Mathematische Grundlagen

Nullstellen berechnen

In diesem Artikel erklären wir dir, wie Nullstellen berechnen ganz einfach ist. Dazu zeigen wir dir, wie du für verschiedene Polynome vorgehst und gehen direkt auf die Lösungsverfahren für die linearen, quadratischen und kubischen Funktionsgleichungen ein. 

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Inhaltsübersicht

Nullstellen berechnen einfach erklärt

Als Nullstellen bezeichnet man in der Mathematik die Schnittstellen einer Funktion mit der x-Achse. Das sind somit gerade die Stellen, bei denen die Funktion Null als Ergebnis hat. Es gilt

f(x) = 0.

Willst du also die Nullstellen berechnen, so setzt du die Funktionsgleichung gleich Null. 

Je nachdem, welche Arten von Funktionen du untersuchst, kannst du unterschiedlich viele Nullstellen berechnen. Eine quadratische Funktion kann beispielsweise je nach Lage im Koordinatensystem eine, zwei oder gar keine Nullstellen haben. Bei einer kubischen Funktion dahingegen kannst du – wie hier im Bild – sogar drei Nullstellen bestimmen. 

Nullstellen Funktion 3. Grades, kubische Gleichung Funktion dritten Grades
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Nullstellen einer Funktion 3. Grades

Merke: Die Anzahl der reellen Nullstellen deines Polynoms ist immer kleiner oder gleich dem Grad der Funktion!

Nullstellen berechnen: lineare Funktionen

Die linearen Funktionen%verlinken wenn verfügbar beschreiben die Geraden im Koordinatensystem. Sie haben immer die folgende Form:

Funktionsgleichung linearer Funktionen %Kästchen

f(x) = m \cdot x + t

Dabei beschreibt m die Steigung%verlinken wenn verfügbar der Funktion und t den y-Achsenabschnitt.

Lineare Funktion Nullstelle
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Funktionsgraph einer linearen Funktion

Willst du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen, so gibt es genau drei Möglichkeiten. Ist die Steigung m=0, so hast du eine waagrechte Gerade im Koordinatensystem mit f(x)=b gegeben. Diese hat im Normalfall keine Nullstelle, außer wenn die Gerade gleich der x-Achse ist. Dann hat sie unendlich viele Nullstellen und die Funktionsgleichung 

f(x)=0.

Lineare Funktionen mit Steigung m \neq 0 haben dahingegen nur eine einzige Nullstelle. Hier im Bild ist sie bei x=2. Wie du die Nullstelle berechnest, zeigen wir dir nun zuerst allgemein und dann konkret an einem Beispiel.

Nullstellen bestimmen: Allgemeine Vorgehensweise

Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu berechnen, befolgst du immer diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  • Schritt 1: Setze die Funktionsgleichung gleich Null, das heißt schreibe

m \cdot x + t = 0.

  • Schritt 2: Löse den Term nun nach x auf. 

m \cdot x + t = 0 \quad \quad \quad \bigg| -t

m \cdot x = -t \quad \quad \quad \quad \quad  \bigg| \div m.

x = -\cfrac{t}{m}

Letztenendes bestimmen wir, wenn wir die Nullstellen berechnen, nur den Schnittpunkt zweier Geraden%verlinken wenn verfügbar, die da wären f(x) und y=0.

Beispiel 1

Betrachten wir die Geradengleichung f(x) = -\frac{2}{3}\cdot x + 2. Die Nullstellen berechnen wir, indem  wir f(x) = 0 setzen und anschließend nach x auflösen

- \frac{2}{3}\cdot x + 2 = 0 \quad \quad \quad \bigg| -2

-\frac{2}{3}\cdot x  = - 2 \quad \quad \quad \quad  \quad \bigg| \div \left( -\frac{2}{3} \right)

x = 3.

Somit konnten wir die Koordinaten (3|0)  unserer Nullstellen bestimmen.. Alternativ hättest du die Nullstellen berechnen können, indem du die Werte m = -\frac{2}{3} und t=2  in die obige Formel einsetzt. Dann erhältst du

x = -\cfrac{t}{m} = - \cfrac{2}{-\frac{2}{3}} = 2 \cdot \cfrac{3}{2} = 3.

Beispiel 2

Auch bei der linearen Funktion f(x) = 3\cdot x -6 können wir die Nullstellen bestimmen, indem wir f(x)=0 berechnen

3\cdot x -6 = 0 \quad \quad \quad \bigg| +6

3\cdot x = 6 \quad \quad \quad \bigg| \div 3

x = 2.

Nullstellen berechnen: quadratische Funktionen

Die quadratischen Funktionen%verlinken wenn verfügbar beschreiben die Parabeln im Koordinatensystem. Sie haben verschiedene Darstellungsformen, wobei jeweils a \neq 0 gelten muss:

Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen

Allgemeine Form: f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c 

Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)^2+e mit Scheitel S(d|e)

Faktorisierte Form: f(x) = a (x-x_1)\cdot (x-x_2) mit Nullstellen x_1 und x_2

Jede dieser Darstellungsformen hat Vor- und Nachteile, genauso wie es für jede Form eine ideale Vorgehensweise gibt.  Sie können aber auch ineinander umgerechnet werden. Wie du beispielsweise die Allgemeine Form in die Scheitelpunktform umrechnest, erklären wir dir im Artikel Scheitelpunktform%verlinken wenn verfügbar detailliert.

quadratische Funktion, Parabeln, Nullstellen, Scheitelpunktform
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Arten quadratischer Funktionen

Im Allgemeinen lassen sich drei Fälle festhalten: Eine Parabel kann  zwei, eine oder keine Nullstelle haben. 

Nullstellen bestimmen: Allgemeine Vorgehensweise

Wie du eine Nullstellen berechnen kannst, zeigen wir dir hier ganz allgemein. Natürlich kannst du die Darstellungsformen auch ineinander umwandeln und beispielsweise jedes Mal die Mitternachtsformel verwenden. In vielen Fällen machst du dir damit das Leben aber unnötig kompliziert!

Nullstellen berechnen: faktorisierte Form

Am leichtesten kannst du die beiden Nullstellen bestimmen, wenn du die Funktion in faktorisierter Form, das heißt als f(x) = a(x-x_1)\cdot(x-x_2) gegeben hast. Hier kannst du sie direkt ablesen! Das liegt daran, dass du hier ein Produkt vorliegen hast, das immer Null ist, sobald einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Die Parabel hat somit die beiden Nullstellen x_1 und x_2.

Hier kannst du immer zwei Nullstellen bestimmen, da du eine Funktion mit keiner Nullstelle gar nicht auf diese Form bringen kannst. Es kann aber auch vorkommen, dass du nur eine Nullstelle berechnest. Dann hat die Funktion eine Funktionsgleichung der Form f(x) = (x-x_s)^2,  wobei x_s gleichzeitig die Koordinate des Scheitels ist.

Auf diese Weise könntest du beispielsweise die lila Parabel im Bild darstellen. Sie hätte dann die Funktionsgleichung 

f(x) = -(x-1)^2

Achtung: Aufpassen musst du beim Nullstellen bestimmen der faktorisierten Form  lediglich beim Vorzeichen!

Nullstellen berechnen: Allgemeine Form

Hast du eine quadratische Funktion in ihrer allgemeinen Form gegeben, das heißt f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x + c, so kannst du die Nullstellen direkt aus den Parametern a, b und c berechnen. Dazu verwendest du die Mitternachtsformel.

Mitternachtsformel

a\cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a}

Falls a=1 sein sollte, oder du den Term vorher durch a teilst, sagt man, dass der quadratische Term in Normalform vorliegt. Hier kannst du stattdessen auch die p-q-Formel verwenden. 

pq-Formel

x^2+p\cdot x +q = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = -\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}

Im Fall, dass die Parabel statt zwei Nullstellen nur eine besitzt, ist in beiden Formeln der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null. Hat die Funktion gar keine Nullstelle, so berechnest du ein Minus unter der Wurzel.  Zwei Sonderfälle wollen wir noch kurz vorstellen:

  • Sonderfall  b = 0: Hat deine quadratische Funktion die Form f(x) = a \cdot x^2-c und du willst davon die Nullstellen berechnen, brauchst du nicht extra die Mitternachtsformel. Schneller geht es, wenn du den Term mittels Äquivalenzumformungen nach x auflöst und dann einfach die Wurzel ziehst:

a \cdot x^2-c = 0  \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \pm \sqrt{\cfrac{c}{a}}

  • Sonderfall c = 0: Hat die Parabel stattdessen die Funktionsgleichung f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x, so bestimmst du die Nullstellen am schnellsten, wenn du x einfach ausklammerst. Damit bringst du den Term in die faktorisierte Form und kannst die Nullstellen direkt ablesen.

a\cdot x^2 + b\cdot x =0 \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot x (x + b) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -b

Satz von Vieta

In vielen Fällen erweist sich auch der Satz von Vieta als einfache Methode für die Nullstellenberechnung. Er erlaubt dir, die Normalform in die faktorisierte Form umzuwandeln, indem du für eine Gleichung f(x) = x^2+p\cdot x + q das Ausmultiplizieren rückgängig machst. Du findest die Nullstellen x_1 und x_2 mithilfe der beiden Gleichungen: 

Satz von Vieta

Hat f(x) = x^2+p\cdot x + q die beiden Nullstellen x_1 und x_2, so können sie wie folgt berechnet werden

(I) x_1+x_2 = -p und (II) x_1 \cdot x_2 = q

Nullstellen berechnen: Scheitelpunktform

Hier hast du die Funktionsgleichung f(x) = a\cdot (x-d)^2+e gegeben und kennst die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d|e). Du kannst die Nullstellen mittels Äquivalenzumformungen bestimmen:

a\cdot (x-d)^2+e = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = \pm \sqrt{\cfrac{-e}{a}}+d

und siehst sofort, dass hier die beiden Nullstellen den gleichen Abstand zum Scheitel haben. Einen Sonderfall gibt es auch hier, nämlich, wenn e=0 ist. Dann hast du die Funktionsgleichung f(x) = a\cdot (x-d)^2 und der Scheitelpunkt mit den Koordinaten S(d|0) ist die einzige Nullstelle der Parabel.

Das schauen wir uns am besten an einigen Beispielen an.

Beispiel 1: Nullstellen bestimmen einer Parabel in Scheitelpunktform 

Die Funktion f(x) = \frac{1}{2}\cdot(x-2)^2 hat eine doppelte Nullstelle beim Scheitelpunkt S(2|0). Das erkennst du entweder an der Scheitelpunktform oder wenn du den Term in faktorisierter Form aufschreibst f(x) = \frac{1}{2}\cdot(x-2)(x-2)

Parabel Scheitel Nullstelle
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Nullstelle berechnen einer Parabel in Scheitelpunktform

Beispiel 2: Nullstellen bestimmen mittels pq-Formel

Angenommen du willst von f(x) = 2x^2 -4x-6 die Nullstellen berechnen. Dazu betrachtest du 2x^2 -4x-6=0. Jetzt hast du mehrere Möglichkeiten. Entweder, du setzt a=2, b=-4 und c=-6 in die Mitternachtsformel ein und berechnest das Ergebnis. Alternativ kannst du auch beide Seiten durch zwei teilen und x^2 -2x-3=0 mittels pq-Formel lösen. Dann ist für p=-2 und q=-3

x_{1,2} = -\cfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\cfrac{-2}{2}\right)^2+3}

x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1+3}

x_1 = -1 und x_2 = 3

Nullstellen Parabel Normalform
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Nullstellen berechnen einer Parabel in Normalform

Nullstellen berechnen: Funktion 3. Grades

Eine Funktion dritten Grades hat immer die folgende Funktionsgleichung

Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grades

f(x) = a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d

Hier ist das Nullstellen bestimmen im Allgemeinen nicht so leicht. Es gibt zwar eine Lösungsformel, die Formel von Cardano, mit der du die Nullstellen bestimmen kannst, aber sie ist sehr kompliziert. Wenn du die Nullstellen berechnen sollst, handelt es sich dabei meistens um einige Sonderfälle, die wir dir hier kurz vorstellen. Eine kubische Gleichung hat entweder eine, zwei oder drei Nullstellen. 

Nullstellen Funktion 3. Grades
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Nullstellen einer Funktion 3. Grades

Nullstellen berechnen via Ausklammern

In vielen Fällen hast du eine kubische Funktionsgleichung gegeben, bei der du x ausklammern kannst. Sie sieht dann beispielsweise so aus

f(x) = 2x^3-x^2+6x = x(2x^2-x+6).

In diesem Falle hat f(x) immer eine Nullstelle x_1=0. Durch das Ausklammern vereinfachst du die Funktion insofern, dass du jetzt nur noch die Nullstellen des quadratischen Ausdrucks, das heißt von 2x^2-x+6=0 berechnen musst.

Achtung: Manchmal kannst du sogar x^2 ausklammern und so die doppelten Nullstellen berechnen!

Nullstellen berechnen mittels Polynomdivision

Ein anderes Vorgehen ist, eine Nullstelle x_1 zu erraten und dann eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilst du f(x) durch (x-x_1). Das zeigen wir dir am besten an einem Beispiel:

Angenommen du willst von f(x) = x^3+3x^2-4 die Nullstellen berechnen. Die erste Nullstelle x_1 = 1 kannst du dabei erraten, da

f(1) = 1^3+3\cdot 1^2-4 =0. 

Jetzt führst du die Polynomdivision durch, das bedeutet du berechnest

\left(x^3+3x^2-4\right)\div (x-1).

Dazu machst du das schriftliche Dividieren im Kopf rückgängig und überlegst dir im ersten Schritt, mit welcher Zahl du x multiplizieren müsstest, um x^3 zu erhalten, nämlich mit x^2. So gehst du sukzessiv vor,  bis du das Ergebnis erhältst

\left(x^3+3x^2-4\right)\div (x-1) = x^2+4x+4.

Jetzt musst du nur noch von x^2+4x+4 die Nullstellen berechnen

x^2+4x+4 = (x+2)^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{2,3} = -2.

Hier konnten wir also zwei Nullstellen berechnen.

nullstellen funktion dritten Grades kubische Funktion Polynomdivision
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Nullstellen berechnen mittels Polynomdivision

Merke: Wenn du eine Polynomdivision durchführen musst, um die Nullstellen zu bestimmen, hast du entweder eine Nullstelle schon gegeben oder du kannst sie leicht erraten! Dazu setzt du zum Beispiel die Werte 1, -1, 2 oder -2 in die Funktionsgleichung ein. In 90% der Fälle in der Schule ist das eine der gesuchten Nullstellen. 

Nullstellen bestimmen: Funktion 4. Grades oder höher

Für Funktionen 4. Grades oder höher, gibt es  keine einfache Lösungsformel, mit der du die Nullstellen berechnen kannst. Auch hier musst du dich also einiger Tricks bedienen, wenn du die Nullstellen bestimmen willst. Sie lauten Ausklammern, Substitution oder Polynomdivision. Es gilt jedoch die Faustregel, dass du bei einer Funktion von ungeradem Grad immer mindestens eine der Nullstellen berechnen kannst. Für Funktionen gerader Ordnung gilt das nicht! 


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