt zurück, der Ball auf der Spitze des Hügels rollt den Berg hinunter und der Ball auf der geraden Fläche bleibt da liegen, wo er hinbewegt wurde. Daraus ergibt sich, dass im ersten Fall ein stabiles Gleichgewicht vorherrscht, im zweiten Fall ein indifferentes Gleichgewicht und im dritten Fall ein labiles Gleichgewicht. Stabil ist ein System also dann, wenn die Gleichgewichtslage wiederhergestellt werden kann.

Gleichgewichtslage und Potential

Doch wie sieht die Gleichgewichtslage bei komplexeren Systemen aus? Dazu betrachten wir einfach wieder die Potentiale. Zur Erinnerung: Das Potential U ist definiert als die negative Arbeit einer konservativen Kraft. Wir betrachten im Genaueren eine Potentialdifferenz ΔU, was einfach nur bedeutet, dass wir uns das Potential an zwei verschiedenen Punkten anschauen.

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Gleichgewichtslage und Potential

Betrachten wir nun wieder den Ball: Im ersten Fall steigt das Potential und die Differenz ist positiv, im zweiten Fall ändert sich nichts, also existiert ein indifferentes Gleichgewicht und im dritten Fall fällt das Potential und wir haben eine Differenz kleiner null. Daraus kann man allgemein herleiten, dass Folgendes gelten muss:

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Stabiles Gleichgewicht, indifferentes Gleichgewicht und labiles Gleichgewicht

Gleichgewichtslage, Potential und Definition Arbeit

Nun ist es schwierig etwas über das Potential direkt zu sagen. Deshalb verwenden wir einfach die Definition über die Arbeit. Diese ist der Weg, der infolge einer Kraft zurückgelegt wird. Dabei ist die Arbeit in Kraftrichtung positiv definiert. Zur Erinnerung: Die Gewichtskraft ist positiv nach unten, und somit ist die Arbeit positiv bei einer Bewegung nach unten. Da wir nun keinen definierten Weg gehen, haben wir eine Funktion, bei der eine Abhängigkeit vom Weg besteht. Das werden wir später noch brauchen.

Gleichgewichtslage, Stabiles Gleichgewicht, Indifferentes Gleichgewicht, Labiles Gleichgewicht
Gleichgewichtslage, Potential und Definition Arbeit

Mit Hilfe eines mathematischen Tricks, der sogenannten Taylorentwicklung, auf die wir jetzt nicht genauer eingehen können, ergibt sich, dass \delta^2A relevant für die Stabilität ist. Doch was hat das jetzt schon wieder mit der Gleichgewichtslage zu tun und wie finden wir heraus, ob es sich um ein stabiles Gleichgewicht, ein indifferentes Gleichgewicht oder ein labiles Gleichgewicht handelt? Im Endeffekt beschreibt \delta^2A nur die zweite Ableitung der Arbeit. Die zweite Ableitung könnte dir wieder aus der Schule bekannt vorkommen und zwar aus der Berechnung der Hoch- und Tiefpunkte. Mit Hilfe der Überlegung vorher ergibt sich für die Betrachtung folgender Zusammenhang:

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Taylorentwicklung und zweite Ableitung

 

Gleichgewichtslage – Beispiel Federstab

Das schaut jetzt natürlich sehr abstrakt aus, doch eigentlich ist es gar nicht so schwer, die Gleichgewichtslage zu bestimmen. Betrachten wir nun einen Stab, der am Boden nur mit einem Momentengelenk befestigt ist und von links mit einer Feder gehalten wird. Wir wollen jetzt herausfinden, mit welcher Kraft P wir den Stab belasten können.

Bei der Betrachtung der Stabilität bietet sich das Prinzip der virtuellen Verrückung an, da bei beiden Verfahren die Arbeit zentral ist. Als erstes überlegen wir uns wieder, wodurch Arbeit verursacht werden kann: Durch die Kraft P und die Federkraft. Die Federkraft ist definiert als:

F_F=c_Fx

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Federkraft – Formel

Hier bildet cF Die Federkonstante. Wie du weißt, wirkt sie immer entgegen der Bewegungsrichtung und ist somit keine konservative Kraft.

Wir kennen zudem die allgemeine Definition der Arbeit:

A=\int{\vec{F}\ast d}\vec{x}+\int{\vec{M}\ast}d\vec{\varphi}

Unsere äußere Last ist konservativ, weshalb wir hierfür das Integral sehr einfach lösen können. Wir suchen nur den Weg, den die Kraft nach unten zurücklegt, wenn sich der Stab um den Winkel \varphi dreht:

x_P=l\left(1-\cos{\left(\varphi\right)}\right)

Da die Federkraft nicht konservativ ist, müssen wir hier das Integral lösen. Dazu betrachten wir wieder den Weg bei einer Auslenkung um \varphi:

x_F=a\tan{\left(\varphi\right)}

Wir haben jetzt eine Abhängigkeit von \varphi und können das Integral nach \varphi integrieren und erhalten:

A_F=-\int_{0}^{x}{F_Fdx}=-\frac{1}{2}c_F\left(a\tan{\left(\varphi\right)}\right)^2

Das negative Vorzeichen kommt daher, dass der Weg, den wir gehen, immer entgegengesetzt der Kraftrichtung ist.
Daraus ergibt sich dann für die Arbeit, die verrichtet wird, infolge einer Drehung um \varphi:

A={\left(Pl\left(1-\cos{\left(\varphi\right)}\right)-\right)}\frac{1}{2}c_F\left(a\tan{\left(\varphi\right)}\right)^2

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Gleichgewichtslage – Konservative Kraft und Drehung

Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückung und eines mathematschen Tricks erhalten wir folgende Formel:

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Gleichgewichtslage – mathematischer Trick

Der mathematische Trick besteht darin, dass wir die Arbeit nach \varphi ableiten und wieder mit \ \delta\varphi multiplizieren, um \delta A zu bekommen. Und aus dem Prinzip der virtuellen Verrückung wissen wir, dass für statisch bestimmte System \delta A gleich null sein muss.

Damit kennen wir nun auch die Gleichgewichtslagen unseres Systems:

\sin{\left(\varphi\right)}=0

\cos{\left(\varphi\right)}=\sqrt[3]{\frac{c_Fa^2}{Pl}}

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Gleichgewichtslagen des Systems

Jetzt wollen wir wissen, welche Art von Gleichgewichtslage diese Lagen sind. Dafür machen wir das Gleiche wie bei der Arbeit und differenzieren wieder nach \varphi. Dieses Mal brauchen wir allerdings nicht mit \delta\varphi multiplizieren. Wir haben hier also die zweite Ableitung der vorher bestimmten Funktion:

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Gleichgewichtslage – zweite Ableitung

Jetzt müssen wir nur noch die, aus dem Prinzip der virtuellen Verrückung gewonnene jeweilige Gleichgewichtslage einsetzen. Dazu werden die beiden Lagen nach \varphi umgeformt, da dies unsere einzige Variable ist.
Aus Sinus von \varphi gleich null erhalten wir unsere kritische Kraft, bei der unser System anfängt sich zu bewegen. Aus der zweiten Gleichgewichtslage können wir eine Aussage über die Stabilität in anderen Lagen treffen. Es ergibt sich durch das Einsetzen folgender Zusammenhang:

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Zweite Gleichgewichtslage

Das heißt, wir kennen jetzt die Kraft, die bei \varphi gleich null aufgegeben werden darf, damit keine Auslenkungen zu sehen sind und wissen, dass für alle anderen Auslenkungen unser System stabil ist. Das können wir wieder aus unserer vorherigen Überlegung schließen, bei der wir festgestellt haben, dass die zweite Ableitung der Arbeit kleiner null sein muss, damit unser System stabil ist und wir ein stabiles Gleichgewicht haben. Du siehst, dass der Term für \varphi gleich null auch null ist. Für den Fall aber, haben wir ja eine kritische Kraft gefunden, bis zu der keine Bewegung stattfinden wird.

Gleichgewichtslage, Stabiles Gleichgewicht, Indifferentes Gleichgewicht, Labiles Gleichgewicht
Stabiles Gleichgewicht

Stabiles Gleichgewicht, indifferentes Gleichgewicht und labiles Gleichgewicht – Vertiefung

Als erstes fassen wir noch einmal die Grundlagen zusammen:
Um herauszufinden, ob und wo ein System ein stabiles Gleichgewicht, ein indifferentes Gleichgewicht oder ein labiles Gleichgewicht hat, betrachten wir in der Regel das Potential beziehungsweise die Arbeit, aus der sich das Potential ergibt. Dazu überlegen wir uns vorher, welche Bewegung das System vollführen kann und stellen eine Gleichung für die Arbeit in Abhängigkeit einer Laufvariablen auf, die die Bewegung beschreibt.

Als nächstes ermitteln wir die Gleichgewichtslage des Systems, indem wir die Gleichung für die Arbeit ableiten, gleich null setzen und dann lösen. Vergleichbar ist das mit der Ermittlung der Extrempunkte einer Funktion. Als letztes überprüfen wir, ob die jeweilige Gleichgewichtslage stabil ist. Dazu leiten wir die Gleichung der Arbeit ein weiteres Mal ab und setzen unsere gefundenen Ergebnisse in die zweite Ableitung ein. Um nun eine Aussage über die Stabilität machen zu können, betrachten wir das Vorzeichen. Es gilt:

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Gleichgewichtslage – Ableitung Arbeit

Wenn die zweite Ableitung kleiner null ist, handelt es sich um ein stabiles Gleichgewicht. Ist sie GLEICH null, können wir von einem indifferenten Gleichgewicht ausgehen und ist sie größer null, dann ist das Gleichgewicht labil. Wichtig ist, dass x nur stellvertretend für die Laufvariable steht und nicht generell verwendet werden kann. Das klingt zwar komplex, aber du wirst gleich sehen, dass es gar nicht so schwer ist.

Gleichgewichtslage – Beispiel Pendel

Nachdem wir die Theorie in Bezug auf das stabile Gleichgewicht, das indifferente Gleichgewicht und das labile Gleichgewicht wieder parat haben, betrachten wir nun ein weiteres Beispiel zur Gleichgewichtslage: Ein einfaches Pendel mit der Länge l=2m, an dem am Ende eine Masse mit m=5kg hängt. Wir gehen davon aus, dass das Pendel eine starre Stange ist und sich das System logischerweise im Erdschwerefeld befindet. Das heißt, wir haben eine Erdbeschleunigung von g=9,81 m/s². Zu Beginn ist das Pendel in der Waagerechten festgehalten.

Gleichgewichtslage, Stabiles Gleichgewicht, Indifferentes Gleichgewicht, Labiles Gleichgewicht
Gleichgewichtslage – Beispiel Pendel

Wenn wir das Pendel nun loslassen, dreht es sich um die Befestigung. Dementsprechend nehmen wir als Laufvariable den Winkel \varphi, um den sich das Pendel gegenüber der Ausgangslage bewegt.

Als erstes stellen wir die Gleichung für die Arbeit auf: Da in unserem Fall nur die Gewichtskraft der Masse angreift, ist diese relativ schnell aufgestellt. Die Gewichtskraft zeigt immer nach unten. Deshalb müssen wir nur den Weg h nach unten betrachten. Dieser ist natürlich wiederrum abhängig von \varphi und ergibt sich zu:

h=l\sin\funcapply(\varphi)

Daraus resultiert dann für die Arbeit:

A\left(\varphi\right)=F_{G}{h}=mgl\sin\funcapply(\varphi)

F_G ist dabei die Gewichtskraft gleich m\ast g.

Nachdem wir eine Gleichung für die Arbeit haben, bilden wir die erste Ableitung nach unserer Laufvariablen \varphi und erhalten:

\frac{dA}{d\varphi}\left(\varphi\right)=mgl\cos\funcapply(\varphi)

Die erste Ableitung setzen wir jetzt gleich null und suchen Lösungen für \varphi:

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Erste Ableitung

Das heißt, unsere jeweilige Gleichgewichtslage ist bei \varphi_1 gleich 90° senkrecht UNTER der Aufhängung und bei \varphi_2 gleich 270° senkrecht ÜBER der Aufhängung.

Zum Schluss treffen wir noch eine Aussage über die Stabilität. Dazu bilden wir die zweite Ableitung:

\frac{d^2A}{d\varphi^2}\left(\varphi\right)=-mgl\ast\sin{\varphi}

Jetzt müssen wir nur noch jeweils die gefundene Gleichgewichtslage einsetzen. Wie du bereits weißt, gilt:

sin(90)=1 und sin(270)=-1

Damit ergibt sich für die Gleichgewichtslage:

\frac{d^2A}{d\varphi^2}φ1=90°=-mgl

\frac{d^2A}{d\varphi^2}φ2=270°=mgl

Gleichgewichtslage, Stabiles Gleichgewicht, Indifferentes Gleichgewicht, Labiles Gleichgewicht
Gleichgewichtslage – Ergebnis

Erinnern wir uns jetzt zurück an die Bedingungen über die Stabilität, erkennen wir, dass \varphi_1 gleich 90° ein stabiles Gleichgewicht ist, da das Vorzeichen in jedem Fall negativ ist und \varphi_2 gleich 270° ein instabiles Gleichgewicht ist, da das Vorzeichen auch hier nicht wechseln kann. Du erkennst, dass wir keine Abhängigkeit vom System, sondern feste Winkel und damit Positionen haben. Das deckt sich auch mit unserer physikalischen Intuition.

Wie du siehst ist das Thema Gleichgewichtslage halb so wild. Zudem ist es auch nicht schwer zu bestimmen, ob es sich um ein stabiles Gleichgewicht, um ein indifferentes Gleichgewicht oder um ein labiles Gleichgewicht in einem System handelt.

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