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Bestimmtes Integral

In diesem Beitrag und im Video erfährst du, was das bestimmte Integral ist, wie du es berechnest und wie du damit Flächen unter Graphen bestimmst.

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Inhaltsübersicht

Bestimmtes Integral berechnen

Mit dem bestimmten Integral $\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ ermittelst du die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse in einem bestimmten Intervall.

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du das bestimmte Integral berechnest:

➡️ Berechne $\int_{-1}^{2} x^2 - 4\, dx$ , also das Integral der Funktion auf dem Intervall [-1, 2]

1. Stammfunktion F bilden: Bilde die Stammfunktion der Funktion f(x), indem du sie aufleitest.

$f(x)=x^2 - 4 \Rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$

2. Grenzen einsetzen: Setze zuerst die obere Grenze b, dann die untere Grenze a in F(x) ein.

$F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$

$F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 4 \cdot -1 = -\frac{1}{3} +4 = -\frac{11}{3}$

3. Subtrahieren: Ziehe die untere Grenze F(a) von der oberen Grenze F(b) ab.

$\int_{-1}^{2} x^2 - 4\, dx = F(2) - F(-1) = -\frac{16}{3} - \frac{11}{3} = -9$

4. Ergebnis deuten: Als Ergebnis bekommst du beim bestimmten Integral eine sogenannte Flächenbilanz. Das heißt, Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv und Flächen unterhalb zählen negativ. Sie verrechnen sich miteinander.

➡️ Die Flächenbilanz beträgt -9 FE. Da die Zahl negativ ist, bedeutet das: Hier liegt mehr Fläche unter der x-Achse als darüber.

Hättest du ein positives Ergebnis herausbekommen (z. B. $+9$ ), würde das bedeuten, dass mehr Fläche oberhalb der x-Achse liegt als darunter.

Wichtig: Das Ergebnis des bestimmten Integrals gibst du immer in der EInheit FE an. Das steht für Flächeneinheit.

Rechenregeln für bestimmte Integrale

Es gibt 5 Rechenregeln, die dir das Berechnen des bestimmten Integrals erleichtern;

Gleiche Grenzen
Sind obere und untere Grenze die gleiche Zahl, ist das Integral immer null.

$\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0$

Grenzentausch
Tauschst du die obere und untere Grenze, wechselt das Vorzeichen des Intagrals:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = -\int_{b}^{a} f(x)\, dx$

Tipp: Das ist vor allem praktisch, wenn du versehentlich F(a) − F(b) gerechnet hast statt F(b) – F(a). Dann musst du nicht neu rechnen, sondern wechselst einfach das Vorzeichen vor dem Ergebnis.

Additivität
Ein Integral lässt sich an einer Stelle c, die zwischen a und b liegt, zerlegen:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{c} f(x)\, dx + \int_{c}^{b} f(x)\, dx$

Tipp: Das brauchst du zum Beispiel, wenn f im Intervall [a, b] eine Nullstelle bei c hat und du aber den Flächeninhalt berechnen musst.

Linearität
Konstante Faktoren kannst du vor das Integral ziehen:

$\int_{a}^{b} k \cdot f(x)\, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x)\, dx$

Summen & Differenzen
Werden Funktionen plus oder minus gerechnet, darfst du sie getrennt integrieren und ihre Ergebnisse am Ende wieder zusammenrechnen:

$\int_{a}^{b} \bigl(f(x) \pm g(x)\bigr)\, dx = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\, dx$

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Fläche mit bestimmten Integralen berechnen

Das bestimmte Integral liefert immer eine Flächenbilanz. Suchst du den tatsächlichen Flächeninhalt, musst du das Intervall an den Nullstellen zerlegen und die Beträge der Teilflächen addieren.

➡️ Schauen wir uns auch das an einem Beispiel an: , Intervall [-1, 3]

1. Nullstellen ermitteln und Intervall zerlegen: Bestimme zuerst alle Nullstellen im Intervall I= [-1, 3]. Dafür setzt du die Funktion f(x) gleich Null und löst nach x auf.

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x = 2$

2. Teilintervalle bestimmen: Mithilfe der Nullstelle zerlegst du das Intervall [-1, 3] in Teilintervalle. Denn an den Nullstellen wechselt die Fläche das Vorzeichen.

Im Intervall [-1, 3] liegt die Nullstelle bei x = 2. Du zerlegst das Intervall also in [-1, 2] und [2, 3].

3. Stammfunktion bestimmen & Teilintegrale berechnen: Berechne für jedes Teilintervall das Integral von f(x). So erhältst du die einzelnen Teilflächen, die positiv oder negativ sein können.

Stammfunktion: $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$
Teilintegral über [-1, 2]:

$F(2) - F(-1) = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{1}{3} + 4\right) = -\frac{16}{3} - \frac{11}{3} = -9$

Teilintegral über [2, 3]:

$F(3) - F(2) = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

3. Ergebnisse addieren: Addiere die Beträge der Teilintegrale, um den Flächeninhalt zu bekommen.

|-9| + | $\frac{7}{3}$ | = 9 + $\frac{7}{3}$ ≈ 11,33 FE

Wichtig: Frage dich immer schon vor dem Rechnen, ob die Aufgabe die Flächenbilanz oder den Flächeninhalt verlangt. Das bestimmt dein Vorgehen und verändert auch das Ergebnis. Die Flächenbilanz für dieses Beispiel wäre nämlich -9 + $\frac{7}{3}$ ≈ -6,67 FE.

Fläche zwischen zwei Graphen

Ein besonderer Fall ist, wenn du die eingeschlossenen Fläche zwischen zwei Graphen berechnest. Hier bestimmst du zuerst die Schnittstellen der beiden Graphen. Außerdem arbeitest du beim Integrieren mit der Differenzfunktion d(x).

$d(x) = f_{\text{oben}}(x) - f_{\text{unten}}(x)$

➡️ Berechne die eingeschlossene Fläche zwischen den Graphen f(x) = x^2 - 2x und g(x) = x

1. Schnittstellen von f und g bestimmen: Zuerst berechnest du die Schnittpunkte der beiden Graphen. Dafür setzt du sie gleich und löst nach x auf.

$x^2 - 2x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 3$

Das Intervall ist also [0, 3] . Nun prüfst du mit einem Testwert, welcher Graph im Intervall oben liegt. z. B. mit x = 1:

$f(1) = 1 - 2 = -1 < g(1) = 1$

Bei x = 1 kommt ein positiver Wert heraus. Der Graph g liegt im Intervall I= [0, 3] also oberhalb von f. Da es keine weiteren Schnittpunkte gibt, musst du das Intervall nicht weiter zerlegen.

Die Differenzfunktion lautet:

$d(x) = g(x) - f(x) = x - (x^2 - 2x) = 3x - x^2$

2. Bestimme die Stammfunktion von d(x) und berechne das Integral:

$F_d(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3$

Das Integral über [0, 3]:

$F_d(3) - F_d(0) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Da es nur ein Intervall gibt und sich das Vorzeichen der Differenzfunktion nicht ändert, entfällt der dritte Schritt („Ergebnisse addieren“). Die Flächenbilanz entspricht also dem Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen und beträgt 4,5 FE.

Integralfunktion

Das bestimmte Integral zeigt dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse. Doch was passiert, wenn die obere Grenze variabel wird? Genau das passiert bei der Integralfunktion. Mehr dazu, erfährst du in unserem Beitrag!

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