Analysis

Stammfunktion

Du möchtest wissen, was es mit dem Begriff Stammfunktion auf sich hat? Wie du sie für die verschiedenen Funktionen berechnest, erklären wir dir hier anschaulich und mit vielen Beispielen.

Du lernst leichter, wenn es dir jemand direkt erklärt und du keinen Text durcharbeiten musst? Dann schau dir einfach unser Video  zum Thema Stammfunktion an! 

Inhaltsübersicht

Stammfunktion einfach erklärt

Eine Stammfunktion berechnen, ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung . Sie hängt eng mit dem unbestimmten Integral  zusammen und ist wie folgt definiert: 

Sei F(x) die Stammfunktion einer reellen Funktion f(x). Dann ist ihre Ableitung F'(x) gerade wieder f(x)

Stammfunktion F(x)

F'(x) = f(x) 

Sie ist deswegen sehr wichtig, weil man in der Praxis oft nur die Ableitung einer Funktion (also die Änderungsrate) kennt und daraus auf die ursprüngliche Funktion schließen möchte. 

Merke: Klassischerweise verwendet man für die Stammfunktion immer Großbuchstaben. 

Sehr praktisch ist, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt! Du musst also nur noch wissen, wie man sie findet. Das erklären wir dir im nächsten Abschnitt.

Stammfunktion bilden

Angenommen, du möchtest eine Stammfunktion F(x) von f(x) berechnen und du weißt bereits, dass dann F'(x) = f(x) gelten muss. Es wäre also kein Problem, ausgehend von F(x) durch Ableiten f(x) zu bestimmen. Wir wollen diesen Vorgang jetzt rückgängig machen, d.h. statt Ableiten wollen wir Aufleiten. Formal heißt das in der Mathematik „integrieren“, die entsprechende Notation dazu lautet

    \[F(x) = \int f(x) dx.\]

Um Integrale zu berechnen, gibt es verschiedene Integrationsregeln , die wir dir in einem separaten Video zusammengefasst haben. Im Wesentlichen überlegst du dir dabei immer, wie F(x) aussehen muss, damit es abgeleitet f(x) ergibt.

Manchmal spricht man statt von Stammfunktionen auch von der Aufleitung. Versuch das am besten zu vermeiden, es ist sehr umgangssprachlich. 

Merke: Jede stetige Funktion hat nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele. Sie unterscheiden sich jedoch immer nur durch die Konstante c, die addiert oder subtrahiert wird, und die beim Ableiten wieder weg fällt. 

Funktion Stammfunktion Verschiebug durch Konstante
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Verschiebung der Stammfunktion durch Konstanten

Wenn also allgemein nach Stammfunktionen gefragt wird, vergiss am Ende die Konstante c nicht. Man sagt auch, dass du in diesem Falle ein unbestimmtes Integral berechnest. 

Stammfunktion berechnen Beispiele

Nicht immer lassen sich Stammfunktionen so einfach ablesen. Insbesondere für Wurzeln oder den Logarithmus kann die Berechnung ganz schön schwierig werden. Deswegen erklären wir es dir hier noch einmal für alle Funktionen einzeln.

Stammfunktion Potenzfunktionen

Die Stammfunktion von Potenzfunktionen f(x) = x^n lässt sich sehr einfach berechnen als F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}. Das wollen wir an einem kurzen Beispiel veranschaulichen:

  • Beispiel 1: Gesucht ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x^2-4 . Wir suchen also eine Funktion F(x), die abgeleitet gerade f(x) = 3x^2-4 ergibt. Dazu berechnen wir 

    \[\int 3x^2-4 dx.\]

Nun müssen wir uns überlegen, was abgeleitet 3x^2-4 ergeben würden und sehen sofort (unter Berücksichtigung der Ableitungsregeln ), dass

F(x) = x^3-4x. 

Allerdings ergeben auch F_1(x) = x^3-4x + 3 und F_2(x) = x^3-4x-10 abgeleitet die ursprüngliche Funktion f(x) = 3x^2-4. Die allgemeine Stammfunktion lautet daher F(x) = x^3-4x+c, mit der Konstanten c.

Stammfunktion Bruch und Stammfunktion 1/x

Für Brüche funktioniert das analog, wenn du sie in eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten umschreibst:

    \[\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = -\frac{1}{2}x^{-2}+c = -\frac{1}{2x^2} + c.\]

Das funktioniert auch für andere Brüche, die zum Beispiel keine 1 im Zähler haben. Wie genau siehst du im nächsten Beispiel.

  • Beispiel 2: Gesucht ist die Stammfunktion von f(x) = \frac{5}{x^4}. Diesen Ausdruck kannst du umschreiben als

    \[\frac{5}{x^4} = 5 \cdot \frac{1}{x^4} = 5\cdot x^{-4}.\]

Die rechte Seite lässt sich nun leicht integrieren 

    \[\int \frac{5}{x^4} dx = \int 5\cdot x^{-4} dx = 5 \cdot \frac{-1}{3} \cdot x^{-3} +c = \frac{-5}{3x^3}+c\]

Eine Ausnahme bildet die Stammfunktion 1/x, was du sofort siehst, wenn du sie wie oben umschreibst

\frac{1}{x} = x^{-1}.

Weil du hier mit der klassischen Regel eine Null im Exponenten erhalten würdest – was offensichtlich falsch ist – greift hier die logarithmische Integrationsregel, die besagt, dass 

    \[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|+c.\]

In unserem Fall ist das Integral von \frac{1}{x} daher

    \[\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+c.\]

Stammfunktion Wurzel

Auch Wurzeln kannst du im obigen Sinne umschreiben und sie dadurch leichter integrieren. Es ist

    \[\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}},\]

und damit gilt für die Stammfunktion

    \[\int \sqrt{x} dx = \int{x^\frac{1}{2} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}.\]

Analog klappt das auch für die zweite, dritte oder n-te Wurzel, wie du im nächsten Beispiel siehst. 

  • Beispiel 3: Wir wollen f(x) = \sqrt[5]{x^3} integrieren. Dieser Ausdruck lässt sich umschreiben als 

    \[\sqrt[5]{x^3} = x^\frac{3}{5}.\]

Damit lässt sich das Integral berechnen

    \[\int \sqrt[5]{x^3} dx = \int x^\frac{3}{5} dx = \frac{5}{8} x^\frac{8}{5} = \frac{5}{8} \sqrt[5]{x^8}  .\]

Stammfunktion ln(x) und e Funktion

Die e-Funktion lässt sich sehr einfach integrieren, wenn du weißt, dass von f(x) = e^x die Ableitung wieder f'(x)= e^x ist. Damit gilt:

    \[\int e^x dx = e^x + c\]

Die Stammfunktion lnx ist etwas schwieriger. Sie lautet

    \[\int \ln(x) dx = x\cdot \ln(x)-x+c.\]

Dass dieses Integral so kompliziert ist, liegt daran, dass man es nur mit partieller Integration berechnen kann. Es gilt

    \[\int \ln(x) dx = \int 1\cdot \ln(x) dx = \biggl[x\cdot \ln(x)\biggr]-\int x \cdot \frac{1}{x} dx = \biggl[x\cdot \ln(x)\biggr]-\int 1 dx= x\cdot \ln(x)-x+c.\]

Stammfunktionen sin(x) und cos(x)

Das Integral von Sinus und Cosinus bestimmst du am leichtesten mit Blick auf die Ableitung. Du weißt bereits, dass 

f(x) = \sin(x) \quad \Longleftrightarrow \quad f'(x) = \cos(x)

f(x) = \cos(x) \quad \Longleftrightarrow \quad f'(x) = -\sin(x).

Damit ist klar, dass gilt

    \[\int \sin(x) dx = -\cos(x)+c\]

    \[\int \cos(x) dx = \sin(x)+c.\]

Zusammenhang zur Ableitung

Integrieren und Differenzieren –  wie Ableiten in der Fachsprache heißt – hängen also eng zusammen. Das besagt der sogenannte HDI, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der dir ermöglicht, Stammfunktionen wie im obigen Beispiel zu berechnen. Im Allgemeinen kannst du dir den Zusammenhang so vorstellen: 

%könnten wir hier ein Bild aus dem Video einfügen, bei dem das Ganze deutlich besser aussieht, als alles, was ich hier in Wordpress auf die Schnelle hinkriege? Die Idee wäre so alà  Studyhelp. Idealerweise ein bisschen bunter und evtl horizontal angeordnet, damit es nicht zu ähnlich ist... -> siehe Video-Skript

Stammfunktion Tabelle

Alle Ergebnisse haben wir dir noch einmal übersichtlich in dieser Tabelle zusammengefasst.

Funktion
Stammfunktion

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