Was ist ein idealer Tiefpass?

Ein idealer Tiefpass ist ein Filter, der alle Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz ohne Dämpfung durchlässt und alle Frequenzen oberhalb dieser Grenzfrequenz vollständig unterdrückt. Im idealen Amplitudengang gibt es deshalb einen scharfen Knick von 1 auf 0 genau an der Grenzfrequenz.

Woran erkennt man, ob ein Filter ein Hochpass- oder Tiefpassfilter ist?

Ein Tiefpassfilter erkennt man daran, dass niedrige Frequenzen mit nahezu konstanter Amplitude durchkommen und hohe Frequenzen zunehmend gedämpft werden. Ein Hochpassfilter erkennt man dagegen daran, dass niedrige Frequenzen gedämpft und hohe Frequenzen durchgelassen werden. Im Amplitudengang liegt die Grenzfrequenz am -3-dB-Punkt.

Wie berechnet man die Grenzfrequenz?

Die Grenzfrequenz berechnet man beim RC-Tiefpass und RC-Hochpass mit . Dafür setzt man Widerstand in Ohm und Kapazität in Farad ein. Zum Beispiel ergibt und : .

Wie wählt man die Grenzfrequenz?

Die Grenzfrequenz wählt man so, dass die gewünschten Frequenzen im Durchlassbereich liegen und die unerwünschten im Sperrbereich. Beim Tiefpass liegt typischerweise etwas über der höchsten noch gewünschten Frequenz, beim Hochpass etwas unter der niedrigsten noch gewünschten Frequenz. An ist das Signal bereits auf etwa 0,707 der Amplitude gedämpft.

Video

Grenzfrequenz

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definition der Grenzfrequenz

(00:14)

Grenzfrequenz eines Tiefpasses 1. Ordnung

(00:46)

Grenzfrequenz eines Hochpasses 1. Ordnung

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Dieser Artikel behandelt die Grenzfrequenz und geht dabei vor allem auf ihre Berechnung bei Tief- und Hochpässen ein. Neben diesen Berechnungen betrachten wir auch deren zugehörigen Amplitudengänge. Außerdem wird ein Bandpass hinsichtlich der Thematik analysiert.

Schau doch gerne in unser Video rein, um dir einen Überblick verschaffen.

Inhaltsübersicht

Definition der Grenzfrequenz

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(00:14)

Merke

Die Grenzfrequenz entspricht in der Elektro- und Nachrichtentechnik der Frequenz, ab der die Amplitude eines Signals auf einen bestimmten Wert abfällt.

In der Regel liegt dieser bei -3dB bezüglich seiner ursprünglichen Amplitude. Häufig wird sie im Zusammenhang mit verschiedenen Filterschaltungen angegeben und ist daher eine charakteristische Kenngröße für den jeweiligen Filter.

Grenzfrequenz eines Tiefpasses 1. Ordnung

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(00:46)

Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung besteht aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators. Sein Eingang ist am Widerstand gegen Masse. Sein Ausgangssignal kann am Kondensator entnommen werden.

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Ein Tiefpassfilter lässt Signale niedriger Frequenz ungehindert durch und wirkt entsprechend dämpfend auf Signale höherer Frequenz. Die Grenzfrequenz des Tiefpasses gibt die Frequenz an, bei der ein Signal um den Faktor 0,707 oder $\frac{\sqrt{2}}{2}$ bzw. -3dB seiner ursprünglichen Amplitude abfällt. Im Folgenden wird sich vor allem auf den RC-Tiefpass konzentriert.

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Grenzfrequenz eines RC-Tiefpasses berechnen

Ein wichtiger Zusammenhang des Tiefpassfilters 1. Ordnung ist, dass bei Erreichen der Grenzfrequenz der Widerstand und Blindwiderstand des Kondensators gleich groß sind. Mathematisch lässt sich das folgendermaßen ausdrücken:

R=X_C

Mit als Widerstand und X_C als Blindwiderstand des Kondensators.

An dieser Stelle wird die Definition des Blindwiderstandes eines Kondensators über seine Kapazität genutzt.

$|X_C|=\frac{1}{\omega C}$

Somit ergibt sich folgender Ausdruck:

$R=\frac{1}{\omega C}$

Durch Einsetzen der Kreisfrequenz $\omega=2\pi f$

$R=\frac{1}{2\pi f_GC}$

und Umstellen der Formel nach der Frequenz ergibt sich für die Grenzfrequenz eines Tiefpasses:

$f_G=\frac{1}{2\pi RC}$

Amplitudengang des Tiefpassfilters

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Eine weitere Möglichkeit ist die Grenzfrequenz aus dem Amplitudengang zu ermitteln. Sie entspricht der Frequenz bei der die Verstärkung auf -3dB gefallen ist. In der asymptotischen Näherung kann sie auch am Schnittpunkt der beiden Asymptoten abgelesen werden. Häufig wird sie deshalb auch als Eckfrequenz bezeichnet. Im Amplitudengang wird das Verhalten des Tiefpassfilters 1. Ordnung nochmal deutlich.

Die Verstärkung für Signale niedriger Frequenzen beträgt ungefähr 0 dB beziehungsweise 1 . Das bedeutet, dass sie weder gedämpft noch verstärkt werden. Ab der Grenzfrequenz nimmt die Verstärkung mit 20 dB pro Dekade ab. Die Verstärkung wird negativ in der dB-Darstellung, beziehungsweise kleiner 1 und größer 0 in der linearen Darstellung. Hohe Frequenzen haben also eine Verstärkung kleiner 1, was einer Dämpfung entspricht.

Grenzfrequenz eines Hochpasses 1. Ordnung

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Bei der Schaltung des Hochpassfilters 1. Ordnung mit Kondensator ist im Vergleich zum Tiefpassfilter lediglich die Reihenfolge der Bauelemente vertauscht.

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Sein Eingang ist also am Kondensator, sein Ausgangssignal kann am Widerstand entnommen werden. Ein Hochpass lässt daher Signale hoher Frequenz durch und dämpft Signale niedriger Frequenz. Auch hier entspricht die Grenzfrequenz der Frequenz bei dem die Verstärkung -3dB beträgt bzw. die Signalamplitude auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ der ursprünglichen Amplitude abgefallen ist. Im Folgenden wird sich vor allem auf den RC-Hochpass konzentriert.

Grenzfrequenz eines RC-Hochpasses berechnen

Die Berechnung der Grenzfrequenz des Hochpassfilters gleicht der des Tiefpasses. Auch hier gibt die sie die Frequenz an bei der der Widerstand und der Blindwiderstand des Kondensators den gleichen Wert annehmen.

R=X_C

$R=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f_GC}$

$\Rightarrow f_G=\frac{1}{2\pi RC}$

Amplitudengang des Hochpassfilters

Ähnlich wie beim Tiefpassfilter entspricht die Grenzfrequenz des Hochpassfilters dem Wert der Frequenz bei dem die Verstärkung -3dB beträgt. Der allgemeine Verlauf des Amplitudengangs eines Hochpassfilters in genau gegensätzlich zu dem eines Tiefpasses.

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Grenzfrequenz des Bandpasses und der Bandsperre

Im Gegensatz zum Hochpass oder Tiefpass besitzen der Bandpass und die Bandsperre zwei Grenzfrequenzen, die obere und die untere. Außerdem wird eine dritte Frequenz definiert, die als Mittenfrequenz oder Resonanzfrequenz bezeichnet wird. Dem Amplitudengang kann die Notwendigkeit für die Definition zweier Grenzfrequenzen entnommen werden.

Analog zum Hoch und Tiefpassfilter geben die Grenzfrequenzen die Frequenzen an bei denen die Verstärkung –3dB beträgt.

Die Mittenfrequenz ist dabei das geometrische Mittel der oberen und unteren Grenzfrequenz.

$f_0=\sqrt{f_L\cdot f_H}$

Außerdem beschreibt die Mittenfrequenz bzw. die Resonanzfrequenz jene Frequenz, bei welcher der Blindwiderstand der Induktivität und derjenige der Kapazität gleich groß sind und diese sich deshalb gegenseitig aufheben.

Grenzfrequenz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist ein idealer Tiefpass?

Ein idealer Tiefpass ist ein Filter, der alle Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz ohne Dämpfung durchlässt und alle Frequenzen oberhalb dieser Grenzfrequenz vollständig unterdrückt. Im idealen Amplitudengang gibt es deshalb einen scharfen Knick von 1 auf 0 genau an der Grenzfrequenz.
Woran erkennt man, ob ein Filter ein Hochpass- oder Tiefpassfilter ist?

Ein Tiefpassfilter erkennt man daran, dass niedrige Frequenzen mit nahezu konstanter Amplitude durchkommen und hohe Frequenzen zunehmend gedämpft werden. Ein Hochpassfilter erkennt man dagegen daran, dass niedrige Frequenzen gedämpft und hohe Frequenzen durchgelassen werden. Im Amplitudengang liegt die Grenzfrequenz am -3-dB-Punkt.
Wie berechnet man die Grenzfrequenz?

Die Grenzfrequenz berechnet man beim RC-Tiefpass und RC-Hochpass mit $f_G=\frac{1}{2\pi RC}$ . Dafür setzt man Widerstand in Ohm und Kapazität in Farad ein. Zum Beispiel ergibt $R=1\,\text{k}\Omega$ und $C=100\,\text{nF}$ : $f_G=\frac{1}{2\pi\cdot1000\cdot100\cdot10^{-9}}\approx1592\,\text{Hz}$ .
Wie wählt man die Grenzfrequenz?

Die Grenzfrequenz wählt man so, dass die gewünschten Frequenzen im Durchlassbereich liegen und die unerwünschten im Sperrbereich. Beim Tiefpass liegt typischerweise etwas über der höchsten noch gewünschten Frequenz, beim Hochpass etwas unter der niedrigsten noch gewünschten Frequenz. An ist das Signal bereits auf etwa 0,707 der Amplitude gedämpft.

Filter verstehen

Die Grenzfrequenz ist eine wichtige Kenngröße von Filtern in der Elektrotechnik. Wer sich mit Filtern beschäftigt, vergleicht Schaltungen, Signale und typische Verläufe im Frequenzbereich. Dabei wird klar, warum tiefe und hohe Frequenzen je nach Aufbau unterschiedlich stark durchgelassen oder gedämpft werden. Im Elektrotechnikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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