Schwingkreis

Mit dem folgenden Artikel geben wir dir einen Einstieg ins Thema elektromagnetischer Schwingkreis. Dafür erklären wir dir das eigentliche Schwingungsverhalten und zeigen dir wofür man Schwingkreise gebrauchen kann.

Leichter als das alles zu lesen, ist es aber einfach unser Video dazu anzuschauen. Also schau doch einfach mal rein!

Inhaltsübersicht

Elektromagnetischer Schwingkreis
im Text
Parallelschwingkreis
im Text
im Video
Reihenschwingkreis
im Text
Anwendung von Schwingkreisen
im Text

Elektromagnetischer Schwingkreis

Merke

Bei einem elektromagnetischen Schwingkreis handelt es sich um eine Schaltung, die in der Regel aus einer Kombination aus Widerständen R, Induktivitäten L und Kapazitäten C besteht.

Dabei wird die Energie periodisch zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld der Kapazität ausgetauscht. Dieser Vorgang kann durch eine Schwingung dargestellt werden.

Parallelschwingkreis

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(00:40)

Die Parallelschaltung aus Spule und Kondensator stellt die einfachste Form des Parallelschwingkreises dar.

Schwingkreis, elektromagnetischer Schwingkreis, Kondensator, Spule, Parallelschwingkreis — Schaltung des Parallelschwingkreises

Im Folgenden wird das Schwingungsverhalten dieser Anordnung genauer erläutert.

Schwingungsverhalten eines LC-Schwingkreises

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(00:44)

Der Schwingungsvorgang bei einem Parallelschwingkreis lässt sich folgendermaßen beschreiben:

Schwingkreis, elektromagnetischer Schwingkreis, Kondensator, Spule — Schwingvorgang eines Schwingkreises

Anfangs wird allein an den Kondensator C eine Gleichspannung U angelegt.
Dadurch lädt sich der Kondensator auf die angelegte Spannung auf. Die gesamte Energie befindet sich also elektrischen Feld des Kondensators.
Anschließend wird der Schalter umgelegt, so dass der Kondensator sich über die Spule entladen kann. Während des Umladevorgangs nimmt das elektrische Feld des Kondensators ab und das magnetische Feld der Spule zu. Es also einen Stromfluss ausgehend vom Kondensator durch die Spule
Entsprechend ist auch das magnetische Feld anfangs gering und nimmt mit der Zeit zu.

Zu dem Zeitpunkt, an dem sich der Kondensator vollständig entladen hat, ist der Stromfluss und das Magnetfeld der Spule daher maximal. Die gesamte Energie befindet sich nun in dem Magnetfeld der Spule. Da der Kondensator vollständig entladen ist, sollte nun der Strom durch die Spule zum Erliegen kommen.
Erneut möchte die Spule einer Änderung der Stromflusses entgegenwirken und treibt den Strom weiter und wieder zurück in den Kondensator, die Kraft, die dafür benötigt wird, zieht sie dabei aus ihrem magnetischen Feld.
Der Stromfluss zurück in den Kondensator ist im Vergleich zum Ladevorgang an der Gleichspannungsquelle genau umgekehrt, daher ist auch das Vorzeichen der Kondensatorspannung jetzt
Die Spule treibt den abnehmenden Strom unter Abnahme ihres Magnetfeldes bis der Kondensator vollständig geladen ist.
Schließlich ist die gesamte Energie wieder im elektrischen Feld des Kondensators, das magnetische Feld der Spule ist vollständig abgebaut.
Nun ist der Kondensator wieder dafür verantwortlich den Strom zu treiben und der gesamte Vorgang beginnt mit umgekehrtem Vorzeichen der Kondensatorspannung von Neuem.

Bei einem idealen Schwingkreis würde sich dieser Vorgang beliebig oft wiederholen, der Strom und Spannungsverlauf können daher als Schwingung beschrieben werden. Bei einem realen Schwingkreis würde die Schwingung nach einiger Zeit abklingen, da Energie beispielsweise durch Leitungswiderstände, den ESR des Kondensators oder auch den Drahtwiderstand der Spule verloren geht.

Eigenfrequenz des Parallelschwingkreises

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(02:12)

Die Frequenz, mit der die Schaltung ohne äußere Einflüsse schwingt, wird als Eigenfrequenz f₀ beziehungsweise Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Sie ist charakteristisch für jeden Schwingkreis und ist von der Kapazität und Induktivität abhängig.

$f_{0} = \frac {\omega_{0}} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}}$

Resonanzfrequenz des Parallelschwingkreises

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(02:34)

Die Resonanzfrequenz bezeichnet die Frequenz, die von außen an die Schaltung angelegt werden muss, damit die Beträge des induktiven und kapazitiven Blindwiderstands gleich groß sind. Ist dies der Fall, so heben sich die Blindwiderstände auf und die Schaltung befindet sich in Resonanz. Die Resonanzfrequenz wird häufig als f_R oder wie die Eigenfrequenz mit f₀ abgekürzt und lässt sich auch genauso berechnen.

$f_{R} = f_{0} = \frac {\omega_{0}} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}}$

Impedanz des Parallelschwingkreises

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(03:40)

Die Impedanz des Parallelschwingkreises ergibt sich aus der Parallelschaltung des Blindwiderstandes der Induktivität und dem Blindwiderstand der Kapazität.

Schwingkreis Impedanz, Parallelschwingkreis, Kondensator, Spule, Blindwiderstand — Impedanz einer Parallelschwingkreises

$Z=\frac {-jX_{L} \cdot jX_{C}} {jX_{L} - jX_{C}} = \frac {X_{L} \cdot X_{C}} {j(X_{L}-X_{C})}= \frac {j \cdot X_{L} \cdot X_{C}} {-X_{L}+X_{C}}$

Durch Einsetzen der Blindwiderstände in Abhängigkeit der Frequenz und der Induktivität beziehungsweise der Kapazität ergibt sich:

$Z = \frac {j \cdot \omega L \cdot \frac {1}{\omega C}}{- \omega L + \frac {1}{\omega C}} = \frac {j \omega L} {-\omega^{2} LC+1}$

Aus der Formel für die Resonanzfrequenz kann folgender Zusammenhang entnommen und für die Induktivität eingesetzt werden:

$L=\frac {1}{\omega_{0}^{2} C} \Rightarrow Z= j \frac {\frac{\omega}{\omega_{0}^{2} C}}{\frac{-\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}+1}} =-j \cdot \frac {1}{C} \cdot \frac {\omega}{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}$

Für die Impedanz des Parallelschwingkreises ergibt sich also:

$Z(\omega) = -j \cdot \frac {1}{C} \cdot \frac {\omega}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}$

Aus dieser Darstellung geht hervor das für gegen die Impedanz gegen unendlich geht.

$\lim\limits_{\omega \rightarrow \omega_{0}}Z(\omega) = \lim\limits_{\omega \rightarrow \omega_{0}} - j \cdot \frac {1}{C} \cdot \frac {\omega}{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}} = \infty$

Für Frequenzen ungleich 0 ist die Impedanz hingegen endlich und geht für sehr kleine und sehr große Frequenzen gegen 0.

Reihenschwingkreis

In seiner einfachsten Form besteht ein Reihenschwingkreis aus der Reihenschaltung einer Induktivität und einer Kapazität.

Im Gegensatz zum Parallelschwingkreis ist er allerdings nicht in der Lage selbständig zu schwingen, da es sich dabei nicht um einen geschlossenen Stromkreis handelt. Werden allerdings von außen Signale unterschiedlicher Frequenz angelegt, können interessante Beobachtungen angestellt werden.

Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises

Die Berechnung der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises ist identisch zu der des Parallelschwingkreises. Auch hier beschreibt sie die Frequenz, die an die Schaltung angelegt werden muss, damit sich die Blindwiderstände der Induktivität und Kapazität aufheben.

${f_{0}= \frac {1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

$\omega_{0}=2 \pi f_{0}= \frac {1}{\sqrt{LC}}$

Impedanz des LC-Reihenschwingkreises

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(03:04)

Die Impedanz des Reihenschwingkreises lässt sich über die Reihenschaltung der Blindwiderstände der Induktivität beziehungsweise der Kapazität bestimmen:

$Z=jX_{L}-jX_{C}$

Mit $X_{L} = \omega L$ und $X_{C} = \frac {1}{\omega C}$ folgt:

$Z = j \omega L- \frac {j}{\omega C}$

Durch Ausklammern von j und Umschreiben des Ausdrucks auf einen einzelnen Bruch ergibt sich:

$Z=j \cdot(\omega^{2}LC-1}{\omega C}$

Aus der Gleichung für die Grenzfrequenz ist bekannt:

$\omega_{0} = \frac {1}{\sqrt{LC}} \to LC = \frac {1}{\omega_{0}^{2}}$ und $C = \frac {1}{\omega_{0}^{2} L}$

Eingesetzt in die Gleichung für die Impedanz ergibt sich:

$Z = j \cdot \frac {\frac {\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}} - 1}{\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}L}} = jL \cdot \frac {\omega^2 - \omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}$

Aus dieser Darstellung lässt sich nun erkennen, dass die Impedanz der Reihenschwingkreises für Signale mit der Resonanzfrequenz 0 ist. Für alle andere Frequenzen ist die Impedanz ungleich 0.

Anwendung von Schwingkreisen

Schwingkreise finden häufig Anwendung als Filterschaltungen. Um genauere Aussagen über die Art des Filters zu treffen, bietet es sich an erneut einen Blick auf die Impedanzen des Reihen -und Parallelschwingkreises zu werfen.

Für die Impedanz des Reihenschwingkreises ergibt sich der Betrag der Impedanz zu 0 für die Resonanzfrequenz. Je weiter die angelegte Frequenz von der Resonanzfrequenz abweicht, desto größer wird der Betrag der Impedanz.

Für die Impedanz des Parallelschwingkreises gilt das genaue Gegenteil. Für eine Signalfrequenz, die gleich der Resonanzfrequenz ist, geht die Impedanz gegen unendlich. Je weiter die Frequenz von der Resonanzfrequenz abweicht, desto geringer wird die Impedanz.

Diese Frequenzabhängigkeit der Impedanzen lässt sich nutzen, um nur gewünschte Signalfrequenzen an die Last weiterzuleiten. Dazu kann die Last beispielsweise parallel zum jeweiligen Schwingkreis geschalten werden.

Parallelschwingkreis als Bandpass

Die Schaltung für den Parallelschwingkreis mit Last sieht damit wie folgt aus:

Parallelschwingkreis, Bandpass, Kondensator, Spule, Grenzfrequenz — Parallelschwingkreis als Bandpass

Wird nun ein Signal nahe der Resonanzfrequenz des Schwingkreises an den Eingang angelegt, geht die Impedanz des LC-Schwingkreises gegen unendlich. Damit ist für diesen Fall eine unendlich große Impedanz parallel zur Last geschalten. Das bedeutet, dass der gesamte Eingangsstrom durch die Last fließt. Für Frequenzen, die von der Resonanzfrequenz abweichen, wird der Schwingkreis immer mehr leitend. In der Folge fließt nicht mehr der gesamte Eingangsstrom durch die Last, sondern auch ein Teil durch das LC-Glied.

Man spricht in diesem Fall von einem Bandpass. Er lässt Signalfrequenzen nahe der Resonanzfrequenz an die Last durch und hindert Signale mit Frequenzen die stark von ihr abweichen an die Last vorzudringen. Sein Verhalten kann gut durch seinen Amplitudengang verdeutlicht werden.

Reihenschwingkreis als Bandsperre

Wird die Last parallel zu einem LC-Reihenschwingkreis geschalten, ergibt sich folgende Schaltung:

Reihenschwingkreis, Bandsperre, Kondensator, Spule, Grenzfrequenz — Reihenschwingkreis als Bandsperre

In diesem Fall ist der LC-Schwingkreis bei Resonanz niederohmig, er schließt den Eingangsstrom also kurz. Das bedeutet bei Resonanz wird die Last nicht bestromt. Für Frequenzen, die von der Resonanzfrequenz abweichen nimmt die Impedanz des LC-Gliedes zu, damit nimmt auch der Strom durch die Last zu.

Eine Schaltung mit dem genannten Verhalten wird als Bandsperre bezeichnet. Sie hindert Signalfrequenzen nahe der Resonanzfrequenz an die Last vorzudringen, je weiter die Signalfrequenz von der Resonanzfrequenz abweicht, desto mehr wird sie an die last geleitet. Dieser Zusammenhang wird auch hier im Amplitudengang deutlich.

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